A MÁJUS 16–i DOLGOZAT FELADATAI ÉS MEGOLDÁSAI (Valószínűségszámítás I. gyakorlaton)

Megjegyzés: Abban az esetben, ha egy megkérdezett fogalom definícióját több (egymással ekvivalens) módon lehet megadni, akkor ezek mindegyike jó válasznak minősül.

1. Legyenek ξ és η független valószínűségi változók, a ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{2}e^{−|x|}, −∞ < x < ∞, az η valószínűségi változó egyenletes eloszlású a 0 ≤ x ≤ 1 intervallumban, azaz η sűrűségfüggvénye g(x) = 1, ha 0 ≤ x ≤ 1, g(x) = 0 egyébként. Számítsuk ki a ξ − η valószínűségi változó sűrűségfüggvényét.

2. Legyen ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó a [0, 1] intervallumban, azaz legyen f(·) sűrűségfüggvénye f(x) = 1, ha 0 ≤ x ≤ 1, f(x) = 0 egyébként. Számítsuk ki a ξ^{2} valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét.

3. Legyen ξ exponenciális eloszlású valószínűségi változó λ = 1 paraméterrel, azaz F (x) = P (ξ < x) = 1 − e^{−x}, ha x ≥ 0, F (x) = P (ξ < x) = 0, ha x ≤ 0. Számítsuk ki a ξ + ξ^{2} valószínűségi változó eloszlás és sűrűségfüggvényét.

4. A következő játékot játsszuk. Egy szabályos pénzdarabot feldobnak egymás után 10 000 alkalommal. Fejdobás esetében három forintot nyerünk, írás dobás esetében egy forintot veszítünk. Adjunk jó becslést a mellékelt normális eloszástáblázat alapján annak a valószínűségére, hogy nyereményünk összege 9 800 és 10 100 forint között lesz.

5. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{k} független valószínűségi változók, melyek várható értékei Eξ_{j} = 0, 1 ≤ j ≤ k, szórásnégyzetei pedig Var ξ_{j} = σ_{j}^{2}, 1 ≤ j ≤ k. Adjunk becslést a Chebishev egyenlőtlenség segítségével a

P (|∑_{j=1}^{k} ξ_{j}| > x)

valószínűségre minden x > 0 szám esetében.

6. Mikor mondjuk, hogy egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn defininiált ξ_{1}, …, ξ_{k} valószínűségi változók függetlenek?

Megoldások

1. Jelölje g^{−}(·) a −η valószínűségi változó sűrűségfüggvényét. Ekkor g^{−}(x) = 1, ha −1 ≤ x ≤ 0, g^{−}(x) = 0 egyébként, és a ξ − η = ξ + (−η) valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a h(x) = f ∗ g^{−}(x) függvény, ahol ∗ konvolúciót jelöl. Másrészt, mivel g^{−}(x − y) = 1, ha x ≤ y ≤ x + 1, és g^{−}(x − y) = 0 különben, ezért

h(x) = ∫_{−∞}^{∞} f(y)g^{−}(x − y) dy = ∫_{x}^{x+1} f(y) dy = ∫_{x}^{x+1} e^{−|y|} dy.

Válasszuk szét a következő három esetet: a.) x < −1, b.) −1 ≤ x ≤ 0, c.) x > 0. Az a.) esetben, ha x < −1 h(x) = ∫_{x}^{x+1} e^{−|y|} dy = ∫_{x}^{x+1} e^{y} dy = e^{x+1} − e^{x}, a b.) esetben, ha −1 ≤ x ≤ 0 h(x) = ∫_{x}^{x+1} e^{−|y|} dy = ∫_{x}^{0} e^{y} dy + ∫_{0}^{x+1} e^{−y} dy = 1 − e^{x} + 1 − e^{−x−1} = 2 − e^{−x−1} − e^{x}, a c.) esetben, ha x > 0 h(x) = ∫_{x}^{x+1} e^{−|y|} dy = ∫_{x}^{x+1} e^{−y} dy = e^{−x} − e^{−x−1}.

2. Első megoldás: Var ξ^{2} = E ((ξ^{2})^{2}) − (Eξ^{2})^{2} = Eξ^{4} − (Eξ^{2})^{2} = ∫ x^{4}f(x) dx −

(∫ x^{2}f(x) dx)^{2}, ahol f(x) = 1, ha 0 ≤ x ≤ 1, f(x) = 0 egyébként, azaz f(x) a ξ

valószínűségi változó sűrűségfüggvénye. Innen, Var ξ = ∫_{0}^{1} x^{4} dx − (∫_{0}^{1} x^{2} dx)^{2} =

\frac{1}{5} − (\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{5} − \frac{1}{9} = \frac{4}{45}.

Második megoldás: Számítsuk ki először a ξ^{2} valószínűségi változó eloszlás és sűrűségfüggvényét. A ξ^{2} valósz1nűségi változó F (·) eloszlásfüggvénye F (x) = P (ξ^{2} < x) = P (−\sqrt{x} < ξ < \sqrt{x}) = P (0 ≤ ξ ≤ \sqrt{x}) = \sqrt{x}, ha 0 ≤ x ≤ 1, F (x) = 0, ha ξ < 0, F (x) = 1, ha x > 1. Innen a ξ^{2} valószínűségi változó f(·)

sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}, ha 0 ≤ x ≤ 1, és f(x) = 0 egyébként. Ezért

Var ξ^{2} = ∫_{0}^{1} x^{2} \frac{1}{2\sqrt{x}} dx − (∫_{0}^{1} x\frac{1}{2\sqrt{x}} dx)^{2} = \frac{1}{2} · \frac{2}{5} − (\frac{1}{2} · \frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{45}

Megjegyzés: Sokan választották ezt a második megoldást. Sajnos azonban a számolást majdnem mindenki elrontotta azok közül, akik ezt az utat választották. Nem vették figyelembe, hogy egy a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változó egy valószínűséggel a [0, 1] intervallumban veszi fel az értékeit, ezért nem lehet vele úgy számolni, mintha a sűrűségfüggvénye páros függvény volna. Jó ellenőrzés lett volna kontrollálni, hogy a ξ^{2} valószínűségi változó sűrűségfüggvényeként felírt függvény integrálja valóban eggyel egyenlő-e, amint annak lenni kell.

3. Jelölje G(x) a ξ + ξ^{2} valószínűségi változó eloszlásfüggvényét. Ekkor G(x) = P (ξ + ξ^{2} < x). Mivel a ξ (exponenciális eloszlású valószínűségi) változó csak nem negatív értékeket vesz fel, ezért ξ + ξ^{2} valószínűségi változó is egy valószínűséggel nem negatív értéket vesz fel, azaz G(x) = 0, ha x < 0. Ha x ≥ 0, akkor a ξ + ξ^{2} < x egyenlőtlenség akkor és csak akkor teljesül, ha a ξ valószínűségi változó olyan y értéket vesz fel, melyre y + y^{2} < x, azaz y_{1}(x) < ξ < y_{2}(x), ahol y_{2}(x) =

\frac{−1 + \sqrt{1 + 4x}}{2}, és y_{1}(x) = \frac{−1 − \sqrt{1 + 4x}}{2}, azaz y_{2}(x) és y_{1}(x) az y^{2} + y − x = 0

egyenlet nagyobb illetve kisebb gyöke. Mivel y_{1}(x) ≤ 0, y_{2}(x) ≥ 0 minden x ≥ 0 számra, ezért G(x) = P (y_{1}(x) < ξ < y_{2}(x)) = P (ξ < y_{2}(x)) = 1 − e^{−y_{2}(x)} = 1 −

exp \{\frac{1 − \sqrt{1 + 4x}}{2}\}, ha x ≥ 0. Ezzel meghatároztuk a ξ + ξ^{2} valószínűségi változó

G(x) eloszlásfüggvényét. A ξ+ξ^{2} valószínűségi változó g(·) sűrűségfüggvénye ennek

deriváltja, azaz g(x) = 0, ha x < 0, g(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + 4x}} exp \{\frac{1 − \sqrt{1 + 4x}}{2}\}, ha x ≥ 0.

Megjegyzés: Lehet, hogy ez a feladat nehezebb volt a kelleténél. Itt a ξ → ξ + ξ^{2} leképezés inverzét kellett kiszámítani, azaz azt, hogy ha ξ + ξ^{2} egy félegyenesbe esik, akkor hova esik ξ. Lehet, hogy ez kissé váratlan volt, de ilyen vizsgálatot már valószínűleg a középiskolában is csináltak. Továbbá fontosnak tartom, hogy a jövóben ne kövessenek el egy hibát, melyet nagyon sokan elkövettek. Az ebben a feladatban szereplő ξ és ξ^{2} valószínűségi változók nem függetlenek. Ezért a független valószínűségi változólra tanultak (pl. a konvoulució alkalmazhatósága) nem használható a ξ + ξ^{2} kiszámításánál. A ξ + ξ^{2} összeget együtt kell tekinteni, ennek eloszlását nem lehet kiszámítani ha a ξ és ξ^{2} valószínűségi változók eloszlásait ismerjük, de együttes eloszlásukat nem.

4. Jelölje ξ_{j} a j-ik dobás eredményeként kapott nyereményünk, azaz legyen ξ_{j} = 3, ha a j-ik dobás eredménye fej, ξ_{j} = −1, ha a j-ik dobás eredménye írás. Ekkor a

P (9800 < ∑_{j=1}^{10000} ξ_{j} < 10100)

valószínűségre kell jó becslést adni. A ξ_{j} valószínűségi változók függetlenek és egyforma eloszlásúak, P (ξ_{j} = −1) = P (ξ_{j} = 3) = \frac{1}{2}. Ezért Eξ_{j} = \frac{1}{2}(3 − 1) = 1, Eξ_{j}^{2} = \frac{1}{2} ((−1)^{2} + 3^{2}) = 5, Var ξ_{j} = 4. Ezért a vizsgálandó valószínűség a következő, a centrális határeloszlástétel segítségével jól vizsgálható alakban írható fel:

P (−1 < \frac{∑_{j=1}^{10000} ξ_{j} − 10000Eξ_{1}}{\sqrt{10000Var ξ_{1}}} < \frac{1}{2}) .

A centrális határeloslástétel alapján

P (−1 < \frac{∑_{j=1}^{10000} ξ_{j} − 10000Eξ_{1}}{\sqrt{10000Var ξ_{1}}} < \frac{1}{2})

∼ Φ (\frac{1}{2}) − Φ(−1) = Φ (\frac{1}{2}) + Φ(1) − 1 ∼ 0.5328

5. Mivel E ∑_{j=1}^{k} ξ_{j} = ∑_{j=1}^{k} Eξ_{j} = 0, Var ∑_{j=1}^{k} ξ_{j} = ∑_{j=1}^{k} Var ξ_{j} = ∑_{j=1}^{k} σ_{j}^{2}, a Chebishev

egyenlőtlenség alapján

P (|∑_{j=1}^{k} ξ_{j}| > x) = P (|∑_{j=1}^{k} ξ_{j} − E (∑_{j=1}^{k} ξ_{j})| > x) ≤ \frac{∑_{j=1}^{k} σ_{j}^{2}}{x^{2}}

minden x > 0 számra.

6. A kért definició (különböző ekvivalens alakban) megtalálható a gyakorlatok anyagában is és ennak a kérdésnek a megválaszolásával nem is volt probléma. Ezért ennek tárgyalását elhagyjuk.