\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A febru\'ar 8-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip
 
A  gyakorlat elej\'en mindenki vegyen el\H{o} egy pap\'{\i}rlapot,
\'es a hallgat\'os\'ag egyik fel egy p\'enzdarabot. Mindenki
\'{\i}rjon fel egy jelsz\'ot a lapj\'ara, melynek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel azonos\'{\i}tani tudja a maga lapj\'at. Akin\'el
van p\'enzdarab, az dobja fel az \'erm\'et 100-szor \'es \'{\i}rja fel
az egyes dob\'asok eredm\'eny\'et (fej vagy \'{\i}r\'as). Akin\'el
nincs \'erme az pr\'ob\'aljon szi\-mu\-l\'al\-ni egy min\'el
val\'oszer\H{u}bb 100 hossz\'us\'ag\'u \'{\i}r\'as--fej sorozatot. Az
\'en feladatom lesz az \"osszegy\"ujt\"ott lapok alapj\'an
meg\'allap\'{\i}tani,  hogy melyek a val\'odi \'es melyek a szimul\'alt
dob\'assorozatok. \medskip\noindent
{\it Feladatok:}
\medskip
\item{1.} Egy p\'enzdarabot feldobunk 2-szer. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy pontosan 1 fejdob\'as lesz? Mi annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb 1 fejdob\'as lesz?
\item{2.} Feldobunk k\'et szab\'alyos dob\'okock\'at. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a do\-b\'as\-ered\-m\'e\-nyek
\"osszege pontosan 9 illetve pontosan 10? H\'any
k\"ul\"onb\"oz\H{o} m\'odon fordulhat el\H{o}, hogy a dob\'asok
\"osszege 9 \'es h\'any k\"ul\"onb\"oz\H{o} m\'odon lehet a dob\'asok
\"osszege 10?
\item{3.} Mi egy szab\'alyos p\'enzdarab 20 egym\'as ut\'ani
dob\'as\'anak a term\'eszetes val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellje? Mi a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellje egy szab\'alyos dob\'okocka 10
egym\'as ut\'ani dob\'as\'anak?
\item{4.} Egy szab\'alyos \'erm\'et feldobunk egym\'as ut\'an
eg\'eszen addig, am\'{\i}g m\'asodszor megjelenik egy fej. Azut\'an a
dob\'assorozatot abbahagyjuk.
Mi ennek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellje?
\item{5.} Egy szab\'alyos \'erm\'et feldobunk egym\'as ut\'an
eg\'eszen addig, am\'{\i}g m\'asodszor megjelenik egy fej. Azut\'an a
dob\'assorozatot abbahagyjuk. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az utols\'oel\H{o}tti dob\'as eredm\'enye fej? \medskip
\noindent{\it H\'azi feladat:}\medskip
\item{} Egy szab\'alyos \'erm\'et feldobunk egym\'as ut\'an eg\'eszen
addig, am\'{\i}g m\'asodszor megjelenik egy fej. Azut\'an a
dob\'assorozatot abbahagyjuk. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy legal\'abb h\'arom dob\'ast v\'egz\"unk, \'es az
utols\'ot kett\H{o}vel megel\H{o}z\H{o} dob\'as ered\-m\'e\-nye fej?
\medskip\noindent
{\it De M\'er\'e lovag probl\'em\'aja:}
\medskip Az utols\'o k\'et probl\'ema t\"ort\'enetileg \'erdekes.
Ezekkel a k\'erd\'esekkel fordult de M\'er\'e lovag Pascalhoz. Sokan e
feladat megold\'as\'at\'ol illetve Pascalnak \'es Fermat-nak e
probl\'ema megold\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o levelez\'es\'et\H{o}l
sz\'am\'{\i}tj\'ak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
meg\-sz\"u\-le\-t\'e\-s\'et. \medskip
\item{a.)} Ha egy kock\'at 4-szer feldobunk, akkor mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb egy hatos dob\'as lesz? Ha
k\'et kock\'at 24-szer feldobunk, mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb egy dupla hatos lesz.
\item{} (De M\'er\'e lovag arra csod\'alkozott r\'a, hogy az els\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\frac12$-n\'el kicsit kisebb, a m\'asodik
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg pedig $\frac12$-n\'el kicsit nagyobb.)
\item{b.)} K\'et j\'at\'ekos egy igazs\'agos j\'at\'ekot j\'atszik,
melynek mindegyik fordul\'oj\'aban az egyes j\'at\'ekosok $\frac12$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nyernek, illetve vesz\'{\i}tenek.
Meg\'allapodnak, hogy az a j\'at\'ekos nyeri el a t\'etet,
aki el\H{o}sz\"or \'er el hat nyer\'est. A j\'at\'ekot f\'elbe kell
szak\'{\i}taniuk akkor, amikor az egyik\"uknek h\'arom a m\'asikuknak
pedig \"ot nyer\'ese volt. Hogyan kell igazs\'agosan osztozkodniuk?
\medskip
\noindent {\it Megold\'as:}\/ \medskip
\item{a.)} Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy dob\'as
eredm\'enye nem hatos $\dfrac56$, annak pedig, hogy 4 egym\'as ut\'ani
dob\'asban nem jelenik meg a hatos $\(\dfrac 56\)^4$. Annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy n\'egy dob\'asban megjelenik egy
hatos $P_1=1-\(\dfrac56\)^4$. Hasonl\'oan, annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy k\'et kocka dob\'as\'aban nem jelenik
meg a dupla hatos $\dfrac{35}{36}$, annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy ez 24 dob\'asban nem jelenik meg $\(\dfrac{35}{36}\)^{24}$. Annak
a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy 24 dob\'asban megjelenik
egy dupla hatos $P_2=1-\(\dfrac{35}{36}\)^{24}$.
\item{} \'Erdemes meg\'erteni, hogy a $P_1$ \'es $P_2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek mi\'ert vannak olyan k\"ozel egym\'ashoz.
Vezess\"uk be az $a_n=\(1-\dfrac1n\)^n$, $n=1,2,\dots$, sz\'amokat.
Ekkor $1-P_1=a_6^{2/3}$, $1-P_2=a_{36}^{2/3}$. Viszont tanultuk az
anal\'{\i}zisben, hogy $\limm_{n\to\infty} a_n=e^{-1}$, $e=2.71\dots$.
Tov\'abb\'a ez az $a_n$ sorozat el\'eg gyorsan tart a
hat\'ar\'ert\'ek\'ehez, ez\'ert az $a_6\sim e^{-1}$ \'es $a_{36}\sim
e^{-1}$ el\'eg j\'o k\"ozel\'{\i}t\'es.  Ez\'ert mind a $P_1$ mind a
$P_2$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg j\'ol k\"ozel\'{\i}thet\H{o} az
$1-e^{-2/3}$ sz\'ammal. Tov\'abb\'a ismeretes, hogy az $a_n$ sorozat
monoton n\"ovekv\H{o}, \'es innen ad\'odik, hogy $P_1>P_2$.
T\"ort\'enetesen az $1-e^{-2/3}$ sz\'am k\"ozel van $\frac12$-hez, \'es
a $P_1$ \'es $P_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek ezt a
sz\'amot k\"ozrefogj\'ak.
 
\medskip
\item{b.)}Tekints\"uk azt az \'altal\'anosabb
probl\'em\'at, amikor $n$ nyer\'es kell a t\'et megszerz\'es\'ehez,
\'es az els\H{o} j\'at\'ekos $k$ a m\'asodik pedig $l$ alkalommal
nyert. Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} $(n-k)+(n-l)-1=2n-k-l-1$
fordul\'ot. Az els\H{o} j\'at\'ekos akkor \'es csak akkor
nyern\'e el a t\'etet, ha ezekben a fordul\'okban legal\'abb $n-k$
alkalommal nyer. Ennek val\'osz\'{\i}n\'os\'ege
$P=2^{k+l+1-2n}\summ_{j=n-k}^{2n-k-l-1}\dbinom{2n-k-l-1}j$.
Jelen esetben az els\H{o} j\'at\'ekos $\dfrac 78$, a m\'asodik
j\'at\'ekos $\dfrac18$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nyeri el a t\'etet.
Az igazs\'agos teh\'at a $7:1$ ar\'ay\'u osztozkod\'as.
 
 
 \bye
