Az április 11-i gyakorlat témája Rövid összefoglaló

Tekintsük át valószínűségi változók várható értékének, szórásnégyzetének, eloszlásának általános definicióját, a várható érték és szórásnégyzet kiszámítását, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény definiciójának általános alakját, annak leírását, hogy hogyan számíthatjuk ki független valószínűségi változók összegének az eloszlásfüggvényét az eredeti eloszlásfüggvények ismeretében.

Egy valószínűségi változó egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn értelmezett (mérhető) függvény. Ennek várható értéke e valószínűségi változó (Lebesgue értelemben vett) integrálja. Ennél a definiciónál sokkal fontosabb az alább ismertetendő eredmény, mely megadja, hogy hogyan kell a várható értéket effektive kiszámítani konkrét feladatokban. Általában nem adják meg konkrétan a valószínűségi mezőt, amelyen dolgozunk, csak a vizsgálandó valószínűségi változó eloszlásfüggvényét. Nagyon fontos, hogy egy valószínűségi változó várható értéket ennek az eloszlásfüggvénynek a segítségével is kiszámíthatjuk. Ennek az eredménynek az ismertetése érdekében bevezetünk előbb néhány fogalmat.

Eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény definiciója. Egy ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye az F (x) függvény, ha P (ξ < x) = F (x) minden −∞ < x < ∞ számra. Azt mondjuk, hogy az F (x) eloszlásfüggvénynek létezik f(x), −∞ < x < ∞ sűrűségfüggvénye, ha F (x) = ∫_{−∞}^{x} f(t) dt minden −∞ < x < ∞ számra.

Megjegyzés: Az eloszlásfüggvény definiciója az irodalomban nem teljesen egyértelmű. Van ahol ezt az F (x) = P (ξ ≤ x) formulával definiálják, azaz a < reláció helyett ≤ relációt írnak. Ez a két definició akkor tér el, ha olyan valószínűségi változókat tekintünk, melyek bizonyos értékeket pozitív valószínűséggel is felvehetnek. Nem lehet e két lehetséges definició egyikét sem jobbnak tekinteni a másiknál. Viszont a finomabb vizsgálatokban fontos az egyik definicó rögzítése, és aztán annak következtetes alkalmazása.

1. Ha ismert egy ξ valószínűségi változó F (x) eloszlásfüggvénye, akkor ezen F (x) eloszlásfüggvény segítségével kiszámítható annak valószínűsége, hogy ez a valószínűségi változó egy [a, b) balról zárt jobbról nyilt egy zárt intervallumba, egy zárt [a, b] egy nyílt (a, b) intervallumba vagy mondjuk két (diszjunkt) [a, b] és [c, d] intervallum [a, b] ∪ [c, d] egyesítésébe esik. Általában kiszámítható annak valószinűsége, hogy ξ egy “természetes módon definiálható halmazba essék.

P (ξ ∈ [a, b)) = P ({ω: ξ(ω) < b} \ {ω: ξ(ω) < a]|) = P (ξ < b) − P (ξ < a) =

F (b) − F (a). P (ξ ∈ [a, b]) = lim_{n→∞} P (ξ ∈ [a, b + \frac{1}{n})) = lim_{n→∞} (F (b + \frac{1}{n}) − F (a)).

(Ebben a relációban kihasználtuk, hogy ha adva vannak egymásba skatulyázott

A_{1} ⊃ A_{2} ⊃ ⋯ halmazok az (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, akkor P ( ⋃_{n=1}^{∞} A_{n}) =

lim_{n→∞} P (A_{n}). Ez mint megbeszéltük azzal függ össze, hogy a valószínűség nem csak

additiv hanem σ-additiv is.) Hasonlóan P (ξ ∈ (a, b)) = lim_{n→∞} P (ξ ∈ [a + \frac{1}{n}, b)) =

lim_{n→∞} (F (b) − F (a + \frac{1}{n})). Végül P (ξ ∈ [a, b]∪[c, d]) = P (ξ ∈ [a, b])+P (ξ ∈ [c, d]) =

lim_{n→∞} (F (b + \frac{1}{n}) − F (a)) + lim_{n→∞} (F (d + \frac{1}{n}) − F (c)).

Házi feladat:

Fejezzük ki annak valószínűségét, hogy egy F (x) eloszlású valószínűségi változó egész értéket vesz fel az F (x) eloszlásfüggvény segítségével.

Tétel. Legyen ξ egy valószínűségi változó F (x) eloszlásfüggvénnyel. Ekkor a ξ valószínűségi változó várható értéke kiszámítható az

Eξ = ∫_{−∞}^{∞} xF ( dx)

képlet segítségével. Ha az F (x) eloszlásfüggvénynek létezik f(x) sűrűségfüggvénye, akkor

Eξ = ∫_{−∞}^{∞} xF ( dx) = ∫_{−∞}^{∞} xf(x) dx.

Általánosabban, ha h(x) (mérhető) függvény a számegyenesen, akkor a h(ξ) valószínűségi változó kiszámítható az

Eh(ξ) = ∫_{−∞}^{∞} h(x)F ( dx)

képlet segítségével. Ha az F (x) eloszlásfüggvénynek létezik f(x) sűrűségfüggvénye, akkor

Eh(ξ) = ∫_{−∞}^{∞} h(x)F ( dx) = ∫_{−∞}^{∞} h(x)f(x) dx.

Valószínűségi változó szórásnégyzetének a definiciója. Egy ξ valószínűségi változó szórásnégyzetét az általános esetben is a Var ξ = E ((ξ − Eξ)^{2}) képlet határozza meg. Továbbá igaz, hogy Var ξ = Eξ^{2} − (Eξ)^{2}. Ezért az előző eredmény alapján egy F (x) eloszlású ξ valószínűségi változó szórásnégyzete

Var ξ = ∫_{−∞}^{∞} x^{2}F ( dx) − (∫_{−∞}^{∞} xF ( dx))^{2}

= ∫_{−∞}^{∞} x^{2}f(x) dx − (∫_{−∞}^{∞} xf(x) dx)^{2}

ha az F (x) eloszlásfüggvénynek létezik f(x) sűrűségfüggvénye.

Tétel. Ha ξ és η két tetszőleges valószínűségi változó, a és b valós számok, akkor E(aξ + bη) = aEξ + bEη.

Ha ξ és η két független valószínűségi változó, a és b valós számok, akkor Var (aξ + bη) = a^{2}Var ξ + b^{2}Var η.

Ahhoz, hogy a fenti eredményt pontosan értsük tisztázni kell mint jelent valószínűségi változók függetlensége. Ezért felidézzük a következő definiciót:

Valószínűségi változók függetlensége. Legyen ξ_{1}, …, ξ_{n} n valószínűségi változó egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Azt mondjuk, hogy a ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók (teljesen) függetlenek, ha minden (mérhető) B_{1}, …, B_{n} halmazra a számegyenesen teljesül a

P (ξ_{1} ∈ B_{1}, …, ξ_{n} ∈ B_{n}) = P (ξ_{1} ∈ B_{1}) ⋯ P (ξ_{n} ∈ B_{n})

azonosság.

Igaz a következő tétel.

Tétel. Legyen ξ_{1}, …, ξ_{n} n valószínűségi változó egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. A ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók akkor és csak akkor (teljesen) függetlenek, ha minden x_{1}, …, x_{n} valós számra

P (ξ_{1} < x_{1}, …, ξ_{n} < x_{n}) = P (ξ_{1} < x_{1}) ⋯ P (ξ_{n} < x_{n})

1. Adva egy B esemény ennek indikátor függvénye az a χ_{B}(ω) valószínűségi változó, melyre χ_{B}(ω) = 1, ha ω ∈ B, χ_{B}(ω) = 0, ha ω ∉ B. Az A_{1}, …, A_{n} események akkor és csak akkor függetlenek, ha ezek χ_{A_{1}}(ω), …, χ_{A_{n}}(ω) indikátorfüggvényei függetlenek. Lássuk először azt be, hogy amennyiben a χ_{A_{1}}(ω), …, χ_{A_{n}}(ω) valószínűségi változók függetlenek, akkor az A_{1}, …, A_{n} események is azok, azaz tetszőleges J =

{j_{1}, …, j_{k}} ⊂ {1, …, n} halmazra P ( ⋂_{j∈J} A_{j}) = ∏_{j∈J} P (A_{j}). Valóban, legyen

x_{j} = \frac{1}{2}, ha j ∈ J, és x_{j} = −\frac{1}{2}, ha j ∉ J. Ekkor \{ω: ⋂_{j=1}^{n}\{χ(A_{j}) > x_{j}\}\} = ⋂_{j∈J} A_{j},

ezért

P ( ⋂_{j∈J} A_{j}) = P ({ω: ⋂_{j=1}^{n} χ(A_{j})(ω) > x_{j}})

= P (χ(A_{j}) > x_{j}, minden j = 1, … n számra)

= ∏_{j=1}^{n} P (χ(A_{j} > x_{j}) = ∏_{j∈J} P (A_{j}).

Megfordítva, tegyük fel, hogy az A_{1}, dots, A_{n} események függetlenek. Ekkor ezek komplementerei az Ā_{1}, …, Ā_{n} események is függetlenek, és kényelmesebb lesz ezt a tényt felhasználni a továbbiakban. Adva valós számok valamely x_{1}, …, x_{n} rendszere, akkor legyen J = J (x_{1}, …, x_{n}) = {j: 1 ≤ j ≤ n, x_{j} < 1}. Ekkor

P ({ω: χ(A_{j}) < x_{j}, 1 ≤ j ≤ n}) = P ( ⋂_{j∈J} Ā_{j})

= ∏_{j∈J} P (Ā_{j}) = ∏_{j=1}^{n} P ({ω: χ(A_{j}) < x_{j}}),

és ezt kellett bizonyítani.