\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight
 
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\centerline{\bf NORMALIZ\'ALT EMPIRIKUS M\'ERT\'EKEK SZORZATA}
\centerline{\bf SZERINTI INTEGR\'ALOK BECSL\'ES\'ER\H{O}L}
\medskip\noindent
\centerline{\it Major P\'eter}
\centerline{Magyar Tudom\'anyos Akad\'emia R\'enyi Alfr\'ed
Matematikai Kutat\'o Int\'ezete}
\medskip\noindent
Az el\H{o}ad\'asban a k\"ovetkez\H{o} probl\'ema vizsg\'alat\'aval
foglalkoztam. Legyen adva f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
$\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata,
amelyek \'ert\'ekeiket va\-la\-mi\-lyen $(X,\Cal X)$ m\'ert\'ekt\'eren
veszik fel. Jel\"olje $\mu_n$ e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \'altal elk\'esz\'{\i}tett
empirikus m\'ert\'eket, azaz legyen
$$
\mu_n(A)=\dfrac1n\#\{j\:\,\xi_j\in A,\;1\le j\le n\},\quad A\in\Cal X.
$$
Tekints\"uk a $\mu_n$ empirikus m\'ert\'ek, $\nu_n$,  $\nu_n(A)=\sqrt
n(\mu_n(A)-\mu(A))$, $A\in\Cal X$, normaliz\'altj\'at, valamint
vegy\"unk egy $k$-v\'altoz\'os $f(x_1,\dots,x_k)$ $k$-v\'altoz\'os
f\"uggv\'enyt az $(X^k,\Cal X^k)$ szor\-zat\-t\'e\-ren. Ezut\'an
defini\'aljuk az $f$ f\"uggv\'eny (v\'eletlen) integr\'alj\'at a
normaliz\'alt $\nu_n$ m\'ert\'ek szerint, azaz tekints\"uk az al\'abbi
integr\'alt:
$$
\aligned
J_{n,k}(f)&=\dfrac1{k!} \int'
f(u_1,\dots,u_k)\sqrt n(\mu_n(\,du_1)-\mu(\,du_1))\dots
\sqrt n(\mu_n(\,du_k)-\mu(\,du_k)),\\
&\qquad\text{ahol a $\tsize\int'$ azt jelenti, hogy az }
u_j=u_l, \; 1\le j<l\le k, \text{ \'atl\'okat}\\
&\qquad\text{kihagyjuk az integr\'al\'asi tartom\'anyb\'ol.}
\endaligned \tag1
$$
C\'elunk az, hogy j\'o becsl\'est adjunk a $P\(|J_{n,k}(f)|>x\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre minden $x>0$ sz\'amra. (Megjegyzem, hogy
az \'atl\'ok kihagy\'asa az integr\'al\'asi tartom\'anyb\'ol
term\'eszetes, ugyanis az \'erdekes alkalmaz\'asokban ilyen tipus\'u
integr\'alokat kell vizsg\'alni. M\'asr\'eszt az integr\'al
viselked\'ese l\'enyegesen k\"ul\"onb\"oz\H{o} lenne az \'atl\'okban.
Az \'atl\'oban ugyanis, amikor az egyes mintaelemek hozad\'ek\'at
tekintj\"uk az empirikus m\'ert\'ek normaliz\'altj\'anak
szorzat\'aban, az egyes mintaelemek t\"obbsz\"or\"os
multiplicit\'assal jelennek meg.)
 
A k\'erd\'es vizsg\'alata el\H{o}tt megjegyz\'est tettem arr\'ol,
hogy mi\'ert lehet fontos a felvetett k\'erd\'es vizsg\'alata.
Ilyen probl\'ema jelenik meg akkor, ha a matematikai statisztika egyik
fontos probl\'em\'aj\'anak a {\it maximum likelihood}\/ m\'odszernek
term\'eszetes \'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-s\'at az \'ugyneveztt
{\it nem-param\'eteres maximum-likelihood}\/ m\'odszert vizsg\'aljuk,
\'es meg\-pr\'o\-b\'al\-juk bebizony\'{\i}tani a param\'eteres
esetben alapvet\H{o} eredm\'enyek
\'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-s\'at ebben az esetben is.
 
A maximum likelihood m\'odszerr\H{o}l sz\'ol\'o tal\'an legfontosabb
eredm\'eny azt \'all\'{\i}tja, hogy nagyon \'altal\'anos felt\'etelek
mellett a maximum likelihood becsl\'es hib\'aja beszorozva $\sqrt
n$-nel aszimptotikusan norm\'alis eloszl\'as\'u nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel \'es ismert sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet\-tel. Az eredm\'eny
bizony\'{\i}t\'as\'aban egy viszonylag bonyolult egyenlet, az
\'ugynevezett ma\-xi\-mum-li\-keli\-hood egyenlet gy\"okeinek a
viselked\'es\'et kell vizsg\'alnunk. Ez a feladat eredeti
form\'aj\'aban meglehet\H{o}sen neh\'ez, de leegyszer\H{u}s\"odik,
ha az egyenlet lineariz\'altj\'at tekintj\"uk. Jelen esetben ez
azt jelenti, hogy az egyenlet baloldal\'an szerepl\H{o} kifejez\'esnek
tekintj\"uk a Taylor sor fejt\'es\'et az (ismeretlen) becs\"ulend\H{o}
param\'eter k\"or\"ul. Ekkor egy olyan egyenletet kapunk, amelynek
a gy\"ok\'et j\'ol tudjuk vizsg\'alni. Ahhoz, hogy bebizony\'{\i}tsuk
a k\'{\i}v\'ant eredm\'enyt, be kell l\'atnunk, hogy a lineariz\'al\'as
seg\'{\i}ts\'eg\'evel kapott k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'es j\'ol
k\"ozel\'{\i}ti a val\'odi egyenlet gy\"ok\'et. Ezt viszonylag
egyszer\H{u}en megmutathatjuk a Taylor-sorok
tulajdons\'againak felhaszn\'al\'as\'aval.
 
Ha a maximum likelihood m\'odszert megpr\'ob\'aljuk
\'altal\'anos\'{\i}tani a nem-param\'eteres esetre (aminek a
definici\'oja kor\'antsem egyszer\H{u}, \'es annak megtal\'al\'asa
nem tekinthet\H{o} lez\'art, megoldott probl\'em\'anak), akkor
felmer\"ul az a k\'erd\'es, hogy lehets\'eges-e a fent v\'azolt
m\'odszer \'altal\'anos\'{\i}t\'asa erre az \'altal\'anosabb esetre.
Jelenleg csak r\'eszleges ered\-m\'e\-nye\-ket tudok bizony\'{\i}tani,
amelyek azt mutatj\'ak, hogy bizonyos speci\'alis nem-trivi\'alis
esetekben ez megtehet\H{o}. Viszont ezekben a vizsg\'alatokban annak
a l\'ep\'esnek a bizony\'{\i}t\'asa, hogy a keresett gy\"oknek a
lineariz\'alt egyenlet seg\'{\i}ts\'eg\'evel kapott
k\"ozel\'{\i}t\H{o} megold\'asa k\"ozel van az igazi megold\'ashoz
nem olyan egyszer\H{u}, mint a pa\-ra\-met\-ri\-kus esetben.
Annak \'erdek\'eben, hogy ezt megmutassuk, sz\"uks\'eges az
el\H{o}ad\'as elej\'en megfogalmazott feladatot megoldani. Ugyanis
a lineariz\'aci\'o sor\'an olyan hibatag jelenik meg,
mint amilyet ebben a probl\'em\'ban vizsg\'alunk, (pontosabban egy
ilyen kifejez\'es beszorozva az $n^{-1/2}$ konstanssal.) B\'ar
egyel\H{o}re csak bizonyos speci\'alis esetekben tudtam ezt a
m\'odszert alkalmazni, m\'egis azt sejtem, hogy az sokkal
\'al\-ta\-l\'a\-no\-sabb k\"or\"ulm\'enyek k\"oz\"ott is
al\-kal\-maz\-ha\-t\'o. Ez\'ert \'ugy  v\'elem, hogy az
el\H{o}ad\'asban vizsg\'alt probl\'ema nagyon fontos.
 
Megjegyzem, hogy val\'oj\'aban egy \'altal\'anosabb probl\'em\'at
kell vizsg\'alni, de annak az itt t\'argyalt k\'erd\'es az els\H{o}
megker\"ulhetetlen r\'esze. Az \'altal\'anos k\'erd\'es a
k\"ovetkez\H{o}: Legyen adva $k$-v\'altoz\'os $f(x_1,\dots,x_k)$
f\"uggv\'enyeknek egy $\Cal F$ csa\-l\'ad\-ja, \'es adjunk
j\'o becs\-l\'est a $P\(\supp_{f\in\Cal F}|J_{n,k}(f)|>x\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre. Azt v\'arjuk, hogy amennyiben ez a
f\"ugg\-v\'eny\-csa\-l\'ad sz\'ep, akkor hasonl\'o becsl\'est
kaphatunk, mint akkor, ha csak egy f\"uggv\'enyt tekint\"unk.
Term\'eszetes jel\"oltek az ilyen felt\'etelt teljes\'{\i}t\H{o}
f\"uggv\'enycsal\'adokra az \'ugy\-ne\-ve\-zett Vapnik--\^Cervonenkis
oszt\'alyt alkot\'o f\"uggv\'enycsal\'adok. Ezzel a most
megfogalmazott k\'erd\'essel azonban ebben az el\H{o}ad\'asban
nem foglalkoztam. Csak megjegyeztem, hogy mi\'ert jelenik meg ez a
probl\'ema a nem param\'eteres maximum-likelihood becsl\'esben.
 
Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} tipikus a  nem-param\'eteres maximum
likelihood m\'odszerrel megoldand\'o feladatot: Becs\"ulj\"unk meg
egy ismeretlen $F(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt bizonyos
megfigyel\'esek alapj\'an valamely $F_n(\cdot)$ v\'eletlen
becsl\H{o}f\"uggv\'ennyel. A becsl\'es hib\'aj\'anak szupr\'emum\'at,
azaz a $\supp_{-\infty<x\infty}|F_n(x)-F(x)|$ kifejez\'est akarjuk
vizs\-g\'al\-ni. E kifejez\'es vizsg\'alata sor\'an az $F_n(x)-F(x)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot tekintj\"uk minden
$-\infty<x<\infty$ sz\'amra. Alkalmazzunk alkalmas lineariz\'aci\'ot,
Ezut\'an egy olyan kifejez\'est kell vizs\-g\'al\-nunk, mint amilyent
az el\H{o}ad\'as elej\'en eml\'{\i}tettem, annak \'erdek\'eben, hogy
megbecs\"ulj\"uk a lineariz\'aci\'o sor\'an elk\"ovetett hib\'at.
Viszont vizsg\'aland\'o integr\'alban megjelen\H{o} $f$ f\"uggv\'eny
f\"ugg att\'ol az $x$ sz\'amt\'ol, ahol az $F_n(x)-F(x)$
k\"ul\"onbs\'eget vizsg\'aljuk. Mivel minket az $F_n(x)-F(x)$
kifejez\'esek szupr\'emuma \'erdekel, ez\'ert nem egyetlen
(v\'eletlen) integr\'al \'ert\'ek\'et kell vizsg\'alnunk,
hanem az el\H{o}z\H{o} paragrafusban eml\'{\i}tett probl\'em\'at kell
tekinten\"unk, azaz alkalmas
f\"uggv\'enyoszt\'alyba es\H{o} f\"iggv\'enyek integr\'alj\'anak
szup\-r\'e\-mu\-m\'at kell becs\"uln\"unk. \medskip
El\H{o}sz\"or megfogalmazom azt az eredm\'enyt, amely megadja a
felvetett k\'erd\'esre a v\'alaszt, azut\'an \"osszehasonl\'{\i}tom ezt
az eredm\'enyt n\'eh\'any m\'as eredm\'ennyel,
annak \'erdek\'eben, hogy jobban meg\'erts\"uk a kapott becsl\'es
jelent\'es\'et.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel A.} {\it Tekints\"unk valamilyen f\"uggetlen $(X,\Cal X)$
t\'erbeli \'ert\'ekeket felvev\H{o} f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
$\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, amelyek
$\mu$ eloszl\'asa nem atomos. Legyen $f=f(x_1,\dots,x_k)$ olyan
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny a $(X^k,\Cal X^k,\mu^k)$ szorzatt\'eren,
$k\ge1$, amelyre
$$
\|f\|_\infty=\supp_{x_j\in X,\;1\le j\le k}|f(x_1,\dots,x_k)|\le
1,\tag2a
$$
\'es
$$
\frac1{k!}\|f\|_2^2=Ef^2(\xi_1,\dots,\xi_k)=\frac1{k!}\int
f^2(x_1,\dots,x_k) \mu(\,dx_1)\dots\mu(\,dx_k)\le \sigma^2 \tag2b
$$
valamilyen $\sigma>0$ sz\'ammal. Ekkor l\'eteznek olyan $C=C_k>0$
\'es $\alpha=\alpha_k>0$, $k=1,2,\dots$, konstansok, amelyekre az (1)
formul\'aban defini\'alt $J_{n,k}(f)$ integr\'al teljes\'{\i}ti a
$$
P\(|J_{n,k}(f)|>x\)\le C \max\(\exp\left\{-\alpha
\(\frac x\sigma\)^{2/k}\right\}, \exp\left\{-\alpha
(nx^2)^{1/(k+1)}\right\} \)  \tag3
$$
egyenl\H{o}tlens\'eget minden $x>0$ sz\'amra. A $C=C_k>0$ \'es
$\alpha=\alpha_k>0$ konstansok csak a
$k$ param\'etert\H{o}l f\"uggnek.}
\medskip
Jegyezz\"uk meg, hogy nagy $n$ sz\'amra a $\sqrt
n(\mu_n(\cdot)-\mu(\cdot))$ normaliz\'alt m\'ert\'ek k\"ozel van egy
(v\'eletlen) Gauss eloszl\'as\'u m\'ert\'ekhez. Ez azt sugallja, hogy
egy $k$-v\'altoz\'os f\"uggv\'enynek a T\'etel~A-ban vizsg\'alt
normaliz\'alt empirikus m\'ert\'ek szorzatm\'ert\'eke sze\-rin\-ti
integr\'alja hasonl\'oan viselkedik, mint egy
$k$-v\'altoz\'os f\"uggv\'enynek egy   Wiener-folyamat szerinti
t\"obbv\'altoz\'os \'ugynevezett Wiener--It\^o integr\'alja. Az
al\'abbi T\'etel~B-ben megfogalmazzuk a T\'etel~A egy olyan
analogonj\'at, ahol t\"obbv\'altoz\'os f\"uggv\'enyek Wiener--It\^o
integr\'alj\'at tekintj\"uk.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel B.} {\it Legyen $f(x_1,\dots,x_k)$ $k$-v\'altoz\'os
val\'os \'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'eny, amelyre
$$
\frac1{k!}\int_0^\infty\cdots\int_0^\infty f^2(x_1,\dots,x_k)\,dx_1
\dots\,dx_k \le \sigma^2 \tag4
$$
valamely $\sigma>0$ sz\'ammal. Legyen $W(x)$ Wiener folyamat a $x\ge0$
f\'elegyenesen, \'es tekints\"uk az
$$
I_{n,k}(f)=\int_0^\infty\cdot\int_0^\infty
f(x_1,\dots,x_k)W(\,dx_1)\dots W(\,dx_k)\tag5
$$
$k$-v\'altoz\'os Wiener--It\^o integr\'alt. Ez a Wiener--It\^o
integr\'al teljes\'{\i}ti a
$$
P(|I_{n,k}(f)|>x)\le C_k\exp\left\{-\alpha_k\(\frac
x\sigma\)^{2/k}\right\} \tag6
$$
egyenl\H{o}tlens\'eget valamilyen $\alpha_k>0$ \'es $C_k>0$
konstansokkal, amelyek csak a $k$ pa\-ra\-m\'e\-ter\-t\H{o}l f\"uggnek.}
\medskip
Annak \'erdek\'eben, hogy a T\'etel~B tartalm\'at jobban
meg\'erts\"uk, a k\"ovetkez\H{o} meg\-jegy\-z\'est teszem.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor
$P(\sigma|\xi^k|>x)\le\const \exp\left\{-\frac12\(\frac
x\sigma\)^{2/k}\right\}$, \'es ez az egyenl\H{o}tlens\'eg
l\'enyeg\'eben \'eles.
\medskip
Val\'oban,
$$
P(\sigma|\xi^k|>x)=P\(|\xi|> \(\frac x\sigma\)^{1/k}\)\le\const
\exp\left\{-\frac12\(\frac x\sigma\)^{2/k}\right\},
$$
mivel egy $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eset\'en $P(|\xi|>u)<\const
e^{-u^2/2}$, \'es ez a  becsl\'es l\'enyeg\'eben \'eles.
 
\"Osszehasonl\'{\i}tva a T\'etel~B eredm\'eny\'et a Megjegyz\'es
\'all\'{\i}t\'as\'aval azt l\'atjuk, hogy egy $k$-v\'altoz\'os
Wiener--It\^o integr\'al eloszl\'as\'ara hasonl\'o becsl\'est tudunk
adni, mint egy $\const \sigma\xi^k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'as\'ara, ahol $\sigma^2$ a Wiener--It\^o
integr\'al sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-te. (Jegyezz\"uk meg, hogy a
(4)~formul\'aban megfogalmazott felt\'etelnek a baloldal\'an
sze\-rep\-l\H{o} kifejez\'es a Wiener-It\^o integr\'al
sz\'or\'asn\'egyzet\'evel egyenl\H{o}.) \'Er\-de\-mes a T\'etel~A
\'es T\'etel~B eredm\'eny\'et is \"osszehasonl\'{\i}tani. Azt
l\'athatjuk, hogy a T\'etel~A-ban \'es T\'etel~B-ben szerepl\H{o}
k\'et becsl\'es hasonl\'o. K\'et k\"ul\"onbs\'eg van. Az egyik az,
hogy a T\'etel~A-ban sze\-rep\-l\H{o} becsl\'esben, a (3)
formul\'aban szerepl\H{o} maximumban van egy m\'asik tag, aminek a
megfelel\H{o}je a T\'etel~B-ben megfogalmazott (6) formul\'aban
nem szerepel. Jegyezz\"uk meg, hogy abban az esetben, ha a tekintett
$f$ f\"uggv\'eny n\'egyzetintegr\'alja vagy m\'ask\'epp megfogalmazva
a tekintett v\'eletlen integr\'al sz\'or\'asn\'egyzete nem t\'ul
kicsi, akkor a (3)~k\'eplet jobboldal\'an szerepl\H{o} kifejez\'esben
az els\H{o} tag adja meg a maximum \'ert\'ek\'et. Ez\'ert ebben az
esetben a normaliz\'alt empirikus m\'ert\'ek $k$-szoros szorzata
szerinti szto\-chasz\-ti\-kus integr\'al eloszl\'asf\"uggv\'eny\'ere
hasonl\'o becsl\'es \'erv\'enyes, mint egy Wiener folyamat
szerinti $k$-szoros integr\'alra. A m\'asik k\"ul\"onbs\'eg a k\'et
eredm\'eny k\"or\"ott az, hogy a T\'etel~A felt\'etelei k\"oz\"ott
szerepel egy a (2a) formul\'aban megfogalmazott felt\'etel, aminek
nincs megfelel\H{o}je a T\'etel~B-ben.
 
Azt mondhatjuk, hogy a normaliz\'alt empirikus m\'ert\'ek szerinti
$k$-v\'altoz\'os integr\'alok hasonl\'oan viselkednek a
$k$-v\'altoz\'os Wiener-It\^o integr\'alokhoz, felt\'eve, hogy
ezen integr\'alok sz\'or\'asn\'egyzete nem t\'ul kicsi. (Az, hogy
mely $\sigma^2$  \'ert\'ek sz\'am\'{\i}t kicsinek az egyr\'eszt a
minta $n$ elemsz\'amt\'ol, m\'asr\'eszt att\'ol az $x$ sz\'amt\'ol
f\"ugg, amely meghat\'arozza, hogy mely pontban akarjuk
a v\'eletlen integr\'al eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et becs\"ulni.)
Felmer\"ul az a k\'erd\'es, hogy ez a sz\'or\'asn\'egyzetr\H{o}l
sz\'ol\'o megszor\'{\i}t\'as l\'enyeges-e vagy esetleg van
rem\'eny arra, hogy egy finomabb \'ervel\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel
meg lehet t\H{o}le szabadulni. A k\"ovetkez\H{o} p\'eld\'aban
megmutatjuk, hogy egy ilyen megszor\'{\i}t\'as val\'oban sz\"uks\'eges.
Az egyszer\H{u}s\'eg kedv\'e\'ert csak $k=1$ esetben mutatok
p\'eld\'at, de n\'emi plusz munk\'aval hasonl\'o p\'eld\'at lehet
konstru\'alni tetsz\H{o}leges $k\ge1$ multiplicit\'as\'u
integr\'alokra is.
 \medskip\noindent
{\it P\'elda:}\/ Legyen $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen a $[0,1]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok sorozata, \'es
tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} valamely $p$
param\'etert\H{o}l, $0<p<\frac12$, f\"ugg\H{o}
$f(x)=f_p(x)$ f\"uggv\'enyt a $[0,1]$ intervallumon:
$$
f(x)=f_p(x)=\left\{
\aligned
1& \quad\text{ ha }0\le x<p,\\
-1& \quad\text{ ha }p\le x<2p,\\
0& \quad\text{ ha }2p\le x\le1.
\endaligned \right.
$$
Tekints\"uk a most defini\'alt $f(\cdot)$ f\"uggv\'eny integr\'alj\'at
a $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\mu_n$ empirikus m\'ert\'ek\'enek normaliz\'altja szerint. Vegy\"uk
\'eszre, hog jelen esetben $\sigma^2=\int_0^1 f^2(u)\,du=2p$. Als\'o
becsl\'est adunk az $\int f_n(u)\sqrt n(\mu_n(\,du)-du)$ integr\'alra,
\'es ebb\H{o}l a becsl\'esb\H{o}l l\'athat\'o lesz, hogy kis $p$, azaz
kis $\sigma^2$ eset\'en a (3) formul\'aban az els\H{o}
tag, azaz a Gauss k\"ozel\'{\i}t\'es \'altal adott becsl\'es nem
teljes\"ul a vizsg\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre. Ez\'ert kellett
egy m\'asodik korrekci\'os tagot is megadni ebben a becsl\'esben.
 
Vezess\"uk be az
$$
\eta_k=\left\{
\aligned
1& \quad\text{ ha }0\le \xi_k<p,\\
-1& \quad\text{ ha }p\le \xi_k<2p.\\
0& \quad\text{ ha }2p\le \xi_k\le1,
\endaligned \right.  \qquad 1\le k\le n
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Ekkor
$$
J_{n,1}(f)=\sqrt n\int_0^1 f(x)[\mu_n(\,dx)-\,dx]=\sqrt n\int_0^1
f(x)\mu_n(\,dx)=\frac1{\sqrt n}\sum_{k=1}^n\eta_k.
$$
Tov\'abb\'a, mivel $P(\eta_k=1)=P(\eta_k=-1)=p$, $P(\eta_k=0)=1-2p$,
az\'ert
$$
\align
&P(J_{n,1}(f)>x) \\
&\qquad =P\(\sum_{k=1}^n\eta_k>\sqrt nx\)\ge P\(\eta_k=1,
\text{ ha } 0\le k\le \sqrt nx,\; \summ_{k=\sqrt nx+1}^n \eta_k\ge0\) \\
&\qquad =\prod_{k=1}^{\sqrt n x} P(\eta_k=1)\cdot P\(\summ_{k=\sqrt
nx+1}^n \eta_k\ge0\) =p^{\sqrt nx}\cdot\frac12.
\endalign
$$
Kis $p=\frac{\sigma^2}2$ param\'eter eset\'en ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg viszonylag nagy (\"osszehasonl\'{\i}tva a
Gauss approxim\'aci\'o \'altal sugallt becsl\'essel). Ugyanis
$$
P(J_{n,1}(f)>x)\ge p^{\sqrt nx}\cdot\frac12\ge C\exp\left\{-\sqrt
nx\log\frac2{\sigma^2}\right\}
$$
alkalmas (univerz\'alis $C$ konstanssal), m\'{\i}g a Gauss
k\"ozel\'{\i}t\'es azt sugalln\'a, hogy
$$
P(J_{n,1}(f)>x)\le
C\exp\left\{-\frac{x^2}{2\sigma^2}+\log\sigma\right\}.
$$
Ha $\sqrt nx\log\frac2{\sigma^2}\ll\frac {x^2}{2\sigma^2}$, azaz
$x\gg \sqrt n\sigma^2\log\frac1{\sigma^2}$, akkor a Gauss
approxim\'aci\'o \'altal sugallt becsl\'es nem \'erv\'enyes a
T\'etel~A-ban vizsg\'alt kifejez\'esre. Ez p\'eld\'at mutat arra,
hogy a nrm\'alis k\"ozel\'{\i}t\'es \'altal sugallt kifejez\'es
mellett sz\"uks\'eg van m\'eg egy korrekci\'os tagra a (3)
formul\'aban megadott becsl\'esben.
\medskip
 
L\'attuk, hogy az empirikus m\'ert\'ek szerinti t\"obbsz\"or\"os
integr\'alokra a T\'etel~A-ban adott becsl\'es hasonl\'o a
T\'etel~B-ben megfogalmazott, \'es Wiener--It\^o integr\'alokr\'ol
sz\'ol\'o becsl\'eshez. Term\'eszetes azt v\'arni, hogy a T\'etel~B
bizony\'{\i}t\'as\'aban alkalmazott m\'odszer alkalmas adapt\'aci\'oja
seg\'{\i}ts\'eg\'evel be lehet bizony\'{\i}tamo a T\'etel~A-t. Az
egyik lehets\'eges  ilyen hozz\'a\'all\'ason alapul\'o
bizony\'{\i}t\'as a k\"ovetkez\H{o}: \'Irjuk fel a
$$
P\(|J_{n,k})(f)|>x\)\le\frac{EJ_{n,k}(f)^{2M}}{x^{2M}}
$$
Markov egyenl\H{o}tlens\'eget, amely \'erv\'enyes minden $M=1,2,\dots$
sz\'amra, \'es alkalmazzuk azt az $M$ param\'etert, amelyik a
lehet\H{o} legjobb becsl\'est adja. Ez a m\'odszer
al\-kal\-maz\-ha\-t\'o, de ehhez sz\"uks\'eges j\'o becsl\'est adni a
$J_{n,k}(f)$ v\'eletlen integr\'alok momentumaira. Az al\'abb
megfogalmazott eredm\'eny olyan becsl\'est ad, amelyikb\H{o}l
viszonylag egyszer\H{u}en levezethet\H{o} a T\'etel~A eredm\'enye.
\medskip\noindent
{\bf Seg\'edt\'etel.} {\it Ha adottak $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
$\mu$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, valamint
egy $f=f(x_1,\dots,x_k)$ $k$-v\'altoz\'os f\"uggv\'eny, amely
teljes\'{\i}ti az
$$
\|f\|_\infty=\supp_{x_j\in X,\;1\le j\le k}|f(x_1,\dots,x_k)|\le 1,
$$
\'es
$$
\|f\|_2^2=\int f^2(x_1,\dots,x_k)
\mu(\,dx_1)\dots\mu(\,dx_k)\le \sigma^2,
$$
felt\'eteleket, \'es a $\mu$ m\'ert\'ek nem atomos, akkor l\'eteznek
olyan $C_k$ konstansok, $k=1,2,\dots$, amelyekre minden $M=2^m$
alak\'u sz\'amra, ahol $m$ nem negat\'{\i}v eg\'esz, valamint
minden $n=1,2,\dots$ param\'eterre
$$
E J_{n,k}(f)^{2M} \le \(C_k\sigma^2 M^k\)^M\cdot \max\(1,
\(\frac M{n\sigma^2}\)^M \). \tag7
$$
A $C_k$ sz\'amok csak a $k$ param\'etert\H{o}l f\"uggnek, azaz nem
f\"uggnek az $f$  f\"uggv\'enyt\H{o}l. }
\medskip
Jegyezz\"uk meg, hogy a (7) formul\'aban szerepl\H{o} kifejez\'es
f\H{o} tagja, a $\(C_k\sigma^2 M^k\)^M$ kifejez\'es, olyan
nagys\'agrend\H{u}, mint egy $\const\sigma\xi^k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $2M$-ik mo\-men\-tu\-ma,
ahol $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Ez azt jelenti, hogy a
$J_{n,k}$ v\'eletlen integr\'alok momentumai \'ugy viselkednek, mint
ahogy azt a norm\'alis k\"ozel\'{\i}t\'es sugallja, felt\'eve, hogy
azok $\sigma^2$ sz\'or\'asn\'egyzete nem t\'ul kicsi. De annak
\'e\-rde\-k\'e\-ben, hogy minden $\sigma>0$ param\'eterre \'erv\'enyes
becsl\'est kapjunk sz\"uks\'eg volt egy korrekci\'os tagot
is megjelentetni a (7) formul\'aban.
 
Felmer\"ul az a k\'erd\'es, hogy hogyan lehet a most megfogalmazott
Seg\'edt\'etelt bebizony\'{\i}tani. Vizsg\'aljuk meg, hogyan lehet
az $I_{n,k}(f)$ Wiener--It\^o integr\'alok momentumainak
becsl\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o analog eredm\'enyt bebizony\'{\i}tani.
 
A momentumok becsl\'es\'et megtehetj\"uk a sztochasztikus
integr\'alokr\H{o}l sz\'ol\'o egyik alapvet\H{o} eredm\'eny, az
\'ugynevezett diagram formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ezen eredm\'eny
megmutatja, hogy hogyen lehet k\'et $I_{n,k}(f)$ \'es $I_{n,l}(g)$ $k$
illetve $l$ multiplicit\'as\'u Wiener--It\^o integr\'al szorzat\'at
fel\'{\i}rni alkalmas (k\"ul\"onb\"oz\H{o} multiplicit\'as\'u)
Wiener--It\^o integr\'alok \"osszegek\'ent. (Az integr\'alokban
szerepl\H{o} integrandusokat bizonyos diagramok
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel defini\'alj\'ak, innen sz\'armazik az
eredm\'eny diagram formula elnevez\'ese.)
 
E formula az\'ert hasznos, mert a Wiener--It\^o integr\'alok els\H{o}
\'es m\'asodik momentum\'at egyszer\H{u}en ki tudjuk fejezni.
Nevezetesen,
$$
\aligned
EI_{n,k}(f)&=0,\\
EI_{n,k}(f)^2&=\frac1{k!}\int_0^\infty\cdots\int_0^\infty
f^2(x_1,\dots,x_k)\,dx_1\dots\,dx_k=\sigma^2.
\endaligned \tag8
$$
Ezut\'an az $EI_{n,}(f)^4$ negyedik momentumot a k\"ovetkez\H{o}
m\'odon becs\"ulhetj\"uk meg a diagram formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel:
\'Irjuk fel az $I_{n,k}(f)^4=\(I_{n,k}(f)\cdot I_{n,k}(f)\)^2$
azonoss\'agot, \'es fejezz\"uk ki az $I_{n,k}(f)\cdot I_{n,k}(f)$
szorzatot a diagram formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel, mint
Wiener--It\^o integr\'alok \"osszeg\'et. Ez azt jelenti, hogy el\'eg
Wiener--It\^o integr\'alok \"osszeg\'enek n\'egyzet\'et becs\"ulni,
ami lehets\'eges a (8) formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ezut\'an
fel\'{\i}rva az
$$
I_{n,k}(f)^8=\(I_{n,k}(f)\cdot I_{n,k}(f)\)^4
$$
azonoss\'agot, hasonl\'oan megbecs\"ulhetj\"uk az $EI_{n,k}(f)^8$
momentumot a negyedik momentumra adott becsl\'es\'ek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, majd indukci\'oval becs\"ulhetj\"uk
az $EI_{n,k}(f)^{2M}$ momentumokat minden $M=2^m$ alak\'u
kitev\H{o}re. Az itt v\'azolt m\'odszer kidolgoz\'as\'aval be lehet
l\'atni, hogy
$$
E I_{n,k}(f)^{2M} \le \(C_k\sigma^2 M^k\)^M
$$
minden $M=2^m$ alak\'u sz\'amra, ahol
$
\sigma^2=\frac1{k!}\int_0^\infty\cdots\int_0^\infty
f(x_1,\dots,x_k)\,dx_1\dots\,dx_k.
$
Ezen becsl\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel be lehet bizony\'{\i}tani a
T\'etel~B-t.
 
Lehet-e ezt a m\'odszert adapt\'alni \'ugy, hogy annak
seg\'{\i}ts\'eg\'evel be tudjuk bizony\'{\i}tani a T\'etel~A
eredm\'eny\'et? A v\'alasz erre a k\'erd\'esre igenl\H{o}, de a
program v\'egrehajt\'asa sok technikai neh\'ezs\'eg legy\H{o}z\'es\'et
ig\'enyli. Igaz a (8) formula k\"ovetkez\H{o} m\'odos\'{\i}tott
v\'altozata:
$$
\align
|EJ_{n,k}(f)|&\le\frac{C^k}{k^{k/2}}\int
|f(u_1,\dots,u_k)|\mu(\,du_1)\dots\mu(\,du_k), \\
EJ_{n,k}(f)^2&\le \frac{C^k}{k^k}\int
f^2(x_1,\dots,x_k)\mu(\,du_1)\dots\mu(\,du_k).
\endalign
$$
Ez a formula n\'emileg elt\'er a Wiener--It\^o integr\'al els\H{o}
k\'et momentum\'at kifejez\H{o} (8) formul\'at\'ol. Emiatt megjelenik
n\'eh\'any technikai probl\'ema, de igazi neh\'ezs\'eget  ez a
k\"ul\"onbs\'eg  nem okoz. Megjegyzem, hogy az elt\'er\'es oka az,
hogy m\'{\i}g a Wiener--It\^o integr\'alokban szerepl\H{o} Wiener
m\'ert\'ekre igaz, hogy diszjunkt halmazok Wiener m\'ert\'eke
f\"uggetlen, addig diszjunkt halmazok normaliz\'alt
empirikus m\'ert\'eke k\"oz\"ott van bizonyos enyhe
f\"ugg\'es. A fontos k\'erd\'es azonban az, hogy be tudjuk-e
bizony\'{\i}tani a diagram formula megfelel\H{o}j\'et abban az
esetben, ha t\"obbv\'altoz\'os Wiener-It\^o integr\'alok helyett a
normaliz\'alt empirikus m\'ert\'ek szerinti t\"obbv\'altoz\'os
integr\'alokat tekin\"unk, \'es be tudjuk-e bizony\'{\i}tani egy ilyen
formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel a seg\'edt\'etelt. A v\'alasz
ezekre a k\'erd\'esekre igenl\H{o}. A l\'enyeges \'ujdons\'ag az,
hogy a normaliz\'alt empirikus m\'ert\'ekek szrinti integr\'alok
szorzat\'at kifejez\H{o} diagram formul\'aban \'uj diagramok \'es
\'uj e diagramoknak megfelel\H{o} integr\'alok is megjelennek.
Ezeket az \'uj integr\'alokat is meg kell becs\"ulni. Ez  megoldhat\'o,
b\'ar nem egyszer\H{u} feladat. Ezek az \'uj diagramok, illetve a nekik
megfelel\H{o} \'{\i}ntegr\'alok adj\'ak azt a hozad\'ekot, amelynek
becsl\'ese miatt megjelenik a korrekci\'os tag a (8) formul\'aban.
 
 
 
 
\bye
