A március 7-i gyakorlat témája Rövid összefoglaló

Először a következő feladatot tárgyaljuk:

1. Egy estélyen megjelenik 100 házaspár. Egy táncmester, aki nem tudja, hogy kik házastársak és kik nem véletlen módon párba rendezi a férfiakat és nőket a tánc előtt. Mi a valószínűsége annak, hogy egyetlen házaspár sem táncol együtt? Mi ez a valószínűség n házaspár esetén, és mi ennek a valószínűségnek a határértéke, ha n → ∞. Ennek a feladatnak célja megmutatni, hogy az események halmazokkal való repre-

zentálása, az eseményalgebrával való számolás, illetve bizonyos alapvető valószínűségi (valójában leszámolással kapcsolatos kombinatorikai) azonosságok segítséget jelentenek bizonyos feladatok megoldásában.

Tekintsünk egy valószínűségi mezőt, melyben ez a feladat megfogalmazható. Számozzuk meg a résztvevő házaspárokat 1 és 100 közötti számokkal. Legyen {l_{1}, …, l_{100}} az az elemi esmény, mely azt jelöli, hogy az első férj a l_{1}-ik a második férj az l_{2}-ik a századik férj az l_{100}-ik feleséggel táncol.

Defini’aljuk a következő A_{j} eseményeket:

A_{j} = a j-ik házaspár egütt táncol. 1 ≤ j ≤ 100.

Azaz az A_{j} esemény azon (l_{1}, …, l_{100}) soroztokból áll, melyekre l_{j} = j. Ekkor minket a P (\overline{A_{1} ∩ ⋯ ∩ A_{100}}) = 1 − P (A_{1} ∪ ⋯ ∪ A_{100}) valószínűség érdekel.

2.) Mutassuk meg, hogy n házaspár esetében P (A_{j_{1}} ∩ ⋯ ∩ A_{j_{k}}) = \frac{(n − k)!}{n!}.

Azzal a kérdéssel foglalkozunk, hogyan lehet kiszámoni a P (A_{1} ∪ ⋯ ∪ A_{n}) valószínűséget, ha ismerjük a P (A_{j_{1}} ∩ ⋯ ∩ A_{j_{k}}) valószínűségeket. A bizonyítandó állítást hívják szita formulának. Lássuk be először ennek a következő speciális esetét: 3.) P (A_{1} ∪ A_{2}) = P (A_{1}) + P (A_{2}) − P (A_{1} ∩ A_{2}). 4.) Lássuk be az úgynevezett szita formulát, azaz azt, hogy

P (A_{1} ∪ ⋯ ∪ A_{n}) = S_{1} − S_{2} + S_{3} − ⋯ + (−1)^{n+1}S_{n},

ahol

S_{k} = ∑_{1≤j_{1}<···<j_{k}≤n} P (A_{j_{1}} ∩ ⋯ ∩ A_{j_{k}}), 1 ≤ k ≤ n.

(Alkalmazhatunk például teljes indukciót a bizonyításban.) Némileg finomabb érveléssel belátható, a következő állítás is, amelyik

Nem kötelező házi feladat:

Legyenek A_{1}, …, A_{n} események valamely (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, S_{k} =

∑_{1≤j_{1}<···<j_{k}≤n} P (A_{j_{1}} ∩ ⋯ ∩ A_{j_{k}}), 1 ≤ k ≤ n. Ekkor

S_{1} − S_{2} + ⋯ (−1)^{2k}S_{2k−1} ≥ P (A_{1} ∪ ⋯ ∪ A_{n}) ≥ S_{1} − S_{2} + ⋯ (−1)^{2k+1}S_{2k},

ha 2 ≤ 2k ≤ n.

A szita-formula segítségével kapjuk, hogy n házaspár esetében

S_{k} = \binom{n}{k}\frac{(n − k)!}{n!} = \frac{1}{k!}.

Innen adódik, hogy az első feladatban kérdezett valószínűség általános n számra

P (\overline{A_{1} ∪ ⋯ ∪ A_{n}}) = 1 − P (A_{1} ∪ ⋯ ∪ A_{n})

= 1 − S_{1} + S_{2} + ⋯ + (−1)^{n}S_{n} = ∑_{k=0}^{n} \frac{(−1)^{k}}{k!} .

Innen következik, hogy

P (\overline{A_{1} ∪ ⋯ ∪ A_{n}}) = ∑_{k=0}^{n} \frac{(−1)^{k}}{k!} → ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{k!} = \frac{1}{e} ha n → ∞.

Események függetlenségének definiciója: Az A_{1}, …, A_{n} események akkor (teljesen) függetlenek, ha az {1, …, n} indexhalmaz minden {j_{1}, …, j_{k}} ⊂ {1, …, n} részhalmazára

P (A_{j_{1}} ∩ ⋯ ∩ A_{j_{k}}) = P (A_{j_{1}}) ⋯ P (A_{j_{k}}).

Események végtelen A_{1}, A_{2}, … sorozata akkor és csak akkor független, ha tetszőleges pozitív n egész számra az A_{1}, …, A_{n} események függetlenek.

5. Lássunk példát arra, hogy például k = 3 esetében egy A, B és C halmaz esetében a P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B)P (C) feltétel teljesülése nem elegendő az A, B és C események függetlenségéhez. Legyen Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 4},

C = \{2, 3, 4\}, P (\{1\}) = P (\{2\}) = P (\{3\}) = P (\{4\}) = \frac{1}{3\sqrt{3}}, P (\{5\}) = 1 − \frac{4}{3\sqrt{3}}.

Ekkor ABC = \{2\}, P (A ∩ B ∩ C) = \frac{1}{3\sqrt{3}}, P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{\sqrt{3}}, P (A ∩

B) = P (\{2, 3\}) = \frac{2}{3\sqrt{3}}. Ezért P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B)P (C), de P (A ∩ B) ≠

P (A)P (B).

6. Ha A_{1}, A_{2}, …, A_{k} független események, akkor Ā_{1}, A_{2}, …, A_{k} szintén függelten események. Kissé általánosabban: Ha A^{−1} = Ā jelöli az A esemény komplementerét, A^{1} = A, ε_{j} = ±1, 1 ≤ j ≤ k, A_{1}, …, A_{k}, független valószínűségi változók, akkor az A^{ε_{1}}, …, A^{ε_{k}} valószíműségi változók tetszőleges ε_{1}, …, ε_{k} ±1 sorozatra.

7. Ha A_{1}, A_{2}, A_{3}, …, A_{k} független események, akkor az A_{1}∩A_{2}, A_{3}, …, A_{k} események függetlenek. Továbbá ebben az esetben az A_{1} ∪ A_{2}, A_{3}, …, A_{k} események is függetlenek.

8. Egy szabályos dobókockát feldobunk kétszer. Az A esemény jelölje azt, hogy a két dobás eredményének az összege 9, a B esemény azt, hogy az első dobás eredménye 1, 2 vagy 3, a C esemény pedig azt, hogy az első dobás eredménye 2, 3 vagy 4. Milyen függetlenségi relációk érvényesek ezen események között? Megoldás: Az A esemény azt jelenti, hogy a (3,6), (4,5) (5,4), (6,3) dobássorozatok

valamelyike következik be. Ennek valószínűsége \frac{4}{36} = \frac{1}{9}. A B és C események

valószínűsége P (B) = P (C) = \frac{1}{2}. Az A ∩ B esemény azt jelenti, hogy a (3,6)

dobássorozat következik be. Ennek valószínűsége P (A ∩ B) = \frac{1}{36}. Az A ∩ C azt jelenti, hogy a (3,6) (4,5) események valamelyike következik be. Ennek valószínűsége

P (A ∩ C) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}. Ezért P (A ∩ C) = P (A)P (B), de P (A ∩ B) ≠ P (A)P (c). Ez azt jelenti, hogy az A és C események függetlenek, de az A és B események nem függetlenek. Hasonlóan a B ∩ C esemény azt jelenti, hogy az első dobás eredménye

2 vagy 3, ezért P (B ∩ C) = \frac{1}{3} ≠ P (B)P (C). Tehát a B és C események sem függetlenek.