\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A febru\'ar 22-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip
 
\medskip\noindent
{\it De M\'er\'e lovag probl\'em\'aja:}
\medskip Az a;\'abb megfogalmazott k\'et probl\'ema t\"ort\'enetileg
\'erdekes. Ezekkel a k\'erd\'esekkel fordult de M\'er\'e lovag
Pascalhoz. Sokan e feladat megold\'as\'at\'ol illetve Pascalnak \'es
Fermat-nak e probl\'ema megold\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o
levelez\'es\'et\H{o}l sz\'am\'{\i}tj\'ak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
meg\-sz\"u\-le\-t\'e\-s\'et. \medskip
\item{a.)} Ha egy kock\'at 4-szer feldobunk, akkor mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb egy hatos dob\'as lesz? Ha
k\'et kock\'at 24-szer feldobunk, mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb egy dupla hatos lesz.
\item{} (De M\'er\'e lovag arra csod\'alkozott r\'a, hogy az els\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\frac12$-n\'el kicsit kisebb, a m\'asodik
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg pedig $\frac12$-n\'el kicsit nagyobb.)
\item{b.)} K\'et j\'at\'ekos egy igazs\'agos j\'at\'ekot j\'atszik,
melynek mindegyik fordul\'oj\'aban az egyes j\'at\'ekosok $\frac12$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nyernek, illetve vesz\'{\i}tenek.
Meg\'allapodnak, hogy az a j\'at\'ekos nyeri el a t\'etet,
aki el\H{o}sz\"or \'er el hat nyer\'est. A j\'at\'ekot f\'elbe kell
szak\'{\i}taniuk akkor, amikor az egyik\"uknek h\'arom a m\'asikuknak
pedig \"ot nyer\'ese volt. Hogyan kell igazs\'agosan osztozkodniuk?
\medskip
\noindent {\it Megold\'as:}\/ \medskip
\item{a.)} Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy dob\'as
eredm\'enye nem hatos $\dfrac56$, annak pedig, hogy 4 egym\'as ut\'ani
dob\'asban nem jelenik meg a hatos $\(\dfrac 56\)^4$. Annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy n\'egy dob\'asban megjelenik egy
hatos $P_1=1-\(\dfrac56\)^4$. Hasonl\'oan, annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy k\'et kocka dob\'as\'aban nem jelenik
meg a dupla hatos $\dfrac{35}{36}$, annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy ez 24 dob\'asban nem jelenik meg $\(\dfrac{35}{36}\)^{24}$. Annak
a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy 24 dob\'asban megjelenik
egy dupla hatos $P_2=1-\(\dfrac{35}{36}\)^{24}$.
\item{} \'Erdemes meg\'erteni, hogy a $P_1$ \'es $P_2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek mi\'ert vannak olyan k\"ozel egym\'ashoz.
Vezess\"uk be az $a_n=\(1-\dfrac1n\)^n$, $n=1,2,\dots$, sz\'amokat.
Ekkor $1-P_1=a_6^{2/3}$, $1-P_2=a_{36}^{2/3}$. Viszont tanultuk az
anal\'{\i}zisben, hogy $\limm_{n\to\infty} a_n=e^{-1}$, $e=2.71\dots$.
Tov\'abb\'a ez az $a_n$ sorozat el\'eg gyorsan tart a
hat\'ar\'ert\'ek\'ehez, ez\'ert az $a_6\sim e^{-1}$ \'es $a_{36}\sim
e^{-1}$ el\'eg j\'o k\"ozel\'{\i}t\'es.  Ez\'ert mind a $P_1$ mind a
$P_2$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg j\'ol k\"ozel\'{\i}thet\H{o} az
$1-e^{-2/3}$ sz\'ammal. Tov\'abb\'a ismeretes, hogy az $a_n$ sorozat
monoton n\"ovekv\H{o}, \'es innen ad\'odik, hogy $P_1>P_2$.
T\"ort\'enetesen az $1-e^{-2/3}$ sz\'am k\"ozel van $\frac12$-hez, \'es
a $P_1$ \'es $P_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek ezt a
sz\'amot k\"ozrefogj\'ak.
 
\medskip
\item{b.)}Tekints\"uk azt az \'altal\'anosabb
probl\'em\'at, amikor $n$ nyer\'es kell a t\'et megszerz\'es\'ehez,
\'es az els\H{o} j\'at\'ekos $k$ a m\'asodik pedig $l$ alkalommal
nyert. Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} $(n-k)+(n-l)-1=2n-k-l-1$
fordul\'ot. Az els\H{o} j\'at\'ekos akkor \'es csak akkor
nyern\'e el a t\'etet, ha ezekben a fordul\'okban legal\'abb $n-k$
alkalommal nyer. Ennek val\'osz\'{\i}n\'os\'ege
$P=2^{k+l+1-2n}\summ_{j=n-k}^{2n-k-l-1}\dbinom{2n-k-l-1}j$.
Jelen esetben az els\H{o} j\'at\'ekos $\dfrac 78$, a m\'asodik
j\'at\'ekos $\dfrac18$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nyeri el a t\'etet.
Az igazs\'agos teh\'at a $7:1$ ar\'ay\'u osztozkod\'as.
\medskip\noindent
{\it Tov\'abbi feladatok}
\medskip
\item{1.)} Egy urn\'aban h\'usz piros \'es t\'{\i}z feh\'er goly\'o
van. Visszatev\'essel kih\'uzunk h\'arom goly\'ot. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} h\'uz\'asban piros goly\'ot
h\'uzunk? Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a harmadik
h\'uz\'as eredm\'enye piros? Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak,
hogy az els\H{o} \'es harmadik h\'uz\'as eredm\'enye piros?
\item{} Az els\H{o} h\'uz\'as eredm\'enye $\dfrac23$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel piros. Ugyanez igaz a harmadik h\'uz\'asra
is, (mert a goly\'okat visszadobtuk) Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az els\H{o} \'es harmadik h\'uz\'as eredm\'enye is piros
$\(\dfrac23\)^2$.
\item{2.)} Egy urn\'aban h\'usz piros \'es t\'{\i}z feh\'er goly\'o
van. Visszatev\'es n\'elk\"ul kih\'uzunk h\'arom goly\'ot. Mi annak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy az els\H{o} h\'uz\'asban
piros goly\'ot h\'uzunk? Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
harmadik h\'uz\'as eredm\'enye piros? Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
annak, hogy mind az els\H{o} mind a harmadik h\'uz\'as eredm\'enye
piros? Mi a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge annak, hogy az
els\H{o} \'es m\'asodik h\'uz\'as eredm\'enye piros? Mi a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy mind az els\H{o} mind a
m\'asodik mind a harmadik h\'uz\'as eredm\'enye piros?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az
els\H{o} huz\'as eredm\'enye piros $\dfrac23$. Az az esem\'eny, hogy a
harmadik h\'uz\'as eredm\'enye piros \'ugy k\"ovetkezhet be, hogy a
h\'arom els\H{o} h\'uz\'as eredm\'eye a PPP, PFP, FPP, FFP
h\'uz\'assorozat valamelyike. Mindegyik sorozat
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et kisz\'amoltuk \'es \"osszeadtuk. Azt
kaptuk, hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
a harmadik h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uzunk $\dfrac23$, azaz
ugyanannyi, mint annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o}
h\'uz\'as eredm\'enye piros. Hasonl\'oan kisz\'amitottuk annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy az els\H{o} \'es harmadik
h\'uz\'as eredm\'enye piros. Ez akkor k\"ovetkezik be, ha PFP vagy PPP
goly\'ot h\'uztunk az els\H{o} h\'arom h\'uz\'as sor\'an. Ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac{20}{30}\frac{19}{29}$, azaz
ugyanannyi, hogy az els\H{o} k\'et goly\'o h\'uz\'asakor k\'et piros
goly\'ot h\'uzunk. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o}
h\'arom h\'uz\'as mindegyik\'enek eredm\'enye piros
$\dfrac{20}{30}\dfrac{19}{29}\dfrac{18}{28}$. Ezen eredm\'enyek
m\'elyebb h\'atter\'et a k\"ovetkez\H{o} feladat magyar\'azza meg.
\item{3.)} Egy urn\'aban van $k$ piros \'es $l$ feh\'er goly\'o.
Kihuzz\'uk a goly\'okat visszatev\'es n\'elk\"ul. K\'esz\'{\i}ts\"uk
el ennek a feladatnak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellj\'et.
L\'assuk be ennek se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel azt, hogy annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $r$-ik h\'uz\'as eredm\'enye
piros nem f\"ugg az $r$ indext\H{o}l. \medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Egy elemi esem\'eny, egy lehets\'eges
h\'uz\'assorozat, mely egy $k+l$ hossz\'u\-s\'a\-g\'u sorozat, mely $k$
piros \'es $l$ feh\'er goly\'ob\'ol \'all. Ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\dfrac1{\dbinom{k+l}k}$. Ugyanis, ha
fel\'{\i}rjuk egy el\H{o}\'{\i}rt sorozat h\'uz\'as\'anak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et egy olyan $k+l$ t\"ort szorzat\'at
kapjuk, melynek $j-ik$ tagj\'anak nevez\H{o}j\'eben $k+l-j+1$ van (a
$j$-ik h\'uz\'as el\H{o}tt az urn\'aban lev\H{o} goly\'ok sz\'ama), a
sz\'amll\'oban pedig a $j$-ik h\'uz\'as el\H{o}tt az urn\'aban
lev\H{o} feh\'er vagy piros goly\'ok sz\'ama att\'ol f\"ugg\H{o}en hogy
a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er vagy piros. Ez\'ert olyan
szorzatot kapunk, melynek nevez\H{o}j\'eben $(k+l)!$, a
sz\'aml\'al\'oban pedig $k!l!$ van.  Kisz\'amoltuk hogy
$\dbinom{k+l-1}{k-1}$ olyan sorozat van, melyben az $r$-ik elem (az
$r$-ik h\'uz\'as eredm\'enye) piros. Az el\H{o}bbi eredm\'enyek azt
jelentik, hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $r$-ik
h\'uz\'as eredm\'enye piros nem f\"ugg az $r$ sz\'amt\'ol, azaz
megegyezik annak val\'osz\'{\i}n\'eg\'eg\'evel, hogy az els\H{o} h\'uz\'as eredm\'enye piros.
\medskip {\it H\'azi feladat:}\/
\medskip\item{} Egy urn\'aban 50 piros \'es 50 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzzuk a goly\'okat visszatev\'es n\'elk\"ul. Mi a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy a 40-ik h\'uz\'as eredm\'enye
piros? Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 60-ik h\'uz\'as
eredm\'enye piros? Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 40-ik
h\'uz\'as eredm\'enye piros? Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak,
hogy a 40-ik \'es 60-ik h\'uz\'as eredm\'enye is piros?
 
 
 
 
 
 
 \bye
