\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A m\'arcius 21-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o}
\medskip
 
\item{1.} Egy urn\'aban 20 piros \'es 10 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk visszatev\'es n\'elk\"ul 10 goly\'ot. Mi a kih\'uzott piros
goly\'ok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
sz\'or\'asn\'egyzete? \medskip
 
Ezt a feladat is hasonl\'oan t\'argyalhat\'o mint az el\H{o}z\H{o}
gyakorlaton t\'argyalt feladatok. Egy visszatev\'eses urnamodellt
tekint\"unk, \'es abban defini\'aljuk a $\xi_j$, $1\le j\le10$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat \'ugy, hogy $\xi_j(\oo)$
jel\"oli a $j$-ik h\'uz\'asban kih\'uzott piros goly\'ok
sz\'am\'at, azaz $\xi_j(\oo)=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye
piros, a $\xi_j(\oo)=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er.
Minket a $\xi=\summ_{j=1}^{10}\xi_j$ v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
sz\'or\'asn\'egyzete \'erdekel. A $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok nem  f\"uggetlenek, \'es azt akarjuk meg\'erteni, hogy
ilyen esetben hogyan lehet kisz\'amolni a v\'arhat\'o \'ert\'eket \'es
a sz\'or\'asn\'egyzetet. Tudjuk, hogy
$E\xi=E\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j\)=\summ_{j=1}^{10}E\xi_j$, \'es
$E\xi_j=P(\xi_j=1)$, ami annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
$j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros. Megt\'argyaltuk kor\'abbi
feladatokban, hogy ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg nem f\"ugg a $j$
indext\H{o}l, ez\'ert annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
$j$-ik (az els\H{o} h\'uz\'as eredm\'enye) piros $\frac23$ \'ert\'eke
\'es $E\xi_j=\frac23$. Ez\'ert
$E\xi=E\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j\)=\summ_{j=1}^{10}E\xi_j=\frac{20}3$.
A sz\'or\'asn\'egyzet kisz\'am\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben id\'ezz\"uk
fel, hogy
$$
\align
\Var\xi&=\Var\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j\)=
E\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j\)^2
-\(E\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j\)\)^2\\
&=E\(\sum_{j=1}^{10}\sum_{k=1}^{10}\xi_j\xi_k\)
-\(E\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j\)\)^2.
\endalign
$$
Ez\'ert
$$
\align
\Var\xi&=\sum_{j=1}^{10}\sum_{k=1}^{10}E\xi_j\xi_k-
\sum_{j=1}^{10}\sum_{k=1}^{10}E\xi_jE\xi_k \\
&=\sum_{j=1}^{10}\(E\xi_j^2-(E\xi_j)^2\)
+2\sum_{j=1}^9\sum_{k=j+1}^{10}(E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k).
\endalign
$$
Adva k\'et $\eta$ \'es $\zeta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
ezek kovarianciaf\"uggv\'eny\'et \'ugy defini\'aljuk mint
$\Cov(\eta,\zeta)=E\eta\zeta-E\eta E\zeta$. Ekkor az el\H{o}z\H{o}
sz\'amol\'asok alapj\'an
$$
\Var\xi=\sum_{j=1}^{10} \Var\xi_j
+2\sum_{j=1}^9\sum_{k=j+1}^{10} \Cov(\xi_j,\xi_k).
$$
A sz\'or\'asn\'egyzet kisz\'am\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben teh\'at a
$\Cov(\xi_j,\xi_k=E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k$  kovarianci\'akat kell
kisz\'amolni. Viszont $E\xi_j\xi_k=P(\xi_j\xi_k=1$ annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mind a $j$-ik mind a $k$-ik
h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uzunk. L\'attuk kor\'abban, hogy ennek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege nem f\"ugg a $j$ \'es $k$ indext\H{o}l,
azaz ugyanannyi mint annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az
els\H{o} \'es m\'asodik h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uzunk. Ez\'ert
$E\xi_j,\xi_k=E\xi_1,\xi_2=\frac23\frac{19}{29}$.
 
Ez\'ert $\text{Cov}\,(\xi_j,\xi_k)=E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k
=-\frac2{267}$, $\Var \xi_j=\frac23-\frac49=\frac29$.
Ezen mennyis\'egek ismeret\'eben kisz\'am\'{\i}tht\'o az \"osszeg
sz\'or\'asn\'egyzete a
k\"ovetkez\H{o} \'altal\'anos k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel:
$$
\Var\(\summ_{j=1}^n\xi_j\)=\sum_{j=1}^n\Var\xi_j+2\sum_{1\le j<k\le n}
\text{Cov}\,(\xi_j,\xi_k).
$$
A fentiekb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$$
\Var \xi=\frac{20}9-\frac{180}{267}=\frac{1200}{801}
$$
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\item{} Egy urn\'aban 20 piros \'es 10 feh\'er goly\'o van. Kih\'uzunk
egym\'as ut\'an 10 goly\'ot \'ugy, hogy minden h\'uz\'as  ut\'an a
kih\'uzott goly\'ot visszadobjuk egy vele azonos sz\'{\i}n\H{u}
goly\'oval egy\"utt. Mi a kih\'uzott piros goly\'ok sz\'am\'anak a
v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete? (A megold\'as sor\'an
eml\'ekezz\"unk arra, hogy megt\'argyaltuk annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy egy ilyen modellben mi a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy adott sorsz\'am\'u
h\'uz\'asban kih\'uzott goly\'o piros sz\'{\i}n\H{u} illetve annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy k\'et adott sorsz\'am\'u
h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uzunk. L\'attuk, hogy ezek a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek nem f\"uggnek a h\'uz\'asok
sorsz\'am\'at\'ol. Haszn\'aljuk fel ezeket az ered\-m\'e\-nye\-ket
a megold\'asban.)
 
\medskip
Id\'ezz\"uk fel a k\"ovetkez\H{o} fontos eredm\'enyt is:
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyeknek l\'etezik
v\'arhat\'o \'ert\'ek\"uk. Ekkor e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok szorzat\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke egyenl\H{o} a
v\'arhat\H{o} \'ert\'ekek szorzat\'aval, azaz k\'epletben kifejezve:
$$
E(\xi_1\cdots\xi_k)=E\xi_1\cdots E\xi_k
$$
}\medskip
\item{2.} Ha $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, akkor $\Cov(\xi,\eta)=0$.
\item{3.} Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $D^2=\Var\xi_1<\infty$, akkor
$\Var\(\dfrac1n\summ_{k=1}^n\xi_k\)=\dfrac{D^2}n$. Ez\'ert a Chebishev
egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an minden $\e>0$ sz\'amra
$P\(\dfrac1n\left|\summ_{k=1}^n\xi_k\right|>e\)\le\dfrac{D^2}{n\e^2}$.
$$
\Var\(\dfrac1n\summ_{k=1}^n\xi_k\)=\dfrac 1{n^2}\Var
\(\summ_{k=1}^n\xi_k\)=
\dfrac1{n^2}\summ_{k=1}^n\Var\xi_k=\dfrac1{n^2}n\Var\xi_1=\dfrac{D^2}n
$$
\item{4.} Legyen $\xi$
tetsz\H{o}leges val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, $E\xi^2<\infty$, $a>0$ tetsz\H{o}leges val\'os sz\'am.
Mutassuk meg, hogy $E(\xi-a)^2=\Var\xi+(E\xi-a)^2$. Ez\'ert
$\Var\xi=E(\xi-E\xi)^2=\inff_{-\infty<a<\infty}E(\xi-a)^2$.
$$
\align
E(\xi-a)^2&=E\[(\xi-E\xi)+(E\xi-a)\]^2=E(\xi-E\xi)^2+E(\xi-a)^2\\
& \qquad +2E\[(E\xi-a)(\xi-E\xi)\]=\Var\xi+(E\xi-a)^2,
\endalign
$$
mert $E\[(E\xi-a)(\xi-E\xi)\]=E(E\xi-a)E(\xi-E\xi)=0$.
\medskip
\item{5.} Legyen $\xi$ egy $\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda$,
$\lambda>0$, param\'eterrel, azaz legyen
$P(\xi=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$, $k=0,1,2,\dots$.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $E\xi$
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es $\Var\xi$ sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
$$
E\xi=\sum_{k=0}^\infty kP(\xi=k)=\sum_{k=0}^\infty k
\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=\lambda e^{-\lambda}
\sum_{k=0}^\infty \dfrac{\lambda^k}{k!}=\lambda e^{-\lambda}e^\lambda
=\lambda.
$$
$$
\align
E\xi^2&=\sum_{k=0}^\infty k^2P(\xi=k)
=\sum_{k=0}^\infty k^2
\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
=\sum_{k=0}^\infty [k(k-1)+k]
\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\\
&=\lambda^2 e^{-\lambda}
\sum_{k=0}^\infty \dfrac{\lambda^k}{k!}+E\xi=\lambda^2+\lambda.
\endalign
$$
Innen $\Var \xi=E\xi^2-(E\xi)^2=\lambda+\lambda^2-\lambda^2=\lambda$.
\medskip
\item{6.} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda$ illetve
$\mu$ param\'eterrel. Bizony\'{\i}tsuk be, hogy $\xi+\eta$ Poisson
eloszl\'aas\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\lambda+\mu$ param\'eterrel.
$$
\align
P(\xi+\eta=k)&=\sum_{j=0}^k P(\xi=j,\eta=k-j)
=\sum_{j=0}^k P(\xi=j)P(\eta=k-j)\\
&=\sum_{j=0}^k
\frac{\lambda^j}{j!}e^{-\lambda}
\frac{\mu^{k-j}}{(k-j)!}e^{-\mu}
=e^{-\lambda-\mu}\sum_{j=0}^k\frac{\lambda^j}{j!}
\frac{\mu^{k-j}}{(k-j)!}\\
&=\frac{e^{-\lambda-\mu}}{k!}\sum_{j=0}^k {k \choose j}\lambda^j
\mu^{k-j}=\frac{e^{-\lambda-\mu}}{k!}(\lambda+\mu)^k.
\endalign
$$
\medskip
H\'azi feladat
\item{} Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot $(n,p)$
param\'eter\H{u} binomi\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak nevez\"unk, $n=0,1,2,\dots$, $0<p<1$, ha
$P(\xi=k)=\dbinom nk p^k(1-p)^{n-k}$, $k=0,1,\dots,n$. Legyen $\xi$
\'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen binomi\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $(m,p)$ illetve $(n,p)$
param\'eterekkel. Ekkor $\xi+\eta$ binomi\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o $(m+n,p)$
param\'eterekkel.
 
\bye
 
