Kitűzött feladatok

1. Adjuk meg egy szabályos dobókocka 10 egymás utáni dobásának egy lehetséges valószínűségi modelljét. (Kitűzve február 15-én.)

2. Egy szabályos érmét feldobunk egymás után egészen addig, amíg másodszor megjelenik egy fej. Azután a dobássorozatot abbahagyjuk. Mi annak a valószínűsége, hogy legalább három dobást végzünk, és az utolsót kettővel megelőző dobás eredménye fej? (Kitűzve február 15-én.)

3. Egy urnában 50 piros és 50 fehér golyó van. Kihúzzuk a golyókat visszatevés nélkül. Mi a valószínűsége annak, hogy a 40-ik húzás eredménye piros? Mi annak a valószínűsége, hogy a 60-ik húzás eredménye piros? Mi annak a valószínűsége, hogy a 40-ik húzás eredménye piros? Mi a valószínűsége annak, hogy a 40-ik és 60-ik húzás eredménye is piros? (Kitűzve február 22-én.)

4. Egy urnában 20 fehér és 30 piros golyó van. Ha kihúzunk egy golyót akkor azt visszadobjuk, és vele együtt bedobunk az urnába két ugyanolyan színű golyót. Ezt megismételjük 50-szer. Mi a valószínűsége annak, hogy a 30. és 50-ik húzás eredménye egyaránt piros. (Kitűzve február 29-én.)

5. Egy szabályos dobókockát egymásután többször feldobunk. Mi a valószínűsége annak, hogy a 10-ik dobásban dobunk harmadszor hatost. (Kitűzve február 29én.)

6. Két különböző fáról leszednek 10 almát, és beteszik két különböző (megkülönböz-

tethetetlen dobozba.) Ez egyik fáról szedett almák \frac{1}{4} a másik fáról szedett almák

pedig \frac{1}{10} valószínűséggel férgesek. Kiveszünk az egyik dobozból két almát és mind a kettő férges. Ezek után kiveszünk a másik dobozból egy almát. Mi annak a valószínűsége, hogy ez az alma már nem férges? (Kitűzve február 29-én.)

7.^{∗} Legyenek A_{1}, …, A_{n} események valamely (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, S_{k} =

∑_{1≤j_{1}<···<j_{k}≤n} P (A_{j_{1}} ∩ ⋯ ∩ A_{j_{k}}), 1 ≤ k ≤ n. Ekkor

S_{1} − S_{2} + ⋯ (−1)^{2k−1}S_{2k} ≥ P (A_{1} ∪ ⋯ ∪ A_{n}) ≥ S_{1} − S_{2} + ⋯ (−1)^{2k}S_{2k+1},

ha 2 ≤ 2k ≤ n. (Kitűzve március 7-én.)

8. Egy dobókockát feldobunk tízszer. Számítsuk ki a páratlan dobáseredmények összegének a várható értékét. (A páros dobáseredményeket nem vesszük figyelembe). (Kitűzve március 14-én.)

9. Egy urnában 20 piros és 10 fehér golyó van. Kihúzunk egymás után 10 golyót úgy, hogy minden húzás után a kihúzott golyót visszadobjuk egy vele azonos színű golyóval együtt. Mi a kihúzott piros golyók számának a várható értéke és szórásnégyzete? (A megoldás során emlékezzünk arra, hogy megtárgyaltuk annak valószínűségét, hogy egy ilyen modellben mi a valószínűsége, hogy egy adott

A ^{∗} jelzésű feladatok nem kötelezőek. sorszámú húzásban kihúzott golyó piros színű illetve annak a valószínűségét, hogy két adott sorszámú húzásban piros golyót húzunk. Láttuk, hogy ezek a valószínűségek nem függnek a húzások sorszámától. Használjuk fel ezeket az eredményeket a megoldásban.) (Kitűzve március 21-én.)

10. Egy ξ valószínűségi változót (n, p) paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi

változónak nevezünk, n = 0, 1, 2, …, 0 < p < 1, ha P (ξ = k) = \binom{n}{k}p^{k}(1 − p)^{n−k},

k = 0, 1, …, n. Legyen ξ és η két független binomiális eloszlású valószínűségi változó (m, p) illetve (n, p) paraméterekkel. Ekkor ξ + η binomiális eloszlású valószínűségi változó (m + n, p) paraméterekkel. (Kitűzve március 21-én.)

11. Fejezzük ki annak valószínűségét, hogy egy F (x) eloszlású valószínűségi változó egész értéket vesz fel az F (x) eloszlásfüggvény segítségével. (Kitűzve április 11én.)

12. Egy szabályos kockát feldobunk, és tekintjük a dobás eredményét megadó valószínűségi változót. Adjuk meg ezt a valószínűségi változót. (Kitűzve április 25-én.)

13. Számítsuk ki egy a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét. (Kitűzve április 25-én.)

14. Legyen ξ és η két független és a [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változó, azaz legyen f(x) sűrűségfüggvényük f(x) = 1, ha −\frac{1}{2} ≤ x ≤ \frac{1}{2}, f(x) = 0, ha x > \frac{1}{2} vagy x < −\frac{1}{2}. Számítsuk ki ξ_{1} + ξ_{2} sűrűségfüggvényét. (Kitűzve április 25-én.)

15. Legyen ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó a [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] intervallumban. Számítsuk ki a ξ^{2} és ξ^{3} valószínűségi változók eloszlás és sűrűségfüggvényét. (Kitűzve április 25-én.)

16. Egy szabályos dobókockát feldobunk 2700 alkalommal egymástól függetlenül, és összeszámoljuk a páros értékű dobások eredményét. Adjunk jó közelítő becslést a centrális határeloszlástétel és egy normális eloszlástáblázat segítségével arra, hogy ez az összeg 420 és 720 közé esik. (Kitűzve május 2-án.)