\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf Az \'aprilis 25-i gyakorlat t\'em\'aja}
%\hfill\break
%{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o}
\medskip
El\H{o}sz\"or megbesz\'elj\"uk az eloszl\'asf\"uggv\'eny
tulajdons\'agait. \medskip
\item{1.} Ha $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny, akkor
\itemitem{(i)} $F(x)$ monoton n\"ovekv\H{o} f\"uggv\'eny
\itemitem{(ii)} $\limm_{x\to-\infty} F(x)=0$,
$\limm_{x\to\infty} F(x)=1$,
\itemitem{(iii)} $F(x)$ minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra balr\'ol
folytonos, \'es l\'etezik jobboldali hat\'ar\'ert\'eke (mert monoton
n\"ovekv\H{o} f\"uggv\'eny), azaz $\limm_{t\to x-0} F(t)=F(x)$, \'es
l\'etezik a $\limm_{t\to x+0} F(t)$ hat\'ar\'ert\'ek is.
\itemitem{} $\limm_{t\to x-0}$-val azt jel\"olj\"uk, hogy olyan $t_n$
sz\'amsorozatot tekint\"unk, melyre egyr\'eszt $t_n\to x$,
m\'asr\'eszt $t_n\le x$ minden $n$ indexre. Hasonl\'oan
$\limm_{t\to x+0}$-val azt jel\"olj\"uk, hogy olyan $t_n$
sz\'amsorozatot tekint\"unk, melyre egyr\'eszt $t_n\to x$,
m\'asr\'eszt $t_n\ge x$ minden $n$ indexre.
\item{} Ha $f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, akkor $f(x)\ge0$
minden $x$ sz\'amra, \'es $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=1$.
\medskip \noindent
\item{} Val\'oban, ha $F(x)$ egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye, akkor $F(x)=P(\xi<x)\le
P(\xi<y)=F(y)$ az $x<y$ esetben, mert $\{\oo\:\xi(\oo)<x\}\subset
\{\oo\: \xi(\oo)<y\}$. Tov\'abb\'a, $\limm_{t\to x-0}F(t)=
\limm_{t\to x-0}P(\xi<t)=P(\xi<x)=F(x)$ a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
($\sigma$-additivit\'as miatt teljes\"ul\H{o}) m\'ult gyakorlaton
megbesz\'elt tulajdons\'aga miatt. (A jobboldali hat\'ar\'ert\'ek
l\'etezik az eloszl\'asf\"uggv\'eny monotonit\'asa miatt.) Ugyancsak
ezen tu\-laj\-don\-s\'ag miatt $\limm_{x\to-\infty}
F(x)=\limm_{x\to-\infty} P(\xi<x)=0$, $\limm_{x\to\infty}
F(x)=\limm_{x\to\infty} P(\xi<x)=1$. $\limm_{x\to\infty} F(x)=1$,
\item{} Mivel egy $f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny egy fenti
tulajdons\'agokkal rendelkez\H{o} el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny
 deriv\'altja (amelyik azt a plusz felt\'etelt is teljes\'{\i}ti,
hogy el\H{o}\'all mint egy  $f(\cdot)$ f\"uggv\'eny integr\'alja,
ez\'ert mint azt nem neh\'ez bel\'atni, egy
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a fenti felt\'eteleket.
\medskip
{\it Megjegyz\'es:}\/ Be lehet bizony\'{\i}tani,
hogy egy a fenti tulajdons\'agokkal rendelkez\H{o} $F(x)$ illetve
$f(x)$ f\"uggv\'enyhez l\'etezik olyan $(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}, \'es azon egy $\xi$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, melynek ez az $F(x)$
f\"uggv\'eny az eloszl\'asf\"uggv\'enye, illetve ez az $f(x)$
f\"uggv\'eny a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye.
\item{2.} Egy szab\'alyos p\'enz\'erm\'et feldobunk h\'aromszor.
Tekints\"uk azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, mely
megadja a fejdob\'asok sz\'am\'at. Adjuk meg ezt
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ot.
\medskip
{\it H\'azi feladat:} \smallskip
\item{} Egy szab\'alyos kock\'at feldobunk, \'es tekintj\"uk a dob\'as
eredm\'eny\'et megad\'o va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ot. Adjuk meg ezt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot.
\medskip
Az eloszl\'asf\"uggv\'eny az\'ert rendk\'{\i}v\"ul fontos fogalma a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asnak, mert \'altal\'aban nem
tudjuk, hogy melyek azok a v\'eletlen k\"or\"ulm\'enyek, melyek
meghat\'arozz\'ak egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
\'ert\'ek\'et, csak azt hogy milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesz
fel k\"ul\"onb\"oz\H{o} \'ert\'ekeket. Ahhoz, hogy ezeket a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket meg tudjuk hat\'arozni ismern\"unk kell
az eloszl\'asf\"uggv\'enyt. Ugyancsak fontos fogalom az
eloszl\'asf\"uggv\'eny t\"obbdimenzi\'os v\'altozata, amely megadja
t\"obb val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy\"uttes
eloszl\'as\'at. \medskip\noindent
{\bf T\"obbdimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it
Legyen adva $k$ val\'os \'ert\'ek\H{u} $\xi_1,\dots,\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Ezek eloszl\'asf\"uggv\'enye
az
$$
F(x_1,\dots,x_k)=P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_k<x_k),
$$
$k$ v\'altoz\'os f\"uggv\'eny, ahol $-\infty<x_j<\infty$ minden $1\le
j\le k$ indexre.
 
Azt mondjuk, hogy egy $F(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek
l\'etezik $f(x_1,\dots,x_k)$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye,
ha
$$
F(x_1,\dots,x_k)=\int_{-\infty}^{x_1}\cdots \int_{-\infty}^{x_k}
f(u_1,\dots,u_k)\,du_1\dots du_k
$$
minden
$-\infty<x_j<\infty$, $1\le j\le k$ sz\'amra.}
\medskip\noindent
 
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as probl\'em\'ai arr\'ol
sz\'olnak, hogy ha adva van val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
egy sorozata, melynek ismerj\"uk az egy\"uttes eloszl\'as\'at
mondhatunk ezekr\H{o}l, ezek k\"ul\"onb\"oz\H{o} f\"uggv\'enyei milyen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel jelennek meg.  R\'eszletesebb
t\'argyal\'as \'es bizony\'{\i}t\'as n\'elk\"ul megadjuk a
t\"obbdimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'eny tulajdons\'agait. Csak annyit
jegyez\"unk meg, hogy a kiss\'e bonyolultabb (iii) tulajdons\'ag azt
fejezi ki az eloszl\'asf\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy annak
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy olyan $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok, melyek eloszl\'asa
az $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny, nem negat\'{\i}v
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esik egy $\bold K$
t\'eglatestbe, azaz $P(a_j\le \xi_j<b_j, \text{ minden $1\le j\le k$
indexre})\ge 0$.
 
Azt is \'all\'{\i}tjuk, hogy az al\'abbi (i)---(iv) tulajdons\'agokkal
rendelkez\H{o} $F(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'enyhez l\'etezik $k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melyeknek ez az
eloszl\'asf\"uggv\'enye.
 
 
Az $F(u_1,\dots,u_k)$ f\"uggv\'eny akkor
\'es csak akkor eloszl\'asf\"uggv\'eny, ha teljes\'{\i}ti a
k\"ovetkez\H{o} n\'egy tulajdons\'agot.
\medskip
\item\item {(i)} $F(u_1,\dots,u_k)$ minden v\'altoz\'oj\'anak balr\'ol
folytonos f\"uggv\'enye.
\itemitem {(ii)} $\lim\limits\Sb u_j\to\infty \\ \text{minden }
j=1,\dots,k\text{ sz\'amra}\endSb F(u_1,\dots,u_k)=1$.
\itemitem{(iii)} $\lim\limits\Sb u_j\to-\infty \\ \text{valamely }1\le
j\le k\text{ sz\'amrra}\endSb F(u_1,\dots,u_k)=0$.
\itemitem{} V\'eg\"ul defini\'aljuk egy az $R^k$ t\'eren defini\'alt
$F$ f\"uggv\'enyre \'es egy
$\bold K=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_k,b_k)$ t\'eg\-la\-test\-re a
$$
\mu(\bold K)=\mu_F(\bold K)=\sum\Sb u_j=\; a_j\text{ vagy
}b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\chi(u_1,\dots,u_k)}F(u_1,\dots,u_k)
$$
mennyis\'eget, ahol $\chi(u_1,\dots, u_k)$ jel\"oli az $a_j$-k
sz\'am\'at az $u_1,\dots,u_k$ sorozatban. Ekkor
\itemitem{(iv)} $\mu_F(\bold K)\ge 0$ minden $\bold K$ t\'eglatestre.
\medskip\noindent
L\'assunk p\'eld\'at arra, hogyan lehet kisz\'am\'{\i}tani,
felhaszn\'alva a m\'ult \'or\'an t\'argyalt ered\-m\'e\-nye\-ket, egy
ismert eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\medskip\noindent
{\bf Definic\'o.} {\it Azt mondjuk, hogy egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o exponenci\'alis eloszl\'as\'u
$\lambda$ param\'eterrel, $\lambda>0$, ha eloszl\'asf\"uggv\'enye,
$F(x)=P(\xi<x)=1-e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$, \'es $F(x)=P(\xi<x)=0$,
ha $x<0$. Ezzel ekvivalens jellemz\'es: Egy $\lambda>0$
param\'eter\H{u} exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek l\'etezik $f(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$,
ha $x\ge 0$, $f(x)=0$, ha $x\le0$ alak\'u.} \medskip
\item{2.} Sz\'amoljuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u} $\xi$
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{}{\it Megold\'as:} Parci\'alis integr\'al\'assal kapjuk, hogy
$$
E\xi=\int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\[-x
e^{-\lambda x}\]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-\lambda
x}\,dx=\frac1\lambda,
$$
$$
E\xi^2=\int_0^\infty x^2\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\[x^2
e^{-\lambda x}\]_0^\infty+\int_0^\infty 2x e^{-\lambda
x}\,dx=\frac2{\lambda^2}.
$$
Ez\'ert $\Var
\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=\dfrac2{\lambda^2}-\dfrac1{\lambda^2}
=\dfrac1{\lambda^2}$.
\medskip\noindent
{\bf Definici\'o} Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
egyenletes eloszl\'as\'u az $[a,b]$ intervallumban, ha a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye  $f(x)=\dfrac1{b-a}$, ha
$a\le x\le b$, \'es $f(x)=0$, ha $x<a$ vagy $x\ge b$.
 
{\it H\'azi feladat.}
 
\item{} Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy a $[0,1]$ intervallumban egyenletes
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\medskip
 
Legyen adva k\'et $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, melyeknek $H(x,y)=P(\xi<x,\eta<y)$ az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye. Ekkor a $(\xi,\eta)$
vektor $H(x,y)=P(\xi<x,\eta<y)$ az el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye
meghat\'arozza a $P(\xi+\eta<u)=F(u)$ f\"uggv\'enyt is tetsz\H{o}leges
$-\infty<u<\infty$ sz\'amra, azaz a $\xi+\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et,
illetve s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et felt\'eve hogy ez ut\'obbi
is l\'etezik. Felmer\"ul a k\'erd\'es, hogyan tudjuk ezeket effektive
kisz\'am\'{\i}tani. A legfontosabb eset, \'es a tov\'abbiakban ezzel
foglalkozunk, az amikor a $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek.
 
Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, melyek eloszl\'asai $F(x)$ \'es $G(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek. Tegy\"uk fel azt is, hogy
ezeknek az eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek l\'etezik $f(x)$ \'es $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk. A f\"uggetlens\'eg miatt a
$(\xi,\eta)$ vektor el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye a
$H(x,y)=P(\xi<x,\eta<y)=P(\xi<x)P(\eta<y)=F(x)G(y)$
f\"uggv\'eny. Tov\'abb\'a a $H(x,y)=F(x)G(y)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek
l\'etezik s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es ez az $f(x)g(y)$
f\"uggv\'eny. Megadjuk a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt, mely megadja a
$\xi+\eta$ \"osszeg (l\'etez\H{o}) s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(x)$ \'es $G(x)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'ennyel. Tegy\"uk fel, hogy l\'etezik
az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek $f(x)$ a $G(x)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-nek pedig $g(x)$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"uggv\'enye.
Ekkor a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onk
l\'etezik s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'enye. Ezt az
$$
\aligned
f*g(x)&=\int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y)\,dy=
\int_{-\infty}^\infty f(y)g(x-y)\,dy \\
&=\int_{-\infty}^\infty f\(\frac x2-y\)\(\frac x2+y\)\,dy,
\endaligned
\qquad
-\infty<x<\infty
$$
k\'eplet adja meg. A fenti k\'eplettel defini\'alt $f*g(\cdot)$
f\"uggv\'enyt az $f$ \'es $g$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyek
konvoluci\'oj\'anak h\'{\i}vj\'ak.} \medskip\noindent
Sz\'am\'{\i}tsuk ki ismert s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\H{u}
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek
a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et a fenti eredm\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. \medskip
\item{3.} Legyenek $\xi_1$ \'es $\xi_2$ f\"uggetlen exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, azaz legyen
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ ha
$x\ge 0$, \'es $f(x)=0$, ha $x>0$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi_1+\xi_2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. \'Altal\'anosabban, legyenek
$\xi_1, \dots \xi_m$ f\"ug\-get\-len exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\lambda>0$ param\'eterrel.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi_1+\cdots+\xi_m$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} Ki kell sz\'amolnunk az $f*f(x)$ illetve $\underbrace
{f*\cdots* f}_m(x)$ konvoluci\'okat a fenti $f(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Mivel $f(x)=0$, ha $x\le 0$, a
konvoluci\'ot meghat\'aroz\'o integr\'alban szerepl\H{o} $f(y)f(x-y)$
integrandus nulla, ha $y\le 0$ vagy $x-y\le0$. Innen a konvoluci\'ot
defini\'al\'o integr\'al csak $x\ge0$ eset\'en lehet nulla, az $x\le0$
esetben $f(y)f(x-y)>0$ minden $y$-ra nulla, \'es $x\ge0$ eset\'en az
$f(y)f(x-y)>0$ integrandus csak $0\le y\le x$ eset\'en nem nulla.
Innen a $\xi_1+\xi_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f_2(x)=f*f(x)$ $x<0$-ra $f_2(x)=0$,
\'es
$$
\align
f_2(x)&=f*f(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)f(x-y)\,dy=\int_0^x
\lambda e^{-\lambda y}\lambda e^{-\lambda(x-y)}\,dy\\
&=\int_0^x \lambda^2 e^{-\lambda x}\,dy=\lambda^2xe^{-\lambda x}, \quad
\text{ha } x\ge0.
\endalign
$$
Hasonl\'oan, ha $f_m(x)=\underbrace {f*\cdots* f}_m(x)$ jel\"oli
$\xi_1+\cdots\xi_m$  s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et, akkor
$f_m(x)=0$ minden $m\ge1$ sz\'amra, ha $x<0$. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy
$f_m(x)=\dfrac{\lambda^m x^{m-1}}{(m-1)!}e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$.
Ezen \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg bel\'atni teljes
indukci\'oval azt, hogy $f_{m-1}*f(x)=f_m(x)$ a fent defini\'alt $f_m$
f\"uggv\'enyekkel. Viszont
$$
\align
f_{m-1}*f(x)&=\int_{-\infty}^\infty f_{m-1}(y)f(x-y)\,dy=\int_0^x
\lambda^{m-1}\frac{y^{m-2}}{(m-2)!} \lambda
e^{-\lambda y}e^{-\lambda(x-y)}\,dy\\
&=\lambda^m e^{-\lambda x}\int_0^x
\frac{y^{m-2}}{(m-2)!} \,dy=e^{-\lambda
x}\frac{\lambda^m x^{m-1}}{(m-1)!},\quad\text{ha }x\ge0.
\endalign
$$
\item{4.} Legyenek $\xi_1$ \'es $\xi_2$ f\"uggetlen exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, azaz legyen
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ ha
$x\ge 0$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi_1-\xi_2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} $\xi_1-\xi_2=\xi_1+(-\xi_2)$, \'es $-\xi_2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f^{-}(x)=f(-x)$, azaz $f^-(x)=\lambda
e^{\lambda x}$, ha $x<0$, \'es $f^-(x)=0$, ha $x>0$. Teh\'at a minket
\'erdek\H{o}  $\xi_1-\xi_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$
f*f^-(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)f(y-x)\,dy.
$$
Ha $x\ge0$, akkor az $f(y)f(y-x)$ integrandus $y\ge0$ \'es $y>x$, azaz
$y>x$ eset\'en nagyobb mint 0, ez\'ert
$$
\align
f*f^-(x)&=\int_{-\infty}^\infty f(y)f(y-x)\,dy=\int_x^{\infty} \lambda^2
e^{-\lambda y}e^{\lambda(x-y)}\,dy \\
&=\lambda^2e^{\lambda x}\int_x^\infty
e^{-2\lambda y}\,dy=\lambda^2 e^{\lambda x}\dfrac{e^{-2\lambda
x}}{2\lambda}=\frac\lambda2 e^{-\lambda x}\quad \text{ha } x\ge0.
\endalign
$$
Ha $x<0$, akkor az $f(y)f(y-x)$ integrandus $y\ge0$ \'es $y>x$, azaz
$y>0$ eset\'en nagyobb mint 0, ez\'ert
$$
\align
f*f^-(x)&=\int_{-\infty}^\infty f(y)f(y-x)\,dy=\int_0^{\infty} \lambda^2
e^{-\lambda y}e^{\lambda(x-y)}\,dy \\
&=\lambda^2e^{\lambda x}\int_0^\infty
e^{-2\lambda y}\,dy=\lambda^2 e^{\lambda x}\dfrac1
{2\lambda}=\frac\lambda2 e^{\lambda x}\quad \text{ha } x<0.
\endalign
$$
T\"om\"orebb jel\"ol\'essel $\xi_1-\xi_2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $\dfrac\lambda 2e^{-\lambda|x|}$.
\medskip
{\it H\'azi feladat}
\item{} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen \'es a
$[-\frac12,\frac12]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, azaz legyen $f(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk $f(x)=1$, ha $-\frac12\le x\le
\frac12$, $f(x)=0$, ha $x>\frac12$ vagy $x<-\frac12$. Sz\'am\'{\i}tsuk
ki $\xi_1+\xi_2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\medskip\noindent
{\bf Standard norm\'alis eloszl\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny
definici\'oja.} {\it Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
standard norm\'alis eloszl\'as\'u, ha
$P(\xi<x)=\Phi(X)=\dsize \int_{-\infty}^x \dfrac1{\sqrt
{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du$. Ezen $\Phi(x)$ eloszl\'as
$\varphi(u)=\dfrac1{\sqrt {2\pi}}e^{-u^2/2}$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et a standard norm\'alis
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny\-nek h\'{\i}vj\'ak.}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it A standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'enynek
nevezett
$$P(\xi<x)=\Phi(x)=\int_{-\infty}^x \dfrac1{\sqrt
{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du
$$
f\"uggv\'eny val\'oban eloszl\'asf\"uggv\'eny. Ez azt jelenti, hogy
teljes\"ul az $\dsize \int_{-\infty}^\infty \dfrac1{\sqrt
{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du=1$, (\'es n\'eh\'any az adott esetben
ny\'{\i}lv\'anval\'o \"osszf\"ugg\'es, melyek ahhoz kellenek,
hogy $\Phi(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny legyen.) Egy standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'eke nulla, sz\'or\'asn\'egyzete 1, azaz
$$
\int_{-\infty}^\infty u \dfrac1{\sqrt {2\pi}}e^{-u^2/2}\,du=0,
\quad\text{\'es}\quad \dsize\int_{-\infty}^\infty u^2 \dfrac1{\sqrt
{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du=1.
$$
\medskip\noindent}
{\bf Megjegyz\'es:} {\it Ha egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asa a $\Phi(x)$ standard norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'eny, akkor egy $\sigma\xi+m$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et
$\Phi\(\dfrac{x-m}\sigma\)$ eloszl\'as \'es
$\dfrac1\sigma\varphi\(\dfrac{x-m}\sigma\)=\dfrac1{\sqrt
{2\pi\sigma}}e^{-(x-m)^2/\sigma^2}$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et
norm\'alis eloszl\'as illetve norm\'alis
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enynek nevezik tetsz\H{o}leges
$-\infty<m<\infty$ \'es $\sigma>0$ eset\'en.
 
A norm\'alis eloszl\'as rendk\'{\i}v\"ul fontos szerepet j\'atszik a
val\'oszin\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban, mert f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
r\'eszlet\"osszegeinek eloszl\'asa nagyon \'al\-ta\-l\'a\-nos
felt\'etelek mellett a norm\'alis eloszl\'ashoz konverg\'al.
Jegyezz\"uk meg, hogy mint azt az el\H{o}ad\'ason
bebizony\'{\i}tott\'ak, k\'et f\"uggetlen norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszege is norm\'alis
eloszl\'as\'u.} \medskip
\item{5.} Adva egy $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'am\'{\i}tsuk ki $8\xi^3$
\'es $\xi^4$ eloszl\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{a.)} $8\xi^3$ elosz\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye:
$P(8\xi^3<x)=P\(\xi<\dfrac{x^{1/3}}2\)=\Phi\(\dfrac{x^{1/3}}2\)$,
teh\'at $8\xi^3$ eloszl\'asf\"uggv\'enye $\Phi\(\dfrac{x^{1/3}}2\)$,
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye pedig ennek deriv\'altja, azaz
$\dfrac16 x^{-2/3}\varphi\(\dfrac{x^{1/3}}2\)
=\dfrac{x^{-2/3}}{6\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2/3}/8}$.
\item{b.)} $\xi^4$ eloszl\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye:
$P(\xi^4<x)=0$, ha $x\le0$, \'es
$P(\xi^4<x)=P(-x^{1/4}<\xi<x^{1/4})=P(\xi<x^{1/4})-P(\xi<-x^{1/4})
=\Phi(x^{1/4})-\Phi(-x^{1/4})$, ha $x>0$. M\'asr\'eszt, mivel a
$\Phi(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny $\varphi(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye p\'aros f\"uggv\'eny, ez\'ert
$\Phi(-x^{1/4})=\dsize\int_{-\infty}^{-x^{1/4}}\varphi(u)\,du=
\int^{\infty}_{x^{1/4}}\varphi(u)\,du=1-
\int_{-\infty}^{x^{1/4}}\varphi(u)\,du=1-\Phi(x^{1/4})$.
Ez\'ert a $\xi^4$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye $P(\xi^4<x)=2\Phi(x^{1/4})-1$, ha $x\ge 0$,
\'es null\'aval egyenl\H{o}, ha $x<0$. S\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
pedig ennek deriv\'altja $\frac12x^{-3/4}\varphi(x^{1/4})$, ha $x\ge0$,
\'es nulla, ha $x<0$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\item{} Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $[-\frac12,\frac12]$
intervallumban. Sz\'a\-m\'{\i}t\-suk ki a $\xi^2$ \'es $\xi^3$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'as \'es
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
 
 
 
\bye
 
 
 
 
