\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A febru\'ar 29-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip
 
\medskip
\item{1.)} Egy urn\'aban 20 feh\'er \'es 30 piros goly\'o van. Ha
kih\'uzunk egy goly\'ot akkor azt visszadobjuk, \'es vele egy\"utt
bedobunk az urn\'aba k\'et ugyanolyan sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot. Ezt
megism\'etelj\"uk 50-szer. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
az 50-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros. K\'esz\'{\i}ts\"uk el a feladat
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellj\'et. Mutassuk meg ennek a modellnek
a seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a piros goly\'o h\'uz\'as\'anak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege minden h\'uz\'asban ugyanannyi.
\item{}{\it Megold\'asv\'azlat:}\/ Tekints\"unk egy term\'eszetes
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, ahol a k\'erd\'est
vizsg\'alhatjuk. Egy ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} elemi
esem\'enyei az \H{o}sszes lehets\'eges 50 hossz\'us\'ag\'u
feh\'er--piros sorozat.  Megmutattuk, hogy minden sorozat
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege csak att\'ol f\"ugg, hogy h\'any piros
\'es h\'any feh\'er elemet tartalmaz. Ha az els\H{o} \'es az
\"otvenedik elemet ebben a sorozatban kicser\'elj\"uk, akkor a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg nem v\'altozik. Ezt felhaszn\'alva
l\'attuk, hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az 1. illetve
az 50. h\'uz\'as eredm\'enye piros megegyezik.
\medskip {\it H\'azi feladat:}
\item{} Egy urn\'aban 20 feh\'er \'es 30 piros goly\'o van. Ha
kih\'uzunk egy goly\'ot akkor azt visszadobjuk, \'es vele egy\"utt
bedobunk az urn\'aba k\'et ugyanolyan sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot. Ezt
megism\'etelj\"uk 50-szer. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak,
hogy a 30. \'es 50-ik h\'uz\'as eredm\'enye egyar\'ant piros.
\medskip
\item{2.)} Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy 30
v\'eletlen\"ul kiv\'alasztott ember k\"oz\"ott van k\'et olyan,
akinek ugyanakkor van a sz\"u\-le\-t\'es\-nap\-ja?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ K\'erdezz\"uk meg az embereket egym\'as
ut\'an, hogy mikor van a sz\"u\-le\-t\'es\-nap\-juk, \'es
sz\'am\'{\i}tsuk ki annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a
$k$-ik ember mond el\H{o}sz\"or olyan napot, melyet m\'ar mondtak.
Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$$
\(1-\dfrac1{365}\)\cdots\(1-\dfrac{k-2}{365}\)\dfrac{k-1}{365},
$$
ez\'ert a vizsg\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
 $$
\sum_{k=2}^{30}\(1-\dfrac1{365}\)\cdots \(1-\dfrac{k-2}{365}\)\frac{k-1}
{365}.
$$
A k\'es\H{o}bbiekben, ha lesz r\'a id\H{o}nk \'erdemes visszat\'erni a
fenti k\'erd\'eshez, \'es meg\-vizs\-g\'al\-ni, hogy k\"or\"ulbel\"ul
mennyi a fenti \"osszeg seg\'{\i}ts\'eg\'evel
kifejezett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg.
\item{3.)} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk t\"obbsz\"or
egym\'as ut\'an. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy
az 5. dob\'asban dobunk el\H{o}sz\"or fejet? Mi annak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy az 5. dob\'asban
dobunk harmadszor fejet? \medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/  Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et kell
kisz\'am\'{\i}tanunk, hogy egy 5 hossz\'us\'ag\'u fej--\'{\i}r\'as
sorozat els\H{o}  n\'egy tagj\'aban pontosan k\'et fej van, \'es az
\"ot\"odik elem is fej. \"Osszesen $\dbinom 42=6$ ilyen sorozat van,
minden sorozat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\dfrac1{32}$. \'Igy a
keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\dfrac3{16}$. \medskip
{\it H\'azi feladat:}\/
\medskip\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at egym\'asut\'an
t\"obbsz\"or feldobunk. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy a
10-ik dob\'asban dobunk harmadszor hatost.
\medskip
\medskip\noindent
{\bf Definici\'o.}\/ {\it Legyen $(\Omega,\Cal A,P)$ egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, azon legyen $A$ \'es $B$ k\'et
esem\'eny, azaz $A\in \Cal A$, $B\in \Cal A$. Tegy\"uk fel, hogy
$P(B)>0$. Ekkor az $A$ esem\'eny felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege felt\'eve a $B$ esem\'enyt
$$
P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
$$
}
\item{4.)} A zseb\"unkben van 30 kulcs, melyek k\"oz\"ul az egyik nyit
egy z\'arat. Egym\'as ut\'an kiprob\'aljuk v\'eletlenszer\H{u}en
kipr\'ob\'alva ezeket a kulcsokat. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
annak, hogy a 20. kis\'erletre siker\"ul kinyitni a z\'arat? Mi annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 20. kis\'erletben siker\"ul
kinyitni a z\'arat felt\'eve, hogy az els\H{o} 19 kis\'erletben ez nem
siker\"ult? \medskip
A k\"ovetkez\H{o} feladat \'all\'{\i}t\'as\'at gyakran h\'{\i}vj\'ak
teleszk\'op szab\'alynak.
\item{5.)} $P(B_1\cap\cdots\cap B_n)=P(B_1|B_2\cap\cdots\cap B_{n-1}
\cap B_n)\cdots P(B_{n-1}|B_n)P(B_n)$, ha $P(B_2\cap\cdots\cap B_n)>0$.
\item{6.)} Egy urn\'aban $z$ z\"old \'es $s$ s\'arga goly\'o van.
Egym\'as ut\'an kih\'uzunk n\'egy goly\'ot \'ugy, hogy minden h\'uz\'as
ut\'an a goly\'ot visszadobjuk az urn\'aba, \'es vele egy\"utt az
urn\'aba dobunk 2 ellenkez\H{o} sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot. Mi a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege egy z\"old, z\"old, z\"old, s\'arga
h\'uz\'assorozatnak?
\medskip
\item{}{\it Megold\'as:}\/  Kisz\'amoltuk annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'es\'eg\'et, hogy az els\H{o}
h\'uz\'as eredm\'enye $Z$=(z\"old), annak felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a m\'asodik h\'uz\'as $Z$,
felt\'eve, hogy az els\H{o} h\'uz\'as $Z$, annak a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a  harmadik h\'uz\'as
eredm\'enye $Z$ felt\'eve, hogy el\'otte $Z,Z$ \'es annak felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a negyedik h\'uz\'as eredm\'enye
$S$ felt\'eve, hogy el\H{o}tte $Z,Z,Z$ h\'uz\'as volt. Ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg, illetve felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek $\dfrac{z}{z+s}$, $\dfrac z{z+s+2}$,
$\dfrac z{z+s+4}$, $\dfrac{s+6}{z+s+6}$. A keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\dfrac{z}{z+s}\cdot\dfrac z{z+s+2}\cdot\dfrac z{z+s+4}\cdot
\dfrac{s+6}{z+s+6}$.
\medskip \
\item{7.)} Feldobunk egy dob\'okock\'at, majd ut\'ana annyi
dob\'okock\'at, amennyi az els\H{o} dob\'as eredm\'enye volt. Mi a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy a m\'asodik dob\'assorozatban
lesz hatos? Mi annak a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
az els\H{o} dob\'as eredm\'enye hatos, ha a m\'asodik
dob\'assorozatban nem volt hatos?
\medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tekints\"unk egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, melyen ezt a feladatot
term\'eszetes m\'odon modellezhet\"unk.  Egy elemi esem\'eny egy
$i$, $1\le i\le 6$ sz\'amb\'ol, majd ezt k\"ovet\H{o}en egy $i$
hossz\'us\'ag\'u 1 \'es 6 k\"oz\"otti sz\'amokat tartalmaz\'o
sorozatb\'ol \'all. Egy ilyen sorozat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\(\dfrac16\)^{i+1}$. Annak felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az az utols\'o $i$ elem egyike sem hatos, felt\'eve, hogy az
els\H{o} dob\'as eredm\'enye $i$ $\(\dfrac16\)^i$, annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} dob\'as eredm\'enye $i$
$\dfrac16$. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a m\'asodik
dob\'assorozatban van hatos
$\dfrac16\(\(1-\dfrac56\)+\cdots+\(1-\(\dfrac56\)^6\)\)$. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} dob\'as hatos, ut\'ana
pedig van hatos dob\'as $\dfrac16\(1-\(\dfrac56\)^6\)$. Ez\'ert a
keresett felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$$
\dfrac{1-\(\dfrac56\)^6}{\(1-\(\dfrac56\)\)+\cdots+\(1-\(\dfrac56\)^6\)}.
$$
\medskip {\it H\'azi feladat:}
\medskip\item{} K\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} f\'ar\'ol leszednek 10
alm\'at, \'es beteszik k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o}
(meg\-k\"u\-l\"on\-b\"oz\-tet\-he\-tet\-len dobozba.) Ez egyik f\'ar\'ol
szedett alm\'ak $\dfrac14$ a m\'asik f\'ar\'ol szedett alm\'ak pedig
$\dfrac1{10}$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel f\'ergesek.
Kivesz\"unk az egyik dobozb\'ol k\'et alm\'at \'es mind a kett\H{o}
f\'erges. Ezek ut\'an kivesz\"unk a m\'asik dobozb\'ol egy alm\'at. Mi
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ez az alma m\'ar nem f\'erges?
\medskip\noindent
{\bf Esem\'enyek f\"uggetlens\'eg\'enek definici\'oja:} {\it Az
$A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek akkor (teljesen)
f\"uggetlenek, ha az $\{1,\dots,n\}$ indexhalmaz minden
$\{j_1,\dots,j_k\}\subset \{1,\dots,n\}$ r\'esz\-hal\-ma\-z\'a\-ra
$$
P(A_{j_1}\cap\cdots\cap A_{j_k})=P(A_{j_1})\cdots P(A_{j_k}).
$$
Esem\'enyek v\'egtelen $A_1,A_2,\dots$ sorozata akkor \'es csak akkor
f\"uggetlen, ha tetsz\H{o}leges pozit\'{\i}v $n$ eg\'esz sz\'amra az
$A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek f\"uggetlenek.}
\medskip
\item{8.} L\'assunk p\'eld\'at arra, hogy p\'eld\'aul $k=3$
eset\'eben egy $A$, $B$ \'es $C$ halmaz eset\'eben a
$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$ felt\'etel teljes\"ul\'ese nem elegend\H{o} az
$A$, $B$ \'es $C$ esem\'enyek f\"uggetlens\'eg\'ehez.
Legyen $\Omega=\{1,2,3,4,5\}$, $A=\{1,2,3\}$, $B=\{1,2,4\}$,
$C=\{2,3,4\}$, $P(\{1\})=P(\{2\})= P(\{3\})=P(\{4\})=\dfrac1{3\sqrt
3}$, $P(\{5\})=1-\dfrac4{3\sqrt3}$. Ekkor $ABC=\{2\}$,
$P(ABC)=\dfrac1{3\sqrt3}$, $P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac1{\sqrt 3}$,
$P(AB)=P(\{2,3\})=\dfrac2{3\sqrt3}$. Ez\'ert $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$,
de $P(AB)\neq P(A)P(B)$.
 
 
\bye
 
 
 
 
\item{6.)} Egy p\'enzdarabot feldobunk 100-szor egym\'as ut\'an.
Sz\'amoljuk ki a fej-dob\'asok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a v\'arhat\'o \'ert\'eket
el\H{o}sz\"or a defici\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Majd tekints\"uk a
$j$-ik dob\'asb\'ol sz\'armaz\'o fejek sz\'am\'at, (mely egy vagy
nulla, att\'ol f\"ugg\H{o}en, hogy fej vagy \'{\i}r\'as-e a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye), \'es sz\'am\'{\i}tsuk ki a fenti v\'arhat\'o
\'ert\'eket, mint az egyes dob\'asokb\'ol sz\'armaz\'o fejek
sz\'am\'anak az \"osszeg\'et.
\item{7.)} Egy p\'enzdarabot feldobunk 100-szor egym\'as ut\'an.
Sz\'amoljuk ki a fej-dob\'asok sz\'am\'anak a sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{8.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk t\'{\i}zszer.
Sz\'amoljuk ki a dob\'aseredm\'enyek \"osszeg\'enek a v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et.
\medskip {\it H\'azi feladat:}\medskip
\item{} Egy dob\'okock\'at feldobunk t\'{\i}zszer. Sz\'am\'{\i}tsuk
ki a p\'aratlan dob\'aseredm\'enyek \"osszeg\'enek a v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et. (A p\'aros dob\'aseredm\'enyeket nem vessz\"uk
fi\-gye\-lem\-be).
 
