\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A m\'ajus 9-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o}
\medskip
 
Megbesz\'elt\"unk n\'eh\'any feladatot, mely arra adott p\'eld\'at,
hogy bizonyos va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge\-ket hogyan lehet
j\'ol megbecs\"ulni a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. El\H{o}tte felid\'ezt\"uk, hogy a $\Phi(\cdot)$
norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a
$\Phi(-x)=1-\Phi(x)$ azonoss\'agot tet\-sz\H{o}\-le\-ges
$-\infty<x<\infty$ sz\'amra, \'es ez lehet\H{o}v\'e teszi, hogy
el\'eg legyen a norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'enyt csak nem negat\'{\i}v
sz\'amokra tabul\'alni a t\'abl\'azatokban.
 
Az eml\'{\i}tett azonoss\'ag abb\'ol k\"ovetkezik, hogy a norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'eny $\varphi(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye
p\'aros, ez\'ert $\Phi(-x)=\int_{-\infty}
^{-x}\varphi(u)\,du=\int_x^\infty \varphi(u)\,du=1-\Phi(x)$.
 
Vizsg\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} feladat megold\'as\'at:
\medskip\noindent
\item{1.}{\it Tekints\"unk egy szab\'alyos p\'enzdarab 10~000
egym\'as ut\'ani (f\"uggetlen) feldob\'as\'ab\'ol sz\'ar\-ma\-z\'o
fej-\'{\i}r\'as sorozatot. Adjunk becsl\'est a Chebishev
egyenl\H{o}tlens\'eg se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy a fej-dob\'asok sz\'am\'anak
elt\'er\'ese a v\'art 5000 sz\'amt\'ol legal\'abb 100-zal, illetve
legal\'abb 200-zal elt\'er! Milyen becsl\'est ad ezekre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel?}
\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/  Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, $\le
j\le 10~000$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, melyekre
$\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as. Ekkor $\xi_j$, $1\le j\le 10~000$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\H{o}k,
$E\xi_j=\frac12$, $\text{Var}\, \xi_j=\frac14$, \'es a
$P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>100\)$ \'es
$P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>200\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre kell becsl\'est adnunk. A Chebishev
egyenl\H{o}tlens\'eg az els\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre a $\dfrac
{10000\cdot\frac14}{100^2}=\dfrac14$, a m\'asodik
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre pedig a $\dfrac
{10000\cdot\frac14}{200^2}=\dfrac1{16}$ fels\H{o} becsl\'est adja.
 
A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel szerint
$P\(\dfrac{\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)}{\sqrt{10000\cdot\frac
14}}>u\) \sim 1-\Phi(u)$. Innen kapjuk, hogy az els\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg kisz\'am\'{\i}t\'as\'ahoz az
$u=\pm\frac{100}{\frac12\cdot100}=\pm 2$ \'ert\'ekeket
kell tekinteni, \'es a vizsg\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg $(1-\Phi(2))+\Phi(-2)
=2(1-\Phi(2))\sim2(1-0.97720)=0.0456$. A m\'asodik
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg hasonl\'oan k\"or\"ulbel\"ul
$2(1-\Phi(4))\sim0$, (az els\H{o} 4 tizedesjegy 0).
\item{2.} Legyen birtokunkban 100 l\'ampa, melyek mindegyike
egym\'ast\'ol f\"uggetlen id\H{o}\-tar\-ta\-mig m\H{u}k\"odik,
\'elettartamuk pedig exponenci\'alis eloszl\'as\'u $\lambda=\frac1{100}$
param\'eterrel. (A l\'amp\'ak \'elettartam\'anak exponenci\'alis
eloszl\'asa term\'eszetes felt\'etelez\'es.) Egy termet
bevil\'ag\'{\i}tunk ezen l\'amp\'ak valamelyik\'evel, majd amikor az
ki\'egett \'uj l\'amp\'at haszn\'alunk fel. Adjunk j\'o becsl\'est
arra, hogy a l\'amp\'ak \"ossz\'elettartama legal\'abb 1150 \'ora.
\medskip
Jel\"olje $\xi_j$ a $j$-ik l\'ampa \'el\'ettartam\'at, $1\le
j\le100$. Ekkor a $P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>1150)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre kell j\'o becsl\'est adnunk, ahol az
\"osszegben f\"uggetlen exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok szerepelnek
$\lambda=\frac1{10}$ param\'eterrel. Vezess\"uk be az
$\eta=\xi_1+\cdots+\xi_{100}$ jel\"ol\'est. Ki tudjuk-e
sz\'am\'{\i}tani a $P(\eta>x)$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket
tetsz\H{o}leges $x$ sz\'amra pontosan? A v\'alasz erre a k\'erd\'esre
az, hogy igen, de a jelen feladat megold\'as\'ahoz
nem \'erdemes ezt az \'utat v\'alasztani.
 
Ugyanis ki tudjuk sz\'am\'{\i}tani $m$ f\"uggetlen $\lambda$
param\'eter\H{u} exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\H{o} \"osszeg\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. Ez ugyanazt jelenti mint $m$ darab
exponenci\'alis s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny konvoluci\'oj\'at
kisz\'am\'{\i}tani, \'es ezt a feladatot az \'aprilis 25-i gyakorlat 3.
feladat\'aban t\'argyaltuk. Eszerint eset\"unkben a keresett
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny $\bar f(u)=\dfrac{\lambda^{m}
u^{m-1}}{(m-1)!}e^{-\lambda u}$ $\lambda=\dfrac1{10}$ \'es $m=100$
v\'alaszt\'assal. Tov\'abb\'a $P(\eta>x)=\int_x^\infty \bar f(u)\,du$.
Ezt az integr\'alt szukcessziv parci\'alis integr\'al\'assal ki tudjuk
sz\'amolni, \'es kapunk egy sz\'aztag\'u \"osszeget. Ez egy elvi
lehet\H{o}s\'eget ad a minket \'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara $x=1150$ v\'alaszt\'assal. Ez azonban sok
sz\'amol\'ast ig\'enyel, \'es f\'el\H{o} hogy a kerek\'{\i}t\'esi
hib\'ak miatt a kapott eredm\'eny f\'elrevezet\H{o} lesz m\'eg
hib\'atlan sz\'amol\'as eset\'en is. Enn\'el egyszer\H{u}bb \'es
hasznosabb a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alkalmaz\'asa.
 
Kisz\'amoltuk (\'aprilis 25-i gyakorlat 2. feladat), hogy jelen esetben
$E\eta=mE\xi_1=\dfrac m\lambda=10$, $\Var \eta=\dfrac m{\lambda^2}=10
000$ ($m=100$ \'es $\lambda=\dfrac1{10}$ v\'alaszt\'assal. Ez\'ert a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel szerint $\dfrac{\eta-E\eta}{\sqrt{
\Var \eta}}=\dfrac{\eta-1000}{100}$ j\'o k\"ozel\'{\i}t\'essel standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz1n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es
$P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>1150) =\dfrac{\eta-E\eta}{\sqrt{\Var
\eta}}>1.5\sim1-\Phi(1.5)$.
\medskip
\item{3.} Vegy\"unk egy olyan p\'enzdarabot, mely $\frac23$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esik a fej \'es $\frac13$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel az \'{\i}r\'as oldalra. Ezt a
p\'enzdarabot annyiszor  dobjuk fel, ameddig megjelenik  1200 fej
dob\'as. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az elv\'egzett
dob\'asok sz\'ama 1680 1430 k\"uz\'e esik? Adjunk erre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est.
\medskip
 
Az elv\'egzett dob\'asok sz\'ama negat\'{\i}v binomi\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $n=1200$
$p=\frac13$ param\'eterekkel, \'es egy ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak kisz\'amoltuk a pontos eloszl\'as\'at, azaz azt, hogy
milyen \'ert\'eket milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesz fel.
(L\'asd m\'arcius 28-i gyakorlat 6.~feladat.) Elvileg, ez
lehet\H{o}s\'eget ad a k\'{\i}v\'ant val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara. Enn\'el hasznosabb becsl\'est tudunk kapni a
k\"ovetkez\H{o} \'ervel\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel, mely a k\'{\i}v\'ant
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget j\'o pontoss\'aggal kisz\'am\'{\i}tja a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
 
Jel\"olje $\xi_j$, $2\le j\le 1200$  a $j-1$-ik \'es $j$-ik fejdob\'as
k\"oz\"otti dob\'asok sz\'am\'at (a $j$-ik fejdob\'ast
belesz\'am\'{\i}tjuk a $j-1$-iket viszont nem  sz\'am\'{\i}tjuk bele e
dob\'asok k\"oz\'e), \'es legyen $\xi_1$ az els\H{o} fejdob\'asig (ezt
is belesz\'am\'{\i}tva) elv\'egzett dob\'asok sz\'ama. Ekkor a
$\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'uak $n=1$, $p=\frac13$
param\'eterekkel, \'es minket a $P(1680<\xi_1+\cdots+\xi_{1200}<1830)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Megmutattuk (m\'arcius 28-i
gyakorlat 6. feladat), hogy $E\xi_j=\dfrac1{1-p}=3$, $\Var \xi_j=\dfrac
p{(1-p)^2}=6$. Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$\eta=\xi_1+\cdots+\xi_{1200}$ jel\"ol\'essel minket a
$P\(-\sqrt2<\dfrac{\eta-1200E\xi_1}{\sqrt
{1200\Var\xi_1}}<\dfrac{\sqrt2}4\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel.
A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$P\(-\sqrt2<\dfrac{\eta-1200E\xi_1}{\sqrt
{1200\Var\xi_1}}<\dfrac{\sqrt2}4\)\sim
\Phi\(\dfrac{\sqrt2}4\)+\Phi(\sqrt2)-1$.
 
\bigskip\bigskip
 
M\'eg volt n\'eh\'any egy\'eb probl\'ema t\'argyal\'asa is, melyeket
csak k\'es\H{o}bb \'{\i}rok
le. A le nem \'{\i}rt anyag nem fog szerepelni a m\'ajus 16-\'an
\'{\i}rand\'o dolgozatban.
 
 
 
\bye
