\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A m\'arcius 28-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o}
\medskip
Annak \'erdek\'eben, hogy a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
val\'o sz\'amol\'ast jobban meg\-\'ert\-s\"uk tekints\"unk n\'eh\'any
(r\'eszben h\'azi feladatk\'ent) kit\H{u}z\"ott feladatot.
\medskip \item{1.} K\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} f\'ar\'ol leszednek 10
alm\'at, \'es beteszik k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o}
(meg\-k\"u\-l\"on\-b\"oz\-tet\-he\-tet\-len dobozba.) Ez egyik f\'ar\'ol
szedett alm\'ak $\dfrac14$ a m\'asik f\'ar\'ol szedett alm\'ak pedig
$\dfrac1{10}$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel f\'ergesek.
Kivesz\"unk az egyik dobozb\'ol k\'et alm\'at \'es mind a kett\H{o}
f\'erges. Ezek ut\'an kivesz\"unk a m\'asik dobozb\'ol egy alm\'at. Mi
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ez az alma m\'ar nem f\'erges?
\medskip
Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt, hogy az els\H{o} almaf\'ar\'ol
leszedett alm\'akat tartalmaz\'o l\'ad\'at \'es $A_2$ azt az
esem\'enyt, hogy az m\'asodik almaf\'ar\'ol leszedett alm\'akat
tartalmaz\'o l\'ad\'at v\'alasztottuk az els\H{o} kis\'erletre.
Jel\"olje $B$ azt az esem\'enyt, hogy e l\'ad\'ab\'ol kiv\'alasztott
k\'et alma f\'erges. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a
$P(A_1|B)$ \'es $P(A_2|B)$ felt\'eteles
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge\-ket.
 
Mivel $P(A_1|B)=\dfrac{P(A_1\cap B)}{P(B)}$, $P(B)=P(A_1\cap
B)+P(A_2\cap B)$, $P(A_1\cap B)=\dfrac12\cdot\dfrac1{16}$,
$P(A_2\cap B)=\dfrac12\cdot\dfrac1{100}$, ez\'ert
$P(A_1|B)=\dfrac{\frac12\cdot\frac1{16}}
{\frac12\cdot\frac1{16}+\frac12\cdot\frac1{100}}$.
Hasonl\'oan, $P(A_2|B)=\dfrac{\frac12\cdot\frac1{100}}
{\frac12\cdot\frac1{16}+\frac12\cdot\frac1{100}}$. Jel\"olje $C$ azt
az esem\'enyt, hogy a m\'asik l\'ad\'ab\'ol veletlen\"ul kiv\'alasztott
alma nem f\'erges. Ekkor minket a $P(C|B)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel.
 
Viszont $P(C|A_1\cap B)=P(C|A_1)=\dfrac9{10}$,
$P(C|A_2\cap B)=P(C|A_2)=\dfrac34$,  $P(C|B)=
P(C\cap A_1|B)+P(C\cap A_2|B)=P(C|A_1\cap B)P(A_1|B)+ P(C|A_2\cap
B)P(A_2|B)$. Ez\'ert $P(B|C)=\dfrac9{10}\cdot
\dfrac{\frac12\cdot\frac1{16}}
{\frac12\cdot\frac1{16}+\frac12\cdot\frac1{100}}+\dfrac3{4}
\cdot\dfrac{\frac12\cdot\frac1{100}}
{\frac12\cdot\frac1{16}+\frac12\cdot\frac1{100}}$.
\medskip
\item{2.} Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy
(szab\'alyos) dob\'okocka mindk\'et dob\'as\'anak az eredm\'enye hatos
felt\'eve, hogy legal\'abb az egyik hatos?
\medskip
Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt, hogy az els\H{o} dob\'as
eredm\'enye hatos, $A_2$ azt az esem\'enyt, hogy a m\'asodik dob\'as
eredm\'enye hatos. Akkor minket a $P(A_1\cap A_2|A_1\cup A_2)$
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Viszont
$P(A_1\cap A_2|A_1\cup A_2)=\dfrac{P((A_1\cap A_2)\cap(A_1\cup A_2))}
{P(A_1\cup A_2)}=\dfrac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1\cup A_2)}$. M\'asr\'eszt
$P(A_1\cap A_2)=\dfrac1{36}$, $P(A_1\cup A_2)=1-P(\bar A_1\cap \bar
A_2)=1-\dfrac{25}{36}=\dfrac{11}{36}$. Innen a keresett felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\dfrac1{11}$.
\medskip
\item{3.} Egy di\'ak a feltett k\'erd\'esre (h\'arom lehet\H{o}s\'eg
k\"oz\"ul kell kiv\'alasztani a megfelel\H{o}t) $p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel tudja a helyes v\'alaszt. Ha nem tudja,
akkor tippel, \'es ez $\dfrac13$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel ad helyes
eredm\'enyt. Mi a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
tudja a v\'alaszt felt\'eve, hogy helyes v\'alaszt adott?
\medskip
Jel\"olje $A$ azt az esem\'enyt, hogy tudja a helyes v\'alaszt, $B$
azt az esem\'enyt, hogy helyes v\'alaszt ad. A $P(A|B)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'ek\'ere vagyunk kiv\'ancsiak. Ekkor
$P(A)=P(A\cap B)=p$, $P(B)=P(A\cap B)+P(\bar A\cap B)=P(A)+\dfrac13
P(\bar A)=p+\dfrac13)1-p)$. Innen $P(A|B)=\dfrac p{p+\frac13(1-p)}$.
\medskip
\item{4.} Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa
$(n,p)$ param\'eter\H{u} negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as, ha
pozit\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesz fel, \'es
$P(\xi=k)=\dbinom{k-1}{n-1}p^{k-n}(1-p)^{n}$. Tekints\"unk egy
p\'enzdarabot, mely $p$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej
oldalra \'es $1-p$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldalra.
Dobjuk fel egym\'as ut\'an v\'egtelen sokszor, \'es tekints\"uk azt a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, mely azt adja meg, hogy
h\'anyadik dob\'asra jelent meg az $n$-ik \'{\i}r\'as. L\'assuk be,
hogy $\xi$ eloszl\'asa negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as $(n,p)$
param\'eterrel.
\item{5.} L\'assuk be az el\H{o}z\H{o} feladat seg\'{\i}ts\'eg\'evel,
hogy ha $\xi_1,\xi_n$ f\"uggetlen $(1,p)$ param\'eter\H{u} negat\'{\i}v
binomimi\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
akkor $\xi=\xi_1+\cdots+\xi_n$ $(n,p)$ param\'eter\H{u} negat\'{\i}v
binomi\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
L\'assuk be form\'alis sz\'amol\'assal is, hogy ha $xi$ \'es $\eta$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $\xi$ $(n-1,p)$,
$\eta$ $(1,p)$ param\'eter\'u negat\'{\i}v binomi\'alis
eloszl\'assal, akkor $\xi+\eta$ negat\'{\i}v binomi\'alis
eloszl\'as\'u $(n,p$ param\'eterrel.
$$
\align
P(\xi+\eta=k)&=\sum_{j=n-1}^{k-1}P(\xi=j, \eta=k-j)=
\sum_{j=n-1}^{k-1}P(\xi=j)P(\eta=k-j) \\
&=\sum_{j=n-1}^{k-1}
\dbinom{j-1}{n-2}p^{j-n+1}(1-p)^{n-1}p^{k-j-1}(1-p)\\
&=p^{n-k}(1-p)^n \sum_{j=n-1}^{k-1}\dbinom{j-1}{n-2}\\
&=p^{n-k}(1-p)^n \sum_{j=n-2}^{k-2}\dbinom{j}{n-2}
=p^{n-k}(1-p)^n \dbinom{k-1}{n-1}.
\endalign
$$
\item{6.} Sz\'amoljuk ki egy $(1,p)$ majd egy $(n,p)$ param\'eter\H{u}
negativ binomi\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\medskip Ha $\xi$ $(1,p)$ param\'eter\H{u} negativ binomi\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor
$$
E\xi=\sum_{k=1}^\infty k(1-p) p^{k-1} \qquad
E\xi^2=\sum_{k=1}^\infty k^2(1-p) p^{k-1}
$$
Ezen \"osszegek egyik lehets\'eges kisz\'amol\'asa:
$\summ_{k=0}^\infty x^k=\dfrac 1{1-x}$, ha $|x|<1$. K\'et egym\'as
ut\'ani deriv\'al\'assal kapjuk, hogy $\summ_{k=1}^\infty
kx^{k-1}=\dfrac 1{(1-x)^2}$ \'es $\summ_{k=2}^\infty
k(k-1)x^{k-2}=\dfrac 2{(1-x)^3}$. Innen $\summ_{k=1}^\infty
kp^{k-1}=\dfrac 1{(1-p)^2}$, $\summ_{k=1}^\infty k^2 p^{k-1}=
\summ_{k=1}^\infty k p^{k-1}+p\summ_{k=2}^\infty k(k-1) p^{k-2}=
\dfrac 1{(1-p)^2}+\dfrac {2p}{(1-p)^3}$, \'es $E\xi=\dfrac 1{1-p}$,
$E\xi^2=\dfrac 1{1-p}+\dfrac {2p}{(1-p)^2}$. Ez\'ert
$\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=\dfrac p{(1-p)^2}$. Ha $\xi$ $(n,p)$
param\'eter\H{u} negativ binomi\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor eloszl\'asa
megegyezik $n$ f\"uggetlen $(1,p)$ param\'eter\H{u} negativ
binomi\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
\"osszeg\'evel, ez\'ert az \"osszeg v\'arhat\'o \'ert\'ek\'er\H{o}l
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'er\H{o}l tanultak alap\-j\'an $E\xi=\dfrac
n{1-p}$, $\Var\xi=\dfrac {np}{(1-p)^2}$.
\medskip
\item{7.} Legyen $\xi$ $(1,p)$ param\'eter\H{u} negativ binomi\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. L\'as\-suk be,
hogy tetsz\H{o}leges $m$ eg\'esz sz\'amra $P(\xi>m+k|\xi>m)=P(\xi>k)$.
Mi ennek az azonoss\'agnak a szeml\'eletes tartalma? Legyen $\alpha$ a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melyre
$P(\alpha=1)=1-P(\alpha=0)$ a $\xi$ \'es
$(1-\alpha)+\alpha(\xi+1)=1+\alpha\xi$ eloszl\'asa megegyezik.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek seg\'{\i}ts\'eg\'evel $\xi$ v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{8.} V\'egezz\"unk el egy kis\'erletet egym\'as ut\'an v\'egtelen
sokszor. Minden esetben legyen a kis\'erlet $p$, $0<p<1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel sikeres, \'es legyenek a kis\'erletek
egym\'ast\'ol f\"uggetlenek. Mutassuk meg a Borel--Cantelli lemma
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy annak va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge,
hogy csak v\'eges sok sikeres kis\'erlet k\"ovetkezik be z\'er\'o.
 
\item{9.} Egy egys\'egn\'egyzet k\'et \'atellenes oldal\'ara
v\'eletlenszer\"u\H{u}en (egyenletes eloszl\'assal, egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul) ledobunk k\'et pontot. L\'assuk be, hogy annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a k\'et pont t\'avols\'aga
egym\'ast\'ol kisebb mint $x$ $1-\(\sqrt{x^2-1}-1\)^2$, ha $1\le x\le
\sqrt2$.
 
 
\bye
 
 
 
\item{4.} Egy orvosi vizsg\'alaton egy beteg betegs\'eg\'et 0.9
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel \'allap\'{\i}tj\'ak meg, egy eg\'eszs\'eges embert 0.1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nyilv\'an\'{\i}tanak betegnek. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy
eg\'eszs\'egesnek nyilv\'an\'{\i}tott ember val\'oban eg\'eszs\'eges.
\item{}
