% Kedves Pista, Gyuszi, Marci, Sanyi.

% Itt kuldom a majus 16-an iratott dolgozat anyagat a megoldasokkal egyutt.
% A diakoknak megigertem, hogy valamelyikotok kinyomtatja es elhelyezi a kemia
% epuletben, ott ahol a masolasokat lehet kesziteni. Eleg fontos lenne ez,
% mert a masodik dolgozat nem jol sikerult es a javitashoz erdemes lenne ezt
% figyelmesen attanulmanyozni. A Marcinak nindjart kuldom az uj dolgozat
% anyagat is.

 %  Udv,  Peter (Major Peter)



\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
% \nopagenumbers
\centerline{\bf A M\'AJUS 16--i DOLGOZAT FELADATAI \'ES MEGOLD\'ASAI}
\smallskip\centerline {(\it Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
I. gyakorlaton)}
\medskip\noindent
 
{\it Megjegyz\'es:}\/ Abban az esetben, ha egy megk\'erdezett fogalom
defin\'{\i}ci\'oj\'at t\"obb (egy\-m\'as\-sal ekvivalens) m\'odon lehet
megadni, akkor ezek mindegyike j\'o v\'alasznak min\H{o}s\"ul.
\bigskip
\item{1.} Legyenek $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
a $\xi$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye $f(x)=\frac12e^{-|x|}$,
$-\infty<x<\infty$, az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
egyenletes eloszl\'as\'u a $0\le x\le1$ intervallumban, azaz $\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=1$, ha $0\le x\le1$, $g(x)=0$
egy\'ebk\'ent. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi-\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{2.} Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $[0,1]$ intervallumban, azaz
legyen $f(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1$, ha $0\le
x\le 1$, $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{3.} Legyen $\xi$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda=1$ param\'eterrel, azaz
$F(x)=P(\xi<x)=1-e^{-x}$, ha $x\ge0$, $F(x)=P(\xi<x)=0$, ha $x\le0$.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi+\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{4.} A k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot j\'atsszuk. Egy szab\'alyos
p\'enzdarabot feldobnak egym\'as ut\'an 10~000 alkalommal. Fejdob\'as
eset\'eben h\'arom forintot nyer\"unk, \'{\i}r\'as dob\'as eset\'eben
egy forintot vesz\'{\i}t\"unk. Adjunk j\'o becsl\'est a mell\'ekelt
norm\'alis elosz\'ast\'abl\'azat alapj\'an annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy
nyerem\'eny\"unk \"osszege 9~800 \'es 10~100 forint k\"oz\"ott lesz.
\item{5.} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyek v\'arhat\'o
\'ert\'ekei $E\xi_j=0$, $1\le j\le k$, sz\'or\'asn\'egyzetei pedig
$\Var \xi_j=\sigma_j^2$, $1\le j\le k$.  Adjunk becsl\'est a Chebishev
egyenl\H{o}tlens\'eg seg\'{\i}ts\'eg\'evel a
$$
P\(\left|\sum_{j=1}^k\xi_j\right|>x\)
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre minden $x>0$ sz\'am eset\'eben.
\item{6.} Mikor mondjuk, hogy egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n definini\'alt $\xi_1,\dots,\xi_k$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek?
 
\bigskip\noindent
{\bf Megold\'asok}
\medskip
\item{1.} Jel\"olje $g^-(\cdot)$ a $-\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. Ekkor $g^-(x)=1$, ha
$-1\le x\le 0$, $g^-(x)=0$ egy\'ebk\'ent, \'es a $\xi-\eta=\xi+(-\eta)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
a $h(x)=f*g^-(x)$ f\"uggv\'eny, ahol $*$ konvol\'uci\'ot jel\"ol.
M\'asr\'eszt, mivel $g^-(x-y)=1$, ha $x\le y\le x+1$, \'es
$g^-(x-y)=0$ k\"ul\"onben, ez\'ert
$$
h(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)g^-(x-y)\,dy=\int_x^{x+1} f(y)\,dy
=\int_x^{x+1} e^{-|y|}\,dy.
$$
V\'alasszuk sz\'et a k\"ovetkez\H{o} h\'arom esetet: a.) $x<-1$, b.)
$-1\le x\le0$, c.) $x>0$. Az a.) esetben, ha $x<-1$
$h(x)=\int_x^{x+1} e^{-|y|}\,dy=
\int_x^{x+1} e^{y}\,dy=e^{x+1}-e^x$, a b.) esetben, ha $-1\le x\le0$
$h(x)=\int_x^{x+1} e^{-|y|}\,dy=\int_x^{0} e^{y}\,dy+
\int_0^{x+1} e^{-y}\,dy=1-e^x+1-e^{-x-1}=2-e^{-x-1}-e^x$, a c.)
esetben, ha $x>0$ $h(x)=\int_x^{x+1} e^{-|y|}\,dy=
\int_x^{x+1} e^{-y}\,dy=e^{-x}-e^{-x-1}$.
\item{2.} {\it Els\H{o} megold\'as:}\/ $\Var
\xi^2=E\(\(\xi^2\)^2\)-\(E\xi^2\)^2=E\xi^4-\(E\xi^2\)^2=\int x^4
f(x)\,dx-\(\int x^2 f(x)\,dx\)^2$, ahol $f(x)=1$, ha $0\le x\le1$,
$f(x)=0$ egy\'ebk\'ent, azaz $f(x)$ a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Innen, $\Var\xi=\int_0^1
x^4\,dx-\(\int_0^1x^2\,dx\)^2=\dfrac
15-\(\dfrac13\)^2=\dfrac15-\dfrac19=\dfrac4{45}$.
\item{} {\it M\'asodik megold\'as:}\/ Sz\'am\'{\i}tsuk ki
el\H{o}sz\"or a $\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. A $\xi^2$
val\'osz1n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye
$F(x)=P(\xi^2<x)=P(-\sqrt
x<\xi<\sqrt x)=P(0\le \xi\le \sqrt x)=\sqrt x$, ha $0\le x\le 1$,
$F(x)=0$, ha $\xi<0$, $F(x)=1$, ha $x>1$. Innen a $\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\dfrac1{2\sqrt x}$, ha $0\le
x\le 1$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Ez\'ert
$$
\Var\xi^2=\int_0^1 x^2\frac1{2\sqrt x}\,dx-\(\int_0^1 x\dfrac1{2\sqrt
x}\,dx\)^2=\frac12\cdot\frac25-\(\frac12\cdot\frac23\)^2=\frac4{45}
$$
\smallskip
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Sokan v\'alasztott\'ak ezt a m\'asodik
megold\'ast. Sajnos azonban a sz\'a\-mo\-l\'ast majdnem mindenki
elrontotta
azok k\"oz\"ul, akik ezt az utat v\'alasztott\'ak. Nem vett\'ek
figyelembe, hogy egy a $[0,1]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a $[0,1]$ intervallumban veszi fel az
\'ert\'ekeit, ez\'ert nem lehet vele \'ugy sz\'amolni, mintha a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye p\'aros f\"uggv\'eny volna. J\'o
ellen\H{o}rz\'es lett volna kontroll\'alni, hogy a $\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye\-k\'ent fel\'{\i}rt
f\"uggv\'eny integr\'alja val\'oban eggyel egyenl\H{o}-e, amint annak
lenni kell.
\item{3.} Jel\"olje $G(x)$ a $\xi+\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Ekkor $G(x)=P(\xi+\xi^2<x)$.
Mivel a $\xi$ (exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi) v\'altoz\'o csak nem negat\'{\i}v
\'ert\'ekeket vesz fel, ez\'ert $\xi+\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o is egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nem negat\'{\i}v
\'ert\'eket vesz fel, azaz $G(x)=0$, ha $x<0$. Ha $x\ge0$, akkor a
$\xi+\xi^2<x$ egyenl\H{o}tlens\'eg akkor \'es csak akkor
teljes\"ul, ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o olyan
$y$ \'ert\'eket vesz fel, melyre $y+y^2<x$, azaz $y_1(x)<\xi<y_2(x)$,
ahol $y_2(x)=\dfrac{-1+\sqrt{1+4x}}2$, \'es
$y_1(x)=\dfrac{-1-\sqrt{1+4x}}2$, azaz $y_2(x)$ \'es $y_1(x)$ az
$y^2+y-x=0$ egyenlet nagyobb illetve kisebb gy\"oke. Mivel $y_1(x)\le
0$, $y_2(x)\ge0$ minden $x\ge0$ sz\'amra, ez\'ert
$G(x)=P\(y_1(x)<\xi<y_2(x)\)=
P\(\xi<y_2(x)\)=1-e^{-y_2(x)}=1-\exp\left\{
\dfrac{1-\sqrt{1+4x}}2\right\}$, ha $x\ge0$. Ezzel meghat\'aroztuk a
$\xi+\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $G(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. A $\xi+\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $g(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye ennek
deriv\'altja, azaz $g(x)=0$, ha $x<0$, $g(x)=
\dfrac1{\sqrt{1+4x}}\exp\left\{
\dfrac{1-\sqrt{1+4x}}2\right\}$, ha $x\ge0$.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Lehet, hogy ez a feladat nehezebb volt a
kellet\'en\'el. Itt a $\xi\to \, \xi+\xi^2$ lek\'epez\'es inverz\'et
kellett kisz\'am\'{\i}tani, azaz azt, hogy ha $\xi+\xi^2$ egy
f\'elegyenesbe esik, akkor hova esik $\xi$. Lehet, hogy ez kiss\'e
v\'aratlan volt, de ilyen vizsg\'alatot m\'ar val\'osz\'{\i}n\H{u}leg a
k\"oz\'episkol\'aban is csin\'altak. Tov\'abb\'a  fontosnak tartom,
hogy a j\"ov\'oben ne k\"ovessenek el egy hib\'at, melyet
nagyon sokan elk\"ovettek. Az ebben a feladatban szerepl\H{o} $\xi$
\'es $\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok {\bf nem
f\"uggetlenek.} Ez\'ert a f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'olra tanultak (pl.\ a konvouluci\'o alkalmazhat\'os\'aga)
nem haszn\'alhat\'o a $\xi+\xi^2$ kisz\'am\'{\i}t\'as\'an\'al. A
$\xi+\xi^2$ \"osszeget egy\"utt kell tekinteni, ennek eloszl\'as\'at
nem lehet kisz\'am\'{\i}tani ha a $\xi$
\'es $\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asait
ismerj\"uk, de egy\"uttes eloszl\'asukat nem.
\item{4.} Jel\"olje $\xi_j$ a $j$-ik dob\'as eredm\'enyek\'ent kapott
nyerem\'eny\"unk, azaz legyen $\xi_j=3$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye fej, $\xi_j=-1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye
\'{\i}r\'as. Ekkor a
$$
P\(9800<\sum_{j=1}^{10000}\xi_j<10100\)
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre kell j\'o becsl\'est adni. A $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek \'es egyforma
eloszl\'as\'uak, $P(\xi_j=-1)=P(\xi_j=3)=\frac12$.
Ez\'ert $E\xi_j=\frac12(3-1)=1$, $E\xi_j^2=\frac12\((-1)^2+3^2\)=5$,
$\Var\xi_j=4$. Ez\'ert a vizsg\'aland\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg a
k\"ovetkez\H{o}, a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'ol vizsg\'alhat\'o alakban  \'{\i}rhat\'o fel:
$$
P\(-1<\frac{\summ_{j=1}^{10000}\xi_j-10000E\xi_1}{\sqrt{
10000\Var \xi_1}}<\frac12\).
$$
A centr\'alis hat\'arelosl\'ast\'etel alapj\'an
$$
\align
P&\(-1<\frac{\summ_{j=1}^{10000}\xi_j-10000E\xi_1}{\sqrt{
10000\Var\xi_1}}<\frac12\)\\
&\qquad \sim\Phi\(\frac12\)-\Phi(-1)
=\Phi\(\frac12\)+\Phi(1)-1\sim0.5328
\endalign
$$
\item{5.} Mivel $E\summ_{j=1}^k\xi_j=\summ_{j=1}^kE\xi_j=0$,
$\Var\summ_{j=1}^k\xi_j=\summ_{j=1}^k\Var\xi_j
=\summ_{j=1}^k\sigma_j^2$, a Chebishev egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an
$$
P\(\left|\sum_{j=1}^k\xi_j\right|>x\)=
P\(\left|\sum_{j=1}^k\xi_j-
E\(\sum_{j=1}^k\xi_j\)\right|>x\)\le\frac
{\summ_{j=1}^k\sigma_j^2}{x^2}
$$
minden $x>0$ sz\'amra.
\item{6.} A k\'ert definici\'o (k\"ul\"onb\"oz\H{o} ekvivalens
alakban) megtal\'alhat\'o a gyakorlatok anya\-g\'a\-ban is \'es
ennak a k\'erd\'esnek a megv\'alaszol\'as\'aval nem is
volt probl\'ema. Ez\'ert ennek t\'argyal\'as\'at elhagyjuk.
 
 
\bye
