\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A m\'ajus 2-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o}
\medskip
 
El\H{o}sz\"or besz\'ekj\"uk meg r\"oviden, mi\'ert konvoluci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehet kisz\'am\'{\i}tani k\'et ismert
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melyek (egy\"uttes)
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a $h(u,v)$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny, akkor annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $(xi,\eta)$ v\'eletlen vektor a
s\'{\i}k valamely $A\subset R^2$ r\'eszhalmaz\'aba esik
$$
P((\xi,\eta)\in A)=\int\int_{\{(u,v)\in A\}} h(u,v)\,du\,dv.
$$
Speci\'alisan,
$$
P(\xi+\eta<x)=\int\int_{\{(u,v)\:u+v<x\}}h(u,v)\,du\,dv,
$$
\'es ez a k\'eplet adja meg a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $F(x)=P(\xi+\eta<x)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et.
Ez az eredm\'eny akkor is \'erv\'enyes, ha $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $f(u)$ \'es $g(v)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Azt is \'erdemes tudni, hogy ebben
az esetben a $(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $h(u,v)=f(u)g(v)$ alak\'u.
Ekkor $\xi+\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x)=\dfrac{d}{dx}P(\xi+\eta<x)$, teh\'at
$$
\align
f(x)&=\frac
d{dx}P(\xi+\eta<x)=\frac
d{dx}\int\int_{\{(u,v)\:u+v<x\}}f(u)g(v)\,du\,dv\\
&=\frac d{dx}\int_{-\infty}^x\[\int_{-\infty}^\infty
f(u)g(v-u)\,du\]\,dv=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)\,du
\endalign
$$
A fenti sz\'amol\'asok els\H{o} azonoss\'ag\'aban egy
integr\'altranszform\'aci\'ot alkalmaztunk  $\bar v=u+v$, $\bar u=u$
helyettes\'{\i}t\'essel (de $\bar u$ \'es $\bar v$ helyett $u$ \'es
$v$ v\'altoz\'ot \'{\i}rtunk.) Felhaszn\'altuk, hogy e
transzform\'aci\'o sor\'an az $\{(u,v)\:u+v<x\}$ tartom\'any a $\{(\bar
u,\bar v)\:\bar v<x,-\infty< \bar u<\infty\}$ tartom\'anyba megy \'at,
\'es a fenti (line\'aris) transzform\'aci\'o Jakobi\'anja azonosan 1.
Az utols\'o azonoss\'agban a $\dfrac d{dx} \int _{-\infty}^\infty
H(v)\,dv=H(x)$ azonoss\'agot alkalmaztuk $H(v)=\int_{-\infty}^\infty
f(u)g(v-u)\,du$ v\'alaszt\'assal.
 
Ki tudjuk sz\'amolni tetsz\H{o}leges f\"uggetlen {\it eg\'esz
\'ert\'ek\H{u}}\/ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok \"ossze\-g\'e\-nek az eloszl\'as\'at az adott
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'as\'anak a
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel. E sz\'a\-mo\-l\'as
megfogalmaz\'as\'an\'anak \'erdek\'eben vezett\'ek be diszkr\'et
eloszl\'asok konvoluci\'oj\'anak a fogalm\'at. \medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et eloszl\'asok konvoluci\'oj\'anak a definici\'oja.}
{\it Legyen $\Cal P=p(k)$ \'es $\Cal Q=q(k)$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$,
k\'et eloszl\'as az eg\'esz sz\'amokon, azaz teljes\"uljenek a
$p(k)\ge0$, $q(k)\ge0$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$,
$\summ_{k=-\infty}^\infty p(k)=1$, $\summ_{k=-\infty}^\infty q(k)=1$
felt\'etelek. Ekkor e k\'et eloszl\'as konvoluci\'oja a
$$
\Cal P*\Cal Q(k)=\sum_{j=-\infty}^\infty p(j)q(k-j), \qquad
k=0,\pm1,\pm2,\dots
$$
eloszl\'as.}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et diszkr\'et eg\'esz
\'ert\'ekeket felvev\H{o} f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $\Cal P$ \'es $\Cal Q$ eloszl\'assal akkor $\xi+\eta$
eloszl\'asa a $\Cal P*\Cal Q$ eloszl\'as.} \medskip
(Tulajdonk\'eppen a fenti eredm\'enyt m\'ar alkalmaztuk (a formul\'ak
k\"ozvetlen bizony\'{\i}t\'as\'aval) a m\'arcius 21-i gyakorlat
feladatainak megbesz\'el\'es\'en\'el.)
 
\bigskip
Vizsg\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} probl\'emak\"ort. Egy szab\'alyos
p\'enzdarabot nagyon sokszor feldobunk egym\'as ut\'an, mondjuk 10~000
alkalommal. Azt v\'arjuk, hogy nagy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel k\"or\"ulbel\"ul 5~000 fej \'es
5~000 \'{\i}r\'as dob\'as jelenik meg. De mit jelent ebben az
\'all\'{\i}t\'asban az, hogy k\"or\"ulbel\"ul? K\'epzelj\"uk el, hogy
valaki egy j\'at\'ekot aj\'anl. Egy szerinte szab\'alyos p\'enzdarabot
egym\'as ut\'an 10~000 alkalommal feldob egym\'as ut\'an, ha fej az
eredm\'eny, akkor \'en fizetek neki 1~forintot, ha \'{\i}r\'as akkor
\H{o} fizet nekem 1~forintot. A j\'at\'ek sor\'an 10~000 fejdob\'as
eredm\'eny sz\"uletik. Elhissz\"uk-e ennek az embernek azt, hogy
szab\'alyos p\'enz\-da\-ra\-bot dobott fel? Elhissz\"uk-e
akkor, ha 6~000 fej \'es 4~000 \'{\i}r\'asdob\'as jelenik meg?
Akkor, ha 5~500 fej \'es 4~500 \'{\i}r\'as vagy ha 5~200 fej \'es
4~800 \'{\i}r\'asdob\'as jelenik meg? Az \'altal\'anos k\'erd\'es az,
hogy igaz-e, hogy a fej-dob\'asok relat\'{\i}v gyakoris\'aga k\"ozel
van a dob\'asok val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ehez?  Ha igen, akkor
milyen k\"ozel? Mekkora elt\'er\'es tekinthet\H{o} tipikusnak \'es
mekkora elt\'er\'es atipikus, azaz rendk\'{\i}v\"ul
val\'osz\'{\i}n\H{u}tlen? Term\'eszetesen hasonl\'o k\'erd\'esek
vethet\H{o}k fel m\'as probl\'em\'ak vizsg\'alat\'aban is. P\'eld\'aul
egy szab\'alyos kocka sok egym\'as ut\'ani f\"uggetlen dob\'asa
eset\'en mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege van annak, hogy a hatos
dob\'asok relat\'{\i}v gyakoris\'aga bizonyos pontoss\'aggal
megk\"ozel\'{\i}ti az $\frac16$ sz\'amot, azaz a hatos dob\'as
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et? Megbesz\'elj\"uk azt, hogy milyen
becsl\'est ad erre a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre a Chebishev
egyenl\H{o}tlens\'eg \'es a centr\'alis (k\"ozponti)
hat\'areloszl\'ast\'etel, a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
tal\'an legfontosabb eredm\'enye.
\medskip\noindent
{\bf Chebishev egyenl\'otlens\'eg.} {\it Tekints\"unk egy $S$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, melyre $ES=M$, $\Var S=D^2$
valamilyen $D<\infty$ sz\'ammal. Ekkor minden $0\le x<\infty$ sz\'amra
$$
P(|S-M|>x)\le \frac{\Var S}{x^2}.
$$
Speci\'alisan, legyenek $\xi_j$, $1\le j\le n$, f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $E\xi_j=m_j$, $\Var
\xi_j=\sigma_j^2$, $1\le j\le n$, $S=\summ_{j=1}^n\xi_j$. Ekkor
$ES=\summ_{j=1}^n m_j$, $\Var S=\summ_{j=1}^n \sigma_j^2$, ez\'ert
$$
P\(\left|S-\summ_{j=1}^n m_j\right|>x\)\le \frac{\summ_{j=1}^n
\sigma_j^2}{x^2}.
$$
}\medskip\noindent
{\bf Centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.} {\it Legyenek $\xi_j$,
$j=1,2,\dots$ f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, $E\xi_1=m$, $\Var
\xi_1=\sigma^2$, $S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$, $n=1,2,\dots$. Ekkor
$$
\lim_{n\to\infty}P\(\frac{S_n-nm}{\sqrt n \sigma}<x\)
=\Phi(x)=\int_{-\infty}^x\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du.
$$
minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra.}
\medskip\noindent
Megjegyezz\"uk, hogy a fenti t\'etel \'altal\'anos\'{\i}that\'o.
Hasonl\'o t\'etel mondhat\'o ki f\"uggetlen nem felt\'etlen\"ul
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
normaliz\'alt \"osszegeinek el\-osz\-l\'a\-sai (azaz az \"osszegek
olyan line\'aris transzform\'altj\'anak eloszl\'asai, melynek a
v\'arhat\'o \'ert\'eke nulla \'es sz\'or\'asn\'egyzete egy) enyhe
felt\'etelek mellett konverg\'alnak a standard norm\'alis
eloszl\'ashoz. Ennek a probl\'em\'anak a r\'eszleteit azonban itt
nem t\'argyaljuk.
 
Vizsg\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} feladat megold\'as\'at:
\medskip\noindent
\item{1.}{\it Tekints\"unk egy szab\'alyos p\'enzdarab 10~000
egym\'as ut\'ani (f\"uggetlen) feldob\'as\'ab\'ol sz\'ar\-ma\-z\'o
fej-\'{\i}r\'as sorozatot. Adjunk becsl\'est a Chebishev
egyenl\H{o}tlens\'eg se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy a fej-dob\'asok sz\'am\'anak
elt\'er\'ese a v\'art 5000 sz\'amt\'ol legal\'abb 100-zal, illetve
legal\'abb 200-zal elt\'er! Milyen becsl\'est ad ezekre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel?}
\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/  Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, $\le
j\le 10~000$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, melyekre
$\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as. Ekkor $\xi_j$, $1\le j\le 10~000$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\H{o}k,
$E\xi_j=\frac12$, $\text{Var}\, \xi_j=\frac14$, \'es a
$P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>100\)$ \'es
$P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>200\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre kell becsl\'et adnunk. A Chebishev
egyenl\H{o}tlens\'eg az els\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre a $\dfrac
{10000\cdot\frac14}{100^2}=\dfrac14$, a m\'asodik
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre pedig a $\dfrac
{10000\cdot\frac14}{200^2}=\dfrac1{16}$ fels\H{o} becsl\'est adja.
 
A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel szerint
$P\(\dfrac{\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)}{\sqrt{10000\cdot\frac
14}}>u\) \sim 1-\Phi(u)$. Innen kapjuk, hogy az els\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg kisz\'am\'{\i}t\'as\'ahoz az
$u=\pm\frac{100}{\frac12\cdot100}=\pm 2$ \'ert\'ekeket
kell tekinteni, \'es a vizsg\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg $(1-\Phi(2))+\Phi(-2)
=2(1-\Phi(2))\sim2(1-0.97720)=0.0456$. A m\'asodik
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg hasonl\'oan k\"or\"ulbel\"ul
$2(1-\Phi(4))\sim0$, (az els\H{o} 4 tizedesjegy 0).
\medskip
{\it H\'azi feladat.}
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 2700 alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es \"osszesz\'amoljuk a p\'aros
\'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'eny\'et. Adjunk j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra,
hogy ez az \"osszeg 420 \'es 720 k\"oz\'e esik.
 
 
\bye
