\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\nopagenumbers
 
\noindent
{\bf Kit\H{u}z\"ott feladatok}
\plainfootnote{} {A ${}^*$ jelz\'es\H{u} feladatok nem
k\"otelez\H{o}ek.}
 
 
\item{1.} Adjuk meg egy szab\'alyos dob\'okocka 10 egym\'as ut\'ani
dob\'as\'anak egy lehets\'eges val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellj\'et.
\quad (Kit\H{u}zve febru\'ar 15-\'en.)
\item{2.} Egy szab\'alyos \'erm\'et feldobunk egym\'as ut\'an eg\'eszen
addig, am\'{\i}g m\'asodszor megjelenik egy fej. Azut\'an a
dob\'assorozatot abbahagyjuk. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy legal\'abb h\'arom dob\'ast v\'egz\"unk, \'es az
utols\'ot kett\H{o}vel megel\H{o}z\H{o} dob\'as ered\-m\'e\-nye fej?
\quad (Kit\H{u}zve febru\'ar 15-\'en.)
\item{3.} Egy urn\'aban 50 piros \'es 50 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzzuk a goly\'okat visszatev\'es n\'elk\"ul. Mi a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy a 40-ik h\'uz\'as eredm\'enye
piros? Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 60-ik h\'uz\'as
eredm\'enye piros? Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 40-ik
h\'uz\'as eredm\'enye piros? Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak,
hogy a 40-ik \'es 60-ik h\'uz\'as eredm\'enye is piros?
\quad (Kit\H{u}zve febru\'ar 22-\'en.)
\item{4.} Egy urn\'aban 20 feh\'er \'es 30 piros goly\'o van. Ha
kih\'uzunk egy goly\'ot akkor azt visszadobjuk, \'es vele egy\"utt
bedobunk az urn\'aba k\'et ugyanolyan sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot. Ezt
megism\'etelj\"uk 50-szer. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak,
hogy a 30. \'es 50-ik h\'uz\'as eredm\'enye egyar\'ant piros.
\quad (Kit\H{u}zve febru\'ar 29-\'en.)
\item{5.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at egym\'asut\'an
t\"obbsz\"or feldobunk. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy a
10-ik dob\'asban dobunk harmadszor hatost.
\quad (Kit\H{u}zve febru\'ar 29-\'en.)
\item{6.} K\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} f\'ar\'ol leszednek 10
alm\'at, \'es beteszik k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o}
(meg\-k\"u\-l\"on\-b\"oz\-tet\-he\-tet\-len dobozba.) Ez egyik f\'ar\'ol
szedett alm\'ak $\dfrac14$ a m\'asik f\'ar\'ol szedett alm\'ak pedig
$\dfrac1{10}$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel f\'ergesek.
Kivesz\"unk az egyik dobozb\'ol k\'et alm\'at \'es mind a kett\H{o}
f\'erges. Ezek ut\'an kivesz\"unk a m\'asik dobozb\'ol egy alm\'at. Mi
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ez az alma m\'ar nem f\'erges?
\quad (Kit\H{u}zve febru\'ar 29-\'en.)
\item{$7.{}^*$} Legyenek $A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek valamely
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
$S_k=\summ_{1\le j_1<\cdots<j_k\le n} P(A_{j_1}\cap\cdots\cap
A_{j_k})$, \ $1\le k\le n$. Ekkor
$$
S_1-S_2+\cdots (-1)^{2k-1}S_{2k}\ge P(A_1\cup\cdots\cup A_n)\ge
S_1-S_2+\cdots (-1)^{2k}S_{2k+1},
$$
ha $2\le2k\le n$.
\quad (Kit\H{u}zve m\'arcius 7-\'en.)
\item{8.} Egy dob\'okock\'at feldobunk t\'{\i}zszer. Sz\'am\'{\i}tsuk
ki a p\'aratlan dob\'aseredm\'enyek \"osszeg\'enek a v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et. (A p\'aros dob\'aseredm\'enyeket nem vessz\"uk
fi\-gye\-lem\-be).
\quad (Kit\H{u}zve m\'arcius 14-\'en.)
\item{9.} Egy urn\'aban 20 piros \'es 10 feh\'er goly\'o van. Kih\'uzunk
egym\'as ut\'an 10 goly\'ot \'ugy, hogy minden h\'uz\'as  ut\'an a
kih\'uzott goly\'ot visszadobjuk egy vele azonos sz\'{\i}n\H{u}
goly\'oval egy\"utt. Mi a kih\'uzott piros goly\'ok sz\'am\'anak a
v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete? (A megold\'as sor\'an
eml\'ekezz\"unk arra, hogy megt\'argyaltuk annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy egy ilyen modellben mi a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy adott sorsz\'am\'u
h\'uz\'asban kih\'uzott goly\'o piros sz\'{\i}n\H{u} illetve annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy k\'et adott sorsz\'am\'u
h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uzunk. L\'attuk, hogy ezek a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek nem f\"uggnek a h\'uz\'asok
sorsz\'am\'at\'ol. Haszn\'aljuk fel ezeket az ered\-m\'e\-nye\-ket
a megold\'asban.)
\quad (Kit\H{u}zve m\'arcius 21-\'en.)
\item{10.} Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot $(n,p)$
param\'eter\H{u} binomi\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak nevez\"unk, $n=0,1,2,\dots$, $0<p<1$, ha
$P(\xi=k)=\dbinom nk p^k(1-p)^{n-k}$, $k=0,1,\dots,n$. Legyen $\xi$
\'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen binomi\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $(m,p)$ illetve $(n,p)$
param\'eterekkel. Ekkor $\xi+\eta$ binomi\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o $(m+n,p)$
param\'eterekkel.
\quad (Kit\H{u}zve m\'arcius 21-\'en.)
\item{11.} Fejezz\"uk ki annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy
egy $F(x)$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eg\'esz \'ert\'eket vesz fel az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. \quad (Kit\H{u}zve \'aprilis 11-\'en.)
\item{12.} Egy szab\'alyos kock\'at feldobunk, \'es tekintj\"uk a
dob\'as eredm\'eny\'et megad\'o va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ot. Adjuk meg ezt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot.
\quad (Kit\H{u}zve \'aprilis 25-\'en.)
\item{13.} Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy a $[0,1]$ intervallumban egyenletes
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\quad (Kit\H{u}zve \'aprilis 25-\'en.)
\item{14.} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen \'es a
$[-\frac12,\frac12]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, azaz legyen $f(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk $f(x)=1$, ha $-\frac12\le x\le
\frac12$, $f(x)=0$, ha $x>\frac12$ vagy $x<-\frac12$. Sz\'am\'{\i}tsuk
ki $\xi_1+\xi_2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\quad (Kit\H{u}zve \'aprilis 25-\'en.)
\item{15.} Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $[-\frac12,\frac12]$
intervallumban. Sz\'a\-m\'{\i}t\-suk ki a $\xi^2$ \'es $\xi^3$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'as \'es
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\quad (Ki\-t\H{u}z\-ve \'aprilis 25-\'en.)
\item{16.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 2700 alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es \"osszesz\'amoljuk a p\'aros
\'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'eny\'et. Adjunk j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra,
hogy ez az \"osszeg 420 \'es 720 k\"oz\'e esik.
\quad (Ki\-t\H{u}z\-ve m\'ajus 2-\'an.)
 
 
 
 
 
\bye
