\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf Az \'aprilis 11-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o}
\medskip
Tekints\"uk \'at val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek, sz\'or\'asn\'egyzet\'enek, el\-osz\-l\'a\-s\'a\-nak
\'altal\'anos definici\'oj\'at, a v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es
sz\'or\'asn\'egyzet kisz\'am\'{\i}t\'as\'at,
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny, s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny
definici\'oj\'anak \'altal\'anos alakj\'at, annak le\'{\i}r\'as\'at,
hogy hogyan sz\'a\-m\'{\i}t\-hat\-juk ki f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek az
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et az eredeti eloszl\'asf\"uggv\'enyek
ismeret\'eben.
 
Egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n \'ertelmezett (m\'erhet\H{o})
f\"uggv\'eny. Ennek v\'arhat\'o \'ert\'eke e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o (Lebesgue \'ertelemben vett) integr\'alja. Enn\'el a
definici\'on\'al sokkal fontosabb az al\'abb ismertetend\H{o}
eredm\'eny, mely megadja, hogy hogyan kell a v\'arhat\'o \'ert\'eket
effektive kisz\'am\'{\i}tani konkr\'et feladatokban. \'Altal\'aban nem
adj\'ak meg konkr\'etan a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t,
amelyen dolgozunk, csak a vizsg\'aland\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Nagyon fontos, hogy egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eket ennek
az eloszl\'asf\"uggv\'enynek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel is
kisz\'am\'{\i}thatjuk. Ennek az eredm\'enynek az ismertet\'ese
\'erdek\'eben bevezet\"unk el\H{o}bb n\'eh\'any fogalmat.
\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asf\"uggv\'eny \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny
definici\'oja.} {\it Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye az $F(x)$ f\"uggv\'eny, ha $P(\xi<x)=F(x)$
minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra. Azt mondjuk, hogy az $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enynek l\'etezik $f(x)$, $-\infty<x<\infty$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, ha $F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)\,dt$
minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra.}
\medskip\noindent
{\bf Megjegyz\'es:} {\it Az eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oja az
irodalomban nem teljesen egy\'ertelm\H{u}. Van ahol ezt az
$F(x)=P(\xi\le x)$ formul\'aval defini\'alj\'ak, azaz a $<$ rel\'aci\'o
helyett $\le$ rel\'aci\'ot \'{\i}rnak. Ez a k\'et definici\'o akkor
t\'er el, ha olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
tekint\"unk, melyek bizonyos \'ert\'ekeket pozit\'{\i}v
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel is felvehetnek. Nem lehet e k\'et
lehets\'eges definici\'o egyik\'et sem jobbnak tekinteni a
m\'asikn\'al. Viszont a finomabb vizsg\'alatokban fontos az egyik
definic\'o r\"ogz\'{\i}t\'ese, \'es azt\'an annak k\"ovetkeztetes
al\-kal\-ma\-z\'a\-sa.}
\item{1.} Ha ismert egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye, akkor ezen $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel kisz\'am\'{\i}that\'o
annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ez a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o egy $[a,b)$ balr\'ol
z\'art jobbr\'ol nyilt egy z\'art intervallumba, egy z\'art $[a,b]$
egy ny\'{\i}lt $(a,b)$ intervallumba vagy mondjuk k\'et (diszjunkt)
$[a,b]$ \'es $[c,d]$ intervallum $[a,b]\cup [c,d]$
egyes\'{\i}t\'es\'ebe esik. \'Altal\'aban kisz\'am\'{\i}that\'o annak
val\'oszin\H{u}s\'ege, hogy $\xi$ egy ``term\'eszetes m\'odon
defini\'alhat\'o halmazba ess\'ek.
\item{} $P(\xi\in [a,b))=P(\{\oo\:\xi(\oo)<b\}\setminus
\{\oo\:\xi(\oo)<a]|)=P(\xi<b)-P(\xi<a)=F(b)-F(a)$.
$P(\xi\in [a,b])=\limm_{n\to\infty}P\(\xi\in \[a,b+\frac1n\)\)=
\limm_{n\to\infty}\(F\(b+\frac1n\)-F(a)\)$. (Ebben a rel\'aci\'oban
kihaszn\'altuk, hogy ha adva vannak egym\'asba skatuly\'azott
$A_1\supset A_2\supset\cdots$  halmazok az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor $P\(\bigcupp_{n=1}^\infty
A_n\)=\limm_{n\to\infty} P(A_n)$. Ez mint megbesz\'elt\"uk azzal f\"ugg
\"ossze, hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg nem csak additiv hanem
$\sigma$-additiv is.) Hasonl\'oan
$P(\xi\in (a,b))=\limm_{n\to\infty}P\(\xi\in \[a+\frac1n,b\)\)=
\limm_{n\to\infty}\(F(b)-F\(a+\frac1n\)\)$. V\'eg\"ul
$P(\xi\in [a,b]\cup[c,d])=P(\xi\in [a,b])+P(\xi\in [c,d])=
\limm_{n\to\infty}\(F\(b+\frac1n\)-F(a)\)+
\limm_{n\to\infty}\(F\(d+\frac1n\)-F(c)\)$.
 
{\it H\'azi feladat:}
\item{} Fejezz\"uk ki annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy
egy $F(x)$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eg\'esz \'ert\'eket vesz fel az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
 
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $\xi$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'ennyel. Ekkor a $\xi$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'eke kisz\'am\'{\i}that\'o az
$$
E\xi=\int_{-\infty}^\infty xF(\,dx)
$$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ha az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek
l\'etezik $f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, akkor
$$
E\xi=\int_{-\infty}^\infty xF(\,dx)=\int_{-\infty}^\infty xf(x)\,dx.
$$
\'Altal\'anosabban, ha $h(x)$ (m\'erhet\H{o})  f\"uggv\'eny a
sz\'amegyenesen, akkor a $h(\xi)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi
v\'altoz\'o kisz\'am\'{\i}that\'o az
$$
Eh(\xi)=\int_{-\infty}^\infty h(x)F(\,dx)
$$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ha az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek
l\'etezik $f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, akkor
$$
Eh(\xi)=\int_{-\infty}^\infty h(x)F(\,dx)=\int_{-\infty}^\infty
h(x)f(x)\,dx.
$$
}\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzet\'enek
a definici\'oja.} {\it Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'o sz\'or\'asn\'egyzet\'et az \'altal\'anos esetben is a
$\Var \xi=E\((\xi-E\xi)^2\)$ k\'eplet hat\'arozza meg. Tov\'abb\'a
igaz, hogy $\Var \xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2$. Ez\'ert az el\H{o}z\H{o}
eredm\'eny alapj\'an egy $F(x)$ eloszl\'as\'u $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzete
$$
\align
\Var\xi&=\int_{-\infty}^\infty x^2 F(\,dx)-\(\int_{-\infty}^\infty x
F(\,dx)\)^2 \\
&=\int_{-\infty}^\infty x^2 f(x)\,dx-\(\int_{-\infty}^\infty xf(x)
\,dx\)^2 \\
&\qquad \text{ha az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek l\'etezik $f(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye.}
\endalign
$$
}\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et\/ {\rm tetsz\H{o}leges}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $a$ \'es $b$ val\'os sz\'amok,
akkor $E(a\xi+b\eta)=aE\xi+bE\eta$.
 
Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et\/ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, $a$ \'es $b$ val\'os sz\'amok, akkor $\Var
(a\xi+b\eta)=a^2\Var\xi+b^2\Var\eta$.} \medskip
 
Ahhoz, hogy a fenti eredm\'enyt pontosan \'erts\"uk tiszt\'azni kell
mint jelent va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'ege. Ez\'ert felid\'ezz\"uk a k\"ovetkez\H{o}
definici\'ot: \medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege.} {\it
Legyen $\xi_1,\dots,\xi_n$ $n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Azt
mondjuk, hogy a $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok (teljesen) f\"uggetlenek, ha minden (m\'erhet\H{o})
$B_1,\dots,B_n$ halmazra a sz\'amegyenesen teljes\"ul a
$$
P(\xi_1\in B_1,\dots,\xi_n\in B_n)=P(\xi_1\in B_1)\cdots P(\xi_n\in B_n)
$$
azonoss\'ag.}
\medskip
Igaz a k\"ovetkez\H{o} t\'etel. \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $\xi_1,\dots,\xi_n$  $n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o  egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. A $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok akkor \'es csak akkor
(teljesen) f\"uggetlenek, ha minden $x_1,\dots,x_n$ val\'os sz\'amra
$$
P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_n<x_n)=P(\xi_1<x_1)\cdots P(\xi_n< x_n)
$$
}\medskip
\item{1.} Adva egy $B$ esem\'eny ennek indik\'ator f\"uggv\'enye az a
$\chi_B(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melyre
$\chi_B(\oo)=1$, ha $\oo\in B$, $\chi_B(\oo)=0$, ha $\oo\notin B$. Az
$A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek akkor \'es csak akkor f\"uggetlenek, ha
ezek $\chi_{A_1}(\oo), \dots, \chi_{A_n}(\oo)$
indik\'atorf\"uggv\'enyei f\"uggetlenek.
\item{} L\'assuk el\H{o}sz\"or azt be, hogy amennyiben a
$\chi_{A_1}(\oo), \dots, \chi_{A_n}(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok f\"uggetlenek, akkor az $A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek
is azok, azaz tetsz\H{o}leges $\Cal J=\{j_1,\dots, j_k\}\subset
\{1,\dots,n\}$ halmazra $P\(\bigcapp_{j\in \Cal J} A_j\)=\prodd_{j\in
\Cal J}P\(A_j\)$. Val\'oban, legyen $x_j=\frac12$, ha $j\in\Cal J$,
\'es $x_j=-\frac12$, ha $j\notin\Cal J$. Ekkor
$\left\{\oo\:\bigcapp_{j=1}^n\{\chi(A_j)>x_j\}\right\}=
\bigcapp_{j\in \Cal J} A_j$, ez\'ert
$$
\align
P\(\bigcapp_{j\in \Cal J} A_j\)&=
P\(\left\{\oo\:\bigcapp_{j=1}^n\chi(A_j)(\oo)>x_j\right\}\)\\
&=P\(\chi(A_j)>x_j,\text{ minden } j=1,\dots
n\text{ sz\'amra}\)\\
&=\prod_{j=1}^nP(\chi(A_j>x_j) =\prodd_{j\in \Cal J}P(A_j).
\endalign
$$
\item{} Megford\'{\i}tva, tegy\"uk fel, hogy az $A_1,dots,A_n$
esem\'enyek f\"uggetlenek. Ekkor ezek komplementerei az $\bar
A_1,\dots,\bar A_n$ esem\'enyek is f\"uggetlenek, \'es k\'enyelmesebb
lesz ezt a t\'enyt felhaszn\'alni a tov\'abbiakban. Adva val\'os
sz\'amok valamely $x_1,\dots,x_n$ rendszere, akkor legyen $\Cal J=\Cal
J(x_1,\dots,x_n)=\{j\:1\le j\le n,\;x_j<1\}$. Ekkor
$$
\align
P(\{\oo\:\chi(A_j)<x_j,\;1\le j\le n\})&=P\(\bigcap_{j\in\Cal J}\bar
A_j\)\\
&=\prod_{j\in \Cal J} P(\bar A_j)= \prod_{j=1}^n
P(\{\oo\:\chi(A_j)<x_j\}),
\endalign
$$
\'es ezt kellett bizony\'{\i}tani.
 
\bye
