A március 21-i gyakorlat témája Rövid összefoglaló

1. Egy urnában 20 piros és 10 fehér golyó van. Kihúzunk visszatevés nélkül 10 golyót. Mi a kihúzott piros golyók számának a várható értéke és szórásnégyzete?

Ezt a feladat is hasonlóan tárgyalható mint az előző gyakorlaton tárgyalt feladatok. Egy visszatevéses urnamodellt tekintünk, és abban definiáljuk a ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 10, valószínűségi változókat úgy, hogy ξ_{j}(ω) jelöli a j-ik húzásban kihúzott piros golyók számát, azaz ξ_{j}(ω) = 1, ha a j-ik húzás eredménye piros, a ξ_{j}(ω) = 0, ha a j-ik

húzás eredménye fehér. Minket a ξ = ∑_{j=1}^{10} ξ_{j} várható értéke és szórásnégyzete érdekel.

A ξ_{j} valószínűségi változók nem függetlenek, és azt akarjuk megérteni, hogy ilyen esetben hogyan lehet kiszámolni a várható értéket és a szórásnégyzetet. Tudjuk, hogy

Eξ = E ( ∑_{j=1}^{10} ξ_{j}) = ∑_{j=1}^{10} Eξ_{j}, és Eξ_{j} = P (ξ_{j} = 1), ami annak a valószínűsége, hogy a j-

ik húzás eredménye piros. Megtárgyaltuk korábbi feladatokban, hogy ez a valószínűség nem függ a j indextől, ezért annak valószínűsége, hogy a j-ik (az első húzás eredménye)

piros \frac{2}{3} értéke és Eξ_{j} = \frac{2}{3}. Ezért Eξ = E ( ∑_{j=1}^{10} ξ_{j}) = ∑_{j=1}^{10} Eξ_{j} = \frac{20}{3}. A szórásnégyzet

kiszámítása érdekében idézzük fel, hogy

Var ξ = Var (∑_{j=1}^{10} ξ_{j}) = E (∑_{j=1}^{10} ξ_{j})^{2} − (E (∑_{j=1}^{10} ξ_{j}))^{2}

= E (∑_{j=1}^{10} ∑_{k=1}^{10} ξ_{j}ξ_{k}) − (E (∑_{j=1}^{10} ξ_{j}))^{2} .

Ezért

Var ξ = ∑_{j=1}^{10} ∑_{k=1}^{10} Eξ_{j}ξ_{k} − ∑_{j=1}^{10} ∑_{k=1}^{10} Eξ_{j}Eξ_{k}

= ∑_{j=1}^{10} (Eξ_{j}^{2} − (Eξ_{j})^{2}) + 2 ∑_{j=1}^{9} ∑_{k=j+1}^{10}(Eξ_{j}ξ_{k} − Eξ_{j}Eξ_{k}).

Adva két η és ζ valószínűségi változó, ezek kovarianciafüggvényét úgy definiáljuk mint Cov (η, ζ) = Eηζ − EηEζ. Ekkor az előző számolások alapján

Var ξ = ∑_{j=1}^{10} Var ξ_{j} + 2 ∑_{j=1}^{9} ∑_{k=j+1}^{10} Cov (ξ_{j}, ξ_{k}).

A szórásnégyzet kiszámítása érdekében tehát a Cov (ξ_{j}, ξ_{k} = Eξ_{j}ξ_{k} − Eξ_{j}Eξ_{k} kovarianciákat kell kiszámolni. Viszont Eξ_{j}ξ_{k} = P (ξ_{j}ξ_{k} = 1 annak a valószínűsége, hogy mind a j-ik mind a k-ik húzásban piros golyót húzunk. Láttuk korábban, hogy ennek a valószínűsége nem függ a j és k indextől, azaz ugyanannyi mint annak a valószínűsége, hogy az első és második húzásban piros golyót húzunk. Ezért Eξ_{j}, ξ_{k} = Eξ_{1}, ξ_{2} = \frac{2}{3} \frac{19}{29}.

Ezért Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) = Eξ_{j}ξ_{k} − Eξ_{j}Eξ_{k} = −\frac{2}{267}, Var ξ_{j} = \frac{2}{3} − \frac{4}{9} = \frac{2}{9}. Ezen mennyiségek ismeretében kiszámíthtó az összeg szórásnégyzete a következő általános képlet segítségével:

Var (∑_{j=1}^{n} ξ_{j}) = ∑_{j=1}^{n} Var ξ_{j} + 2 ∑_{1≤j<k≤n} Cov (ξ_{j}, ξ_{k}).

A fentiekből következik, hogy

Var ξ = \frac{20}{9} − \frac{180}{267} = \frac{1200}{801}

Házi feladat: Egy urnában 20 piros és 10 fehér golyó van. Kihúzunk egymás után 10 golyót úgy, hogy minden húzás után a kihúzott golyót visszadobjuk egy vele azonos színű golyóval együtt. Mi a kihúzott piros golyók számának a várható értéke és szórásnégyzete? (A megoldás során emlékezzünk arra, hogy megtárgyaltuk annak valószínűségét, hogy egy ilyen modellben mi a valószínűsége, hogy egy adott sorszámú húzásban kihúzott golyó piros színű illetve annak a valószínűségét, hogy két adott sorszámú húzásban piros golyót húzunk. Láttuk, hogy ezek a valószínűségek nem függnek a húzások sorszámától. Használjuk fel ezeket az eredményeket a megoldásban.)

Idézzük fel a következő fontos eredményt is:

Tétel. Legyen ξ_{1}, …, ξ_{k} független valószínűségi változók, melyeknek létezik várható értékük. Ekkor e valószínűségi változók szorzatának a várható értéke egyenlő a várhatő értékek szorzatával, azaz képletben kifejezve:

E(ξ_{1} ⋯ ξ_{k}) = Eξ_{1} ⋯ Eξ_{k}

2. Ha ξ és η független valószínűségi változók, akkor Cov (ξ, η) = 0.

3. Ha ξ_{1}, …, ξ_{n} független egyforma eloszlású valószínűségi változók D^{2} = Var ξ_{1} < ∞,

akkor Var (\frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} ξ_{k}) = \frac{D^{2}}{n}. Ezért a Chebishev egyenlőtlenség alapján minden

ε > 0 számra P (\frac{1}{n} | ∑_{k=1}^{n} ξ_{k}| > e) ≤ \frac{D^{2}}{nε^{2}} .

Var (\frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} ξ_{k}) = \frac{1}{n^{2}} Var (∑_{k=1}^{n} ξ_{k}) = \frac{1}{n^{2}} ∑_{k=1}^{n} Var ξ_{k} = \frac{1}{n^{2}} nVar ξ_{1} = \frac{D^{2}}{n}

4. Legyen ξ tetszőleges valószínűségi változó, Eξ^{2} < ∞, a > 0 tetszőleges valós szám. Mutassuk meg, hogy E(ξ − a)^{2} = Var ξ + (Eξ − a)^{2}. Ezért Var ξ = E(ξ − Eξ)^{2} =

inf_{−∞<a<∞} E(ξ − a)^{2}.

E(ξ − a)^{2} = E [(ξ − Eξ) + (Eξ − a)]^{2} = E(ξ − Eξ)^{2} + E(ξ − a)^{2}
+ 2E [(Eξ − a)(ξ − Eξ)] = Var ξ + (Eξ − a)^{2},

mert E [(Eξ − a)(ξ − Eξ)] = E(Eξ − a)E(ξ − Eξ) = 0.

5. Legyen ξ egy λ paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó λ, λ > 0,

paraméterrel, azaz legyen P (ξ = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ}, k = 0, 1, 2, . . .. Számítsuk ki e valószínűségi változó Eξ várható értékét és Var ξ szórásnégyzetét.

Eξ = ∑_{k=0}^{∞} kP (ξ = k) = ∑_{k=0}^{∞} k \frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ} = λe^{−λ} ∑_{k=0}^{∞} \frac{λ^{k}}{k!} = λe^{−λ}e^{λ} = λ.

Eξ^{2} = ∑_{k=0}^{∞} k^{2}P (ξ = k) = ∑_{k=0}^{∞} k^{2} \frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ} = ∑_{k=0}^{∞}[k(k − 1) + k]\frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ}

= λ^{2}e^{−λ} ∑_{k=0}^{∞} \frac{λ^{k}}{k!} + Eξ = λ^{2} + λ.

Innen Var ξ = Eξ^{2} − (Eξ)^{2} = λ + λ^{2} − λ^{2} = λ.

6. Legyen ξ és η két független Poisson eloszlású valószínűségi változó λ illetve μ paraméterrel. Bizonyítsuk be, hogy ξ + η Poisson eloszláasú valószínűségi változó λ + μ paraméterrel.

P (ξ + η = k) = ∑_{j=0}^{k} P (ξ = j, η = k − j) = ∑_{j=0}^{k} P (ξ = j)P (η = k − j)

= ∑_{j=0}^{k} \frac{λ^{j}}{j!} e^{−λ} \frac{μ^{k−j}}{(k − j)!}e^{−μ} = e^{−λ−μ} ∑_{j=0}^{k} \frac{λ^{j}}{j!} \frac{μ^{k−j}}{(k − j)!}

= \frac{e^{−λ−μ}}{k!} ∑_{j=0}^{k} \binom{k}{j}λ^{j}μ^{k−j} = \frac{e^{−λ−μ}}{k!} (λ + μ)^{k}.

Házi feladat Egy ξ valószínűségi változót (n, p) paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi

változónak nevezünk, n = 0, 1, 2, …, 0 < p < 1, ha P (ξ = k) = \binom{n}{k}p^{k}(1 − p)^{n−k},

k = 0, 1, …, n. Legyen ξ és η két független binomiális eloszlású valószínűségi változó (m, p) illetve (n, p) paraméterekkel. Ekkor ξ + η binomiális eloszlású valószínűségi változó (m + n, p) paraméterekkel.