A március 14-i gyakorlat témája Rövid összefoglaló

Először néhány szó a feladatsor 6. kitűzött feladatáról. A feladat úgy értendő, hogy tíz almát leszedünk az első fáról, melyek egymástól függetlenül férgesek \frac{1}{4} valószínűséggel, és betesszük egy ládába, majd a másik fáról is leszedünk 10 almát, melyek egymástól függetlenül \frac{1}{10} valószínűséggel férgesek, és ezt betesszük egy másik ládába. Számoljuk ki először annak a feltételes valószínűségét, hogy abban az esetben, ha a kiválasztott almák mindegyike férges, akkor az első fáról kiválasztott fa almáit próbáltuk ki. Ezután ennek a feltételes valószínűségnek az ismeretében annak valószínűségét, hogy a másik fáról választott alma férges-e. A feladat célja a feltételes valószínűség fogalmának megértése.

1.) Egy pénzdarabot feldobunk 100-szor egymás után. Számoljuk ki a fej-dobások számának a várható értékét. Számítsuk ki a várható értéket először a definició segítségével. Majd tekintsük a j-ik dobásból származó fejek számát, (mely egy vagy nulla, attól függően, hogy fej vagy írás-e a j-ik dobás eredménye), és számítsuk ki a fenti várható értéket, mint az egyes dobásokból származó fejek számának az összegét.

Beszéljük meg e feladat megoldását részletesebben. Először idézzük fel egy (diszkrét értékű) valószínűségi változó várható értékének a definicióját.

Diszkrét valószínűségi változó várható értékének definiciója. Legyen ξ egy olyan (diszkrét értékű) valószínűségi változó, mely x_{1}, x_{2}, … valós értékeket vesz fel, és

P (ξ = x_{k}) = p_{k}, k = 1, 2, . . .. Ekkor a ξ valószínűségi várható értéke Eξ = ∑_{k=1}^{∞} p_{k}x_{k}

feltéve, hogy ez az összeg konvergens. Ha ez az összeg nem konvergens, akkor a ξ valószínűségi változónak nem definiáljuk a várható értékét. (A konvergencia ebben a definicióban abszolut konvergenciát jelent.)

Valószínűségi változó szórásnégyzetének a definiciója. Egy ξ valószínűségi változó szórásnégyzete Var ξ^{2} = E [(ξ − Eξ)^{2}], feltéve hogy ez a kifejezés értelmes. Be lehet látni, hogy ez a kifejezés Var ξ^{2} = E [(ξ − Eξ)^{2}] = E(ξ^{2}) − (Eξ)^{2}.

E definició alapján a következőképpen kell számolnunk. Annak valószínűsége, hogy

pontosan k fejdobás történik 100 dobás esetében \binom{100}{k}2^{−100}, 0 ≤ k ≤ 100. Ezért a

keresett várható érték Eξ = ∑_{k=0}^{100} k\binom{100}{k}2^{−100}. Ezt az összeget ki tudjuk számítani a

következő észrevétel segítségével: k\binom{n}{k} = n\binom{n − 1}{k − 1}, ha 1 ≤ k ≤ n. Innen n = 100

választással Eξ = ∑_{k=0}^{100} k\binom{100}{k}2^{−100} = 100 ∑_{k=0}^{99} \binom{99}{k}2^{−100} = 100 · 2^{−100} · (1 + 1)^{99} =

\frac{1}{2} · 100 = 50.

Ezt az eredményt egyszerűbben is meg lehet kapni, és ez az egyszerűbb módszer mely a heurisztikus elképzeléseinket fordítja le a matematika nyelvére általánosabban is használható. A következő eredményre van szükségünk:

Tétel. Ha ξ és η két tetszőleges valószínűségi változó, melyekre léteznek az Eξ és Eη várható értékek, akkor E(ξ + η) = Eξ + Eη, E(aξ + b) = aEξ + b, tetszőleges valós a és b számokra.

Tekintsünk egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőt, mely természetes modellje a 100 dobásból álló fej-írás sorozatoknak. Legyen egy elemi esemény egy lehetságes 100 hosszúságú fej–írás sorozat, ω = (F, ⋯, I ⋯), P (ω) = 2^{−100}, és definiáljuk a következő ξ_{j}(ω) valószínűségi változókat: ξ_{j}(ω) = 1, ha az ω 100 hosszúságú fej–írás sorozat j-ik helyén fej van, és ξ_{j}(ω) = 0, ha az ω fej–írás sorozat j-ik jegye írás. Vegyük észre, hogy a minket

érdeklő mennnyiség a 100 dobásból álló fej-írás sorozatok száma ξ(ω) = ∑_{j=1}^{100} ξ_{j}(ω). Ezért

az előbb kimondott tétel alapján

Eξ(ω) = E (∑_{j=1}^{100} ξ_{j}(ω)) = ∑_{j=1}^{100} Eξ_{j}(ω).

Viszont Eξ_{j}(ω) = \frac{1}{2} · 1 + \frac{1}{2} · 0 = \frac{1}{2}, ezért Eξ = 100 · \frac{1}{2} = 50. 2.) Egy pénzdarabot feldobunk 100-szor egymás után. Számoljuk ki a fej-dobások

számának a szórásnégyzetét.

Ezt a feladatot is kiszámolhatjuk a szórásnégyzet definiciója segítségével. Eszerint,

az előző feladat jelöléseit használva Var ξ = Eξ^{2} − (Eξ)^{2} = ∑_{j=0}^{100} j^{2}\binom{100}{j}2^{−100} − 2500.

Másészt j^{2}\binom{n}{j} = j(j−1)\binom{n}{j}+j\binom{n}{j} = n(n−1)\binom{n − 2}{j − 2}+n\binom{n − 1}{j − 1}, ahonnan n = 100

választással ∑_{j=0}^{100} j^{2}\binom{100}{j}2^{−100} = 100 · 99 ∑_{j=0}^{98} j^{2}\binom{100}{j}2^{−100} + 100 ∑_{j=0}^{99} j^{2}\binom{100}{j}2^{−100} =

100 · 99 · \frac{1}{4} + 50 = 2525, és innen Var ξ = 25.

Ezt a feladatot is meg lehet egyszerűbben oldani a következő eredmény segítségével:

Tétel. Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, ⋯, ξ_{n} független valószínűségi változók. Ekkor

Var (ξ_{1} + ⋯ + ξ_{n}) = Var ξ_{1} + ⋯ + Var ξ_{n},
Var (aξ + b) = a^{2}Var ξ.

minden valós a és b számra.

Tekintsük egy 100 hosszúságú dobássorozatnak az előző feladatban elkészített modelljét. Ekkor azt kapjuk, hogy

Var ξ(ω) = Var (∑_{j=1}^{100} ξ_{j}(ω)) = ∑_{j=1}^{100} Var ξ_{j}(ω) = 100Var ξ_{1}(ω) = 100 · \frac{1}{4} = 25,

mert Var ξ_{j}(ω) = Eξ_{j}^{2}(ω) − (Eξ_{j}(ω))^{2} = \frac{1}{2} − \frac{1}{4} = \frac{1}{4}. 3.) Egy szabályos dobókockát feldobunk tízszer. Számoljuk ki a dobáseredmények

összegének a várható értékét. 4.) Egy szabályos dobókockát feldobunk egymás után 10-szer. Mi a dobások összegének

a várható értéke és szórásnégyzete? Ezeket a feladatokat az előző két feladat (egyszerűbb) megoldásához hasonlóan oldhatjuk meg. Tekintsük a feladat egy természetes valószínűségi modelljét. Legyenek az elemi események a 10 hosszúságú 1,2,3,4,5 vagy 6 számot tartalmazó sorozatok, minden elemi esemény valószínűsége legyen (\frac{1}{6})^{10}. Definiáljuk a ξ_{j}(ω) valószínűségi változókat, ahol ξ_{j}(ω) = k, ha az ω sorozat j-ik jele k, azaz a j-ik dobás eredménye k. Ekkor a ξ_{j}(ω) valószínűségi

változók függetlenek, és minket a ξ(ω) = ∑_{j=1}^{10} ξ_{j}(ω) összeg várható értéke és szórás-

négyzete érdekel

Eξ = ∑_{j=1}^{10} Eξ_{j} = 10 · Eξ_{1} = 35

Var ξ = ∑_{j=1}^{10} Var ξ_{j} = 10 · Var ξ_{1} = 10 (\frac{91}{6} − 3.5^{2}) = \frac{350}{3},

mert Eξ_{j} = \frac{1}{6}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3.5, Eξ_{j}^{2} = \frac{1}{6}(1 + 4 + 5 + 16 + 25 + 36) = \frac{91}{6}.

Házi feladat:

Egy dobókockát feldobunk tízszer. Számítsuk ki a páratlan dobáseredmények összegének a várható értékét. (A páros dobáseredményeket nem vesszük figyelembe).

5. Egy urnában 20 piros és 10 fehér golyó van. Kihúzunk visszatevéssel 10 golyót. Mi a kihúzott piros golyók számának a várható értéke és szórásnégyzete?

Ezt a feladat is hasonlóan tárgyalható az előzőekhez. Egy visszatevéses urnamodellt tekintünk, és abban definiáljuk a ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 10, valószínűségi változókat úgy, hogy ξ_{j}(ω) = 1, ha a j-ik húzás eredménye piros, ξ_{j}(ω) = 0, ha a j-ik húzás eredménye fehér. Ekkor a ξ_{j} valószínűségi változók függetlenek, Eξ_{j} = \frac{2}{3}, Var ξ_{j} = \frac{2}{3} − \frac{4}{9} = \frac{2}{9}. Minket a

ξ = ∑_{j=1}^{10} ξ_{j} várható értéke és szórásnégyzete érdekel. Eξ = \frac{20}{3}, Var ξ = \frac{20}{9}.