\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A m\'arcius 14-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o}
\medskip
 
El\H{o}sz\"or n\'eh\'any sz\'o a feladatsor 6. kit\H{u}z\"ott
feladat\'ar\'ol. A feladat \'ugy \'ertend\H{o}, hogy t\'{\i}z alm\'at
leszed\"unk az els\H{o} f\'ar\'ol, melyek egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul
f\'ergesek $\frac1{4}$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel, \'es
betessz\"uk egy l\'ad\'aba, majd a m\'asik f\'ar\'ol is leszed\"unk 10
alm\'at, melyek egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $\frac1{10}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel f\'ergesek, \'es ezt betessz\"uk egy
m\'asik l\'ad\'aba. Sz\'amoljuk ki el\H{o}sz\"or annak a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy abban az esetben, ha a
kiv\'alasztott alm\'ak mindegyike f\'erges, akkor az els\H{o} f\'ar\'ol
kiv\'alasztott fa alm\'ait pr\'ob\'altuk ki. Ezut\'an ennek a
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek az ismeret\'eben annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a m\'asik f\'ar\'ol v\'alasztott
alma f\'erges-e. A feladat c\'elja a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg fogalm\'anak meg\'ert\'ese. \bigskip
\item{1.)} Egy p\'enzdarabot feldobunk 100-szor egym\'as ut\'an.
Sz\'amoljuk ki a fej-dob\'asok sz\'a\-m\'a\-nak a v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a v\'arhat\'o \'ert\'eket
el\H{o}sz\"or a definici\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Majd tekints\"uk a
$j$-ik dob\'asb\'ol sz\'armaz\'o fejek sz\'am\'at, (mely egy vagy
nulla, att\'ol f\"ugg\H{o}en, hogy fej vagy \'{\i}r\'as-e a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye), \'es sz\'am\'{\i}tsuk ki a fenti v\'arhat\'o
\'ert\'eket, mint az egyes dob\'asokb\'ol sz\'armaz\'o fejek
sz\'a\-m\'a\-nak az \"osszeg\'et.
\medskip
Besz\'elj\"uk meg e feladat megold\'as\'at r\'eszletesebben.
El\H{o}sz\"or id\'ezz\"uk fel egy (diszkr\'et \'ert\'ek\H{u})
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek a
definici\'oj\'at.\medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek definici\'oja.} {\it Legyen $\xi$ egy olyan (diszkr\'et
\'ert\'ek\H{u}) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o,
mely $x_1,x_2,\dots$ val\'os \'ert\'ekeket vesz fel, \'es
$P(\xi=x_k)=p_k$, $k=1,2,\dots$. Ekkor a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'arhat\'o \'ert\'eke
$E\xi=\summ_{k=1}^\infty p_kx_k$ felt\'eve, hogy ez az \"osszeg
konvergens. Ha ez az \"osszeg nem konvergens, akkor a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak nem defini\'aljuk a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et. (A konvergencia ebben a definici\'oban
abszolut konvergenci\'at jelent.) }\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzet\'enek
a definici\'oja.} {\it Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'o sz\'or\'asn\'egyzete $\text{\rm
Var}\,\xi^2=E\[(\xi-E\xi)^2\]$, felt\'eve hogy ez a kifejez\'es
\'ertelmes. Be lehet l\'atni, hogy ez a kifejez\'es $\text{\rm
Var}\,\xi^2=E\[(\xi-E\xi)^2\] =E(\xi^2)-(E\xi)^2$.}
 \medskip
 
E definici\'o alapj\'an a k\"ovetkez\H{o}k\'eppen kell sz\'amolnunk.
Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy pontosan $k$ fejdob\'as
t\"ort\'enik 100 dob\'as eset\'eben $\dbinom{100}k2^{-100}$, $0\le
k\le100$. Ez\'ert a keresett v\'arhat\'o \'ert\'ek
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\dbinom{100}k2^{-100}$. Ezt az \"osszeget ki
tudjuk sz\'am\'{\i}tani a k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel: $k\dbinom nk=n \dbinom{n-1}{k-1}$, ha $1\le k\le
n$. Innen $n=100$ v\'alaszt\'assal
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\dbinom{100}k2^{-100}=100
\summ_{k=0}^{99}\dbinom{99}k2^{-100}=100\cdot
2^{-100}\cdot(1+1)^{99}=\dfrac12\cdot100=50$.
 
Ezt az eredm\'enyt egyszer\H{u}bben is meg lehet kapni, \'es ez az
egyszer\H{u}bb m\'odszer mely a heurisztikus elk\'epzel\'eseinket
ford\'{\i}tja le a matematika nyelv\'ere \'altal\'anosabban is
haszn\'alhat\'o. A k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyre van sz\"uks\'eg\"unk:
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et\/ {\rm tetsz\H{o}leges}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melyekre l\'eteznek az $E\xi$
\'es $E\eta$ v\'arhat\'o \'ert\'ekek, akkor $E(\xi+\eta)=E\xi+E\eta$,
$E(a\xi+b)=aE\xi+b$, tetsz\H{o}leges val\'os $a$ \'es $b$ sz\'amokra.}
\medskip\noindent
Tekints\"unk egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}t, mely term\'eszetes modellje a 100 dob\'asb\'ol \'all\'o
fej-\'{\i}r\'as sorozatoknak. Legyen egy elemi esem\'eny egy
lehets\'ages 100 hossz\'us\'ag\'u fej--\'{\i}r\'as sorozat,
$\oo=(F,\cdots,I\cdots)$, $P(\oo)=2^{-100}$, \'es defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H{o} $\xi_j(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j(\oo)=1$, ha az $\oo$ 100 hossz\'us\'ag\'u fej--\'{\i}r\'as
sorozat $j$-ik hely\'en fej van, \'es $\xi_j(\oo)=0$, ha az $\oo$
fej--\'{\i}r\'as sorozat $j$-ik jegye \'{\i}r\'as. Vegy\"uk \'eszre,
hogy a minket \'erdekl\H{o} mennnyis\'eg a 100 dob\'asb\'ol \'all\'o
fej-\'{\i}r\'as sorozatok sz\'ama
$\xi(\oo)=\summ_{j=1}^{100}\xi_j(\oo)$.
Ez\'ert az el\H{o}bb kimondott t\'etel alapj\'an
$$
E\xi(\oo)=E\(\summ_{j=1}^{100}\xi_j(\oo)\)=\summ_{j=1}^{100}E\xi_j(\oo).
$$
Viszont $E\xi_j(\oo)=\frac 12\cdot 1+\frac12\cdot 0=\frac12$, ez\'ert
$E\xi=100\cdot\frac 12=50$.
\item{2.)} Egy p\'enzdarabot feldobunk 100-szor egym\'as ut\'an.
Sz\'amoljuk ki a fej-dob\'asok sz\'am\'anak a sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
 
Ezt a feladatot is kisz\'amolhatjuk a sz\'or\'asn\'egyzet definici\'oja
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Eszerint, az el\H{o}z\H{o} feladat
jel\"ol\'eseit haszn\'alva
$\text{Var}\,\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=\summ_{j=0}^{100}j^2\dbinom{100}
j2^{-100}-2500$. M\'as\'eszt $j^2\dbinom nj=j(j-1)\dbinom nj+j\dbinom
nj=n(n-1) \dbinom {n-2}{j-2}+n\dbinom{n-1}{j-1}$, ahonnan $n=100$
v\'alaszt\'assal $\summ_{j=0}^{100}j^2\dbinom{100}j2^{-100}=
100\cdot99\summ_{j=0}^{98}j^2\dbinom{100}j2^{-100}+
100\summ_{j=0}^{99}j^2\dbinom{100}j2^{-100}=100\cdot99\cdot\frac 14+50
=2525$, \'es innen $\text{Var}\,\xi=25$.
 
Ezt a feladatot is meg lehet egyszer\H{u}bben oldani a k\"ovetkez\H{o}
eredm\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel: \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyenek $\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok. Ekkor
$$
\Var(\xi_1+\cdots+\xi_n)=\Var\xi_1+\cdots+\Var \xi_n,
$$
$$
\Var (a\xi+b)=a^2\Var\xi.
$$
minden val\'os $a$ \'es $b$ sz\'amra.} \medskip
 
Tekints\"uk egy 100 hossz\'us\'ag\'u dob\'assorozatnak az
el\H{o}z\H{o} feladatban elk\'esz\'{\i}tett mo\-dell\-j\'et. Ekkor azt
kapjuk, hogy
$$
\Var\xi(\oo)=\Var\(\summ_{j=1}^{100}\xi_j(\oo)\)=\summ_{j=1}^{100}
\Var\xi_j(\oo)=100\Var\xi_1(\oo)=100\cdot\frac14=25,
$$
mert
$\Var\xi_j(\oo)=E\xi_j^2(\oo)-\(E\xi_j(\oo)\)^2=\frac12-\frac14=\frac14$.
\item{3.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk
t\'{\i}zszer. Sz\'amoljuk ki a dob\'aseredm\'enyek \"ossze\-g\'e\-nek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\item{4.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk egym\'as ut\'an
10-szer. Mi a dob\'asok \"osszeg\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-te?
Ezeket a feladatokat az el\H{o}z\H{o} k\'et feladat (egyszer\H{u}bb)
megold\'as\'ahoz hasonl\'oan oldhatjuk meg. Tekints\"uk a feladat egy
term\'eszetes val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellj\'et. Legyenek az elemi
esem\'enyek a 10 hossz\'us\'ag\'u 1,2,3,4,5 vagy 6 sz\'amot
tartalmaz\'o sorozatok, minden elemi esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege legyen $\(\frac16\)^{10}$. Defini\'aljuk a
$\xi_j(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, ahol
$\xi_j(\oo)=k$, ha az $\oo$ sorozat $j$-ik jele $k$, azaz a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye $k$. Ekkor a $\xi_j(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, \'es minket a
$\xi(\oo)=\summ_{j=1}^{10}\xi_j(\oo)$ \"osszeg v\'arhat\'o \'ert\'eke
\'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zete \'erdekel
$$
\align
E\xi&=\sum_{j=1}^{10}E\xi_j=10\cdot E\xi_1=35\\
\Var\xi&=\sum_{j=1}^{10}\Var\xi_j=10\cdot
\Var\xi_1=10\(\frac{91}6-3.5^2\)=\frac{350}3,
\endalign
$$
mert $E\xi_j=\frac16(1+2+3+4+5+6)=3.5$,
$E\xi_j^2=\frac16(1+4+5+16+25+36)=\frac{91}6$.
\medskip {\it H\'azi feladat:}\medskip
\item{} Egy dob\'okock\'at feldobunk t\'{\i}zszer. Sz\'am\'{\i}tsuk
ki a p\'aratlan dob\'aseredm\'enyek \"osszeg\'enek a v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et. (A p\'aros dob\'aseredm\'enyeket nem vessz\"uk
fi\-gye\-lem\-be).
\item{5.} Egy urn\'aban 20 piros \'es 10 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk visszatev\'essel 10 goly\'ot. Mi a kih\'uzott piros goly\'ok
sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete?
\medskip
Ezt a feladat is hasonl\'oan t\'argyalhat\'o az el\H{o}z\H{o}ekhez. Egy
visszatev\'eses urnamodellt tekint\"unk, \'es abban defini\'aljuk a
$\xi_j$, $1\le j\le10$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
\'ugy, hogy $\xi_j(\oo)=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros,
$\xi_j(\oo)=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er. Ekkor a
$\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
$E\xi_j=\frac23$, $\Var \xi_j=\frac23-\frac49=\frac29$. Minket a
$\xi=\summ_{j=1}^{10}\xi_j$ v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
sz\'or\'asn\'egyzete \'erdekel. $E\xi=\frac{20}3$, $\Var\xi=\frac{20}9$.
 
\bye
