\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A febru\'ar 15-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip
 
A  gyakorlat elej\'en mindenki vegyen el\H{o} egy pap\'{\i}rlapot,
\'es a hallgat\'os\'ag egyik fel egy p\'enzdarabot. Mindenki
\'{\i}rjon fel egy jelsz\'ot a lapj\'ara, melynek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel azonos\'{\i}tani tudja a maga lapj\'at. Akin\'el
van p\'enzdarab, az dobja fel az \'erm\'et 100-szor \'es \'{\i}rja fel
az egyes dob\'asok eredm\'eny\'et (fej vagy \'{\i}r\'as). Akin\'el
nincs \'erme az pr\'ob\'aljon szi\-mu\-l\'al\-ni egy min\'el
val\'oszer\H{u}bb 100 hossz\'us\'ag\'u \'{\i}r\'as--fej sorozatot. Az
\'en feladatom lesz az \"osszegy\"ujt\"ott lapok alapj\'an
meg\'allap\'{\i}tani,  hogy melyek a val\'odi \'es melyek a szimul\'alt
dob\'assorozatok. \medskip\noindent
{\it Feladatok:}
\medskip
\item{1.)} Egy p\'enzdarabot feldobunk 2-szer. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy pontosan 1 fejdob\'as lesz? Mi annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb 1 fejdob\'as lesz?
\item{2.)} Feldobunk k\'et szab\'alyos dob\'okock\'at. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a do\-b\'as\-ered\-m\'e\-nyek
\"osszege pontosan 9 illetve pontosan 10? H\'any
k\"ul\"onb\"oz\H{o} m\'odon fordulhat el\H{o}, hogy a dob\'asok
\"osszege 9 \'es h\'any k\"ul\"onb\"oz\H{o} m\'odon lehet a dob\'asok
\"osszege 10?
\item{3.)} Mi egy szab\'alyos p\'enzdarab 20 egym\'as ut\'ani
dob\'as\'anak a term\'eszetes val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellje?
 
\medskip{\it H\'azi feladat:}\medskip
\item{} Adjuk meg egy szab\'alyos dob\'okocka 10 egym\'as ut\'ani
dob\'as\'anak egy lehets\'eges val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellj\'et.
\medskip
{\it Az eddigi feladatok megold\'asa:}
\medskip
\item{1.)} A feldobott sorozatok lehets\'eges kimenetei (F,F), (F,I),
(I,F), (I,I), mindegyik kimenetel val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\frac14$. Az az esem\'eny, hogy legal\'abb egy fejdob\'as t\"ort\'enik
az (F,F) (F,I), (I,F) dob\'assorozat valamelyik\'enek
bek\"ovetkez\'esekor t\"ort\'enik meg. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\frac34$. Az az esem\'eny, hogy pontosan k\'et fejdob\'as lesz, akkor
k\"ovetkezik be, ha a dob\'assorozat kimenetele (F,I), (I,F). Ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac12$.
\item{2.)} A k\'et dob\'as eredm\'eny\'enek lehets\'eges kimenetelei
$(i,j)$, $1\le i,j\le 6$, mindegyik kimenetel
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac1{36}$. Az \"osszeg pontosan 10, ha a
k\"ovetkez\H{o} kimenetelek valamelyike k\"ovetkezik be: (4,6), (5,5),
(6,4). Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}ge $\frac3{36}=\frac1{12}$. Az
\"osszeg akkor 9, ha a k\"ovetkez\H{o} kimenetelek valamelyike
k\"ovetkezik be: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3). Ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac4{36}=\frac19$.
\item{3.)} E feladat megt\'argyal\'as\'an\'al meg\-be\-sz\'el\-t\"uk
r\'eszletesebben a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} fogalm\'at.
Defini\'aljuk az elemi ese\-m\'e\-nyek halmaz\'at. Egy $\oo$ elemi
ese\-m\'enyt a jelen esetben \'erdemes \'ugy defini\'alni, mint
egy 20 hossz\'us\'ag\'u fej--\'{\i}r\'as sorozatot. Egy esem\'eny
olyan halmaz, melynek elemei bizonyos $\oo$ elemi esem\'enyek. A biztos
esem\'eny az \"osszes elemi esem\'enyt tartalmaz\'o halmaz. Egy elemi
esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et (egy szab\'alyos) dob\'okocka
20 egym\'asut\'ani feldob\'asa eset\'en $2^{-20}$, egy esem\'eny
(halmaz) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pedig a halmazban lev\H{o} elemi
esem\'enyek va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'e\-nek az \"osszege.
\smallskip
\item{} Hasonl\'o elvek szerint defini\'aljuk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t az \'altal\'anos esetben is.
Err\H{o}l is sz\'o volt, \'es egy p\'eld\'an kereszt\"ul
megt\'argyaltuk, hogy m\'ar egyszer\H{u}, term\'eszetes modellek
definici\'oj\'ahoz sz\"uks\'eges bizonyos m\'ely m\'ert\'ekelm\'eleti
eredm\'enyek felhaszn\'al\'asa. A tekintett modell a k\"ovetkez\H{o}
volt: A $[0,1]$ intervallumba v\'eletlen\"ul ledobunk egy pontot \'ugy,
hogy az egyenletesen essen le az intervallum valamelyik hely\'ere.
Ekkor a term\'eszetes modell a k\"ovetkez\H{o}: Egy elemi esem\'eny a
$[0,1]$ intervallum valamelyik pontja, a biztos esem\'eny a $[0,1]$
intervallum. Egy tetsz\H{o}leges v\'eges vagy megsz\'aml\'alhat\'o
pontb\'ol \'all\'o halmaz val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege nulla. De ilyen
m\'odon nem tudjuk defini\'alni tetsz\H{o}leges halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. Egy $[a,b]$ intervallum, $0\le a\le
b\le1$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege legyen $b-a$. Ezut\'an a halmazok
definici\'oj\'at \'altal\'anos esetben \'ugy k\'{\i}v\'anjuk
defini\'alni, hogy a $[0,1]$ intervallum diszjunkt $A_1,A_2,\dots,$
halmazaira, (azaz egym\'ast kiz\'ar\'o esem\'enyekre) teljes\"ulj\"on a
$P\(\bigcupp_{k=1}^\infty A_k\)=\summ_{k=1}^\infty P(A_k)$ azonoss\'ag.
Felmer\"ul a k\'erd\'es, hogy lehets\'eges-e ilyen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg definici\'oja, \'es egy halmaz
definici\'oj\'at egy\'ertelm\H{u}en defini\'altuk-e ilyen m\'odon.
Ezekre a k\'erd\'esekre megnyugtat\'o v\'alaszt lehet adni, de ehhez
m\'ely m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyek felhaszn\'al\'as\'ara van
sz\"uks\'eg. Ugyancsak meg lehet \'erteni e p\'elda elemz\'ese r\'even,
hogy mi\'ert defini\'altuk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}k
definici\'oj\'at l\'atsz\'olag bonyolult m\'odon. Az \'altal\'anos
esetben egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
mez\H{o}t tekint\"unk, \'es ebben a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}ben az $\Cal A$ $\sigma$-algebra nem tartalmazza az $\Omega$
halmaz minden r\'eszhalmaz\'at. A $\Cal A$ tartalmazza azokat a
halmazokat, melyeknek tudjuk defini\'alni a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. Nem minden halmaz ilyen. Ez m\'egsem
okoz gondot, mert azok a halmazoknak, melyek sz\'amunkra \'erdekesek,
melyeket defini\'alni tudunk, l\'etezik val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\"uk.
Sz\'amoss\'agi meggondol\'asok meggondol\'asokkal be lehet l\'atni,
hogy nem minden halmaz ilyen.
 
\medskip
\item{4.)} Egy szab\'alyos \'erm\'et feldobunk egym\'as ut\'an
eg\'eszen addig, am\'{\i}g m\'asodszor megjelenik egy fej. Azut\'an a
dob\'assorozatot abbahagyjuk.
Mi ennek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellje?
\medskip
\item{} Egy lehets\'eges modell a k\"ovetkez\H{o}: Tekints\"uk az
\"osszes olyan v\'eges fej--\'{\i}r\'as sorozatot, mely egy fejjel
fejez\H{o}dik be, \'es ezen k\'{\i}v\"ul pontosan egy fej jelet
tartalmaz. Legyen $\Omega$ az \"osszes ilyen sorozatot tartalmaz\'o
halmaz, \'es $\Cal A$ legyen e halmaz \"osszes r\'eszhalmaza. Legyen
$2^{-\text{a sorozat hossza}}$ egy elemi esem\'enyt le\'{\i}r\'o
sorozat val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge. Egy \'altal\'anos halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege legyen az ebben a halmaz \'altal
tartalmazott elemi esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek az
\"osszege.
\medskip{}
\item{} Az egyik hallgat\'o megjegyezte, hogy ez a modell nem
tartalmazza azt az esem\'enyt, hogy csak egyetlen fej dob\'as
k\"ovetkezik be, \'es ut\'ana csupa \'{\i}r\'as dob\'as k\"ovetkezik
be. Ez a megjegyz\'es jogos, m\'egsem okoz probl\'em\'at. Be lehet
l\'atni, hogy ennek az esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
nulla, \'es egy nulla m\'ert\'ek\H{u} halmazt jogunk van kihagyni a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}b\H{o}l. \'Erdemes megjegyezni,
hogy egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi probl\'em\'at le\'{\i}r\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} definici\'oj\'at
t\"obbf\'elek\'eppen meg lehet adni. \'Igy p\'eld\'aul term\'eszetes
(tal\'an az el\H{o}bbi modelln\'el term\'eszetesebb) a k\"ovetkez\H{o}
modell. Tekints\"uk az \"osszes v\'egtelen fej-\'{\i}r\'as sorozatot.
Minden ilyen sorozat legyen egy elemi esem\'eny. Legyen $\Omega$ az
\"osszes ilyen sorozatb\'ol \'all\'o halmaz. R\"ogz\'{\i}ts\"unk
egy $n$ eg\'esz sz\'amot \'es egy r\"ogz\'{\i}tett $n$
hossz\'us\'ag\'u fej-\'{\i}r\'as sorozatot. Annak a halmaznak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, mely az \"osszes ilyen kezdet\H{u}
sorozatot tartalmazza, legyen $2^{-n}$. Be lehet l\'atni (n\'eh\'any
m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'eny felhaszn\'al\'as\'aval), hogy ilyen
m\'odon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t egy\'ertelm\H{u}en
lehet defini\'alni.
 
\item{5.)} Egy szab\'alyos \'erm\'et feldobunk egym\'as ut\'an
eg\'eszen addig, am\'{\i}g m\'asodszor megjelenik egy fej. Azut\'an a
dob\'assorozatot abbahagyjuk. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az utols\'oel\H{o}tti dob\'as eredm\'enye fej? \medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Azon elemi  esem\'enyek uni\'oj\'at kell
tekinteni, melyek $n$ \'{\i}r\'asb\'ol \'es ut\'ana k\'et fejb\H{o}l
\'all. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\summ_{n=0}^\infty
2^{-n}\frac14=\frac12$. \medskip
{\it H\'azi feladat:}\medskip
\item{} Egy szab\'alyos \'erm\'et feldobunk egym\'as ut\'an eg\'eszen
addig, am\'{\i}g m\'asodszor megjelenik egy fej. Azut\'an a
dob\'assorozatot abbahagyjuk. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy legal\'abb h\'arom dob\'ast v\'egz\"unk, \'es az
utols\'ot kett\H{o}vel megel\H{o}z\H{o} dob\'as ered\-m\'e\-nye fej?
 
 \bye
