\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\nopagenumbers
\centerline{\bf DOLGOZAT FELADATOK}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Abban az esetben, ha egy megk\'erdezett fogalom
definici\'oj\'at t\"obb (egy\-m\'as\-sal ekvivalens) m\'odon lehet
megadni, akkor ezek mindegyike j\'o v\'alasznak min\H{o}s\"ul.
\bigskip
\item{1.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at egym\'as ut\'an feldobunk
t\"obbsz\"or egym\'as ut\'an. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy a h\'uszadik dob\'asban jelenik meg a harmadik hatos dob\'as?
\item{2.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk k\'etszer egym\'as
ut\'an. Mi a felt\'eteles va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge annak,
hogy mind a k\'et dob\'as eredm\'enye oszthat\'o h\'arommal felt\'eve,
hogy legal\'abb az egyik dob\'as eredm\'enye oszthat\'o h\'arommal?
\item{3.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk sz\'azszor egym\'as
ut\'an. Mi a p\'aros dob\'asok \"osszeg\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'eke
\'es sz\'or\'asn\'egyzete? (A p\'aratlan dob\'asok eredm\'eny\'et nem
vessz\"uk figyelembe.)
\item{4.} Egy urn\'aban 10 feh\'er \'es 10 piros goly\'o van.
Visszatev\'es n\'elk\"ul kih\'uzunk 10 goly\'ot. Mi a kih\'uzott piros
goly\'ok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete?
\item{5.} Legyen $A$, $B$ \'es $C$ h\'arom esem\'eny egy $(\Omega,
\Cal A, P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Mikor mondjuk, hogy
ezek az esem\'enyek (teljesen) f\"uggetlenek?
\item{6.} Legyen $\xi$ egy diszkr\'et, val\'os \'ert\'ek\H{u}, azaz
megsz\'aml\'alhat\'o sok $x_1,x_2,\dots$ val\'os \'ert\'eket felvev\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melyre $P(\xi=x_k)=p_k$,
$k=1,2,\dots$, $\sum\limits_{k=1}^\infty p_k=1$. Hogyan sz\'amolhatjuk
ki a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
sz\'or\'asn\'egyzet\'et?
\medskip\noindent
{\bf Megold\'asok:}
\medskip
 
\item{1.} Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy olyan h\'usz
hossz\'us\'ag\'u dob\'as sorozat jelenik meg, mely h\'arom
el\H{o}\'{\i}rt helyen hatost tartalmaz, a marad\'ek 17 helyen pedig
nem hatost tartalmaz $\(\dfrac16\)^3\(\dfrac56\)^{17}$. Ezek k\"oz\"ul
olyan sorozatokat kell tekinten\"unk, melyekben az el\H{o}\'{\i}rt 3
hely egyike az utols\'o, a 20., a marad\'ek k\'et hely pedig
tetsz\H{o}leges lehet. Ilyen sorozat $\dbinom{19}2$ m\'odon
lehets\'eges. \'Igy a k\'erdezett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$$
\dbinom{19}2\(\dfrac 16\)^3\(\dfrac56\)^{17}.
$$
\item{2.} Legyen $A$ az az esem\'eny, hogy mind a k\'et dob\'as
eredm\'enye oszthat\'o 3-mal, $B$ az az esem\'eny, hogy legal\'abb az
egyik dob\'as eredm\'enye oszthat\'o h\'arommal. Ekkor a $P(A|B)$
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kell kisz\'am\'{\i}tanunk.
Mivel $A\subset B$, ez\'ert $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap
B)}{P(B)}=\dfrac{P(A)}{P(B)}$. Legyen $A_1$ az az esem\'eny, hogy az
els\H{o} $A_2$ hogy a m\'asodik dob\'as eredm\'enye oszthat\'o
h\'arommal. Ekkor az $A_1$ \'es $A_2$ esem\'enyek f\"uggetlenek,
$P(A_1)=P(A_2)=\dfrac13$, $A=A_1\cap A_2$, $B=A_1\cup A_2$. Ez\'ert
$P(A)=P(A_1)P(A_2)=\dfrac19$, $P(B)=1-P(\bar A_1\cap \bar A_2)=1-P(\bar
A_1)P(\bar A_2)=1-\(\dfrac23\)^2=\dfrac59$. Ez\'ert
$P(A|B)=\dfrac{P(A)}{P(B)}=\dfrac15$.
\item{3.} Vezess\"uk be a $\xi_j$, $1\le j\le 100$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, melyekre $\xi_j=2$, ha a
$j$-ik dob\'as eredm\'enye 2, $\xi_j=4$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye 4, $\xi_j=6$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 6,
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 1, 3 vagy 5. A $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, ez\'ert a
minket \'erdekl\'o mennyis\'egek $E\xi=\summ_{j=1}^{100}E\xi_j$,
$\Var\xi=\summ_{j=1}^{100}\Var\xi_j$. M\'asr\'eszt,
$E\xi_j=\dfrac16(2+4+6)=2$, $\Var\xi_j=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2$,
$E\xi_j^2=\dfrac16(4+16+36)=\dfrac{28}3$, $\Var\xi_j=\dfrac{16}3$.
Innen $E\xi=200$, $\Var\xi=\dfrac{1600}3$.
\item{4.} Legyen $\xi_j=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros,
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er, $1\le j\le k$.
Ekkor $E\xi_j=E\xi_1=\dfrac12$, $\Cov(\xi_j,\xi_k)=\Cov(\xi_1,\xi_2)=
E\xi_1\xi_2-E\xi_1E\xi_2=P(\xi_1=1,\xi_2=1)-(E\xi_2)^2
=\dfrac12\dfrac9{19}-\dfrac14=-\dfrac1{76}$, ha $j\neq k$,
$\Var\xi_j=\dfrac14$.
Ez\'ert $E\xi=\summ_{j=1}^{10}\xi_j=\summ_{j=1}^{10}E\xi_j=5$,
$\Var\xi=\summ_{j=1}^{10}\Var\xi_j
+2\summ_{j=1}^9\summ_{k=j+1}^{10}\Cov(\xi_j,\xi_k)
=\dfrac{10}4-90\dfrac1{76}=\dfrac{100}{76}$.
\item{5.} Az $A$, $B$ \'es $C$ esem\'enyek akkor (teljesen)
f\"uggetlenek, ha teljes\"ulnek a
$$
\align
P(ABC)&=P(A)P(B)P(C),\\
P(AB)&=P(A)P(B),\quad P(AC)=P(A)P(C),\quad P(BC)=P(B)P(C)
\endalign
$$
azonoss\'agok.
\item{6.} $\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=\summ_{k=1}^\infty
p_kx_k^2-\(\summ_{k=1}^\infty p_kx_k\)^2$.
 
 
 
 
\bye
