\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A m\'arcius 7-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o}
\bigskip
El\H{o}sz\"or a k\"ovetkez\H{o} feladatot t\'argyaljuk:
\medskip
\item{1.} Egy est\'elyen megjelenik 100 h\'azasp\'ar. Egy
t\'ancmester, aki nem tudja, hogy kik h\'azast\'arsak \'es kik nem
v\'eletlen m\'odon p\'arba rendezi a f\'erfiakat \'es n\H{o}ket
a t\'anc el\H{o}tt. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
egyetlen h\'azasp\'ar sem t\'ancol egy\"utt? Mi ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $n$ h\'azasp\'ar eset\'en, \'es mi ennek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek a hat\'ar\'ert\'eke, ha $n\to\infty$.
 
Ennek a feladatnak c\'elja megmutatni, hogy az esem\'enyek halmazokkal
val\'o rep\-re\-zen\-t\'a\-l\'a\-sa, az esem\'enyalgebr\'aval val\'o
sz\'amol\'as, illetve bizonyos alapvet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
(val\'oj\'aban lesz\'amol\'assal kapcsolatos kombinatorikai)
azonoss\'agok seg\'{\i}ts\'eget jelentenek bizonyos feladatok
megold\'as\'aban.
 
Tekints\"unk egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t,
melyben ez a feladat megfogalmazhat\'o. Sz\'a\-moz\-zuk meg a
r\'esztvev\H{o} h\'azasp\'arokat 1 \'es 100 k\"oz\"otti sz\'amokkal.
Legyen $\{l_1,\dots,l_{100}\}$ az az elemi esm\'eny, mely azt jel\"oli,
hogy az els\H{o} f\'erj a $l_1$-ik a m\'asodik f\'erj az $l_2$-ik a
sz\'azadik f\'erj az $l_{100}$-ik feles\'eggel t\'ancol.
 
Defini'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $A_j$ esem\'enyeket:
$$
A_j=\text{a $j$-ik h\'azasp\'ar eg\"utt t\'ancol.}\quad 1\le j\le 100.
$$
Azaz az $A_j$ esem\'eny azon $(l_1,\dots,l_{100})$ soroztokb\'ol \'all,
melyekre $l_j=j$. Ekkor minket a $P(\overline{A_1\cap\dots\cap
A_{100}})=1-P(A_1\cup\dots\cup A_{100})$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
\'erdekel.
\item{2.)} Mutassuk meg, hogy $n$ h\'azasp\'ar eset\'eben
$P(A_{j_1}\cap\cdots\cap A_{j_k})=\dfrac{(n-k)!}{n!}$.
\medskip
Azzal a k\'erd\'essel foglalkozunk, hogyan lehet kisz\'amoni a
$P(A_1\cup\dots\cup A_{n})$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-get,
ha ismerj\"uk a $P(A_{j_1}\cap\cdots\cap A_{j_k})$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge\-ket. A bizony\'{\i}tand\'o
\'all\'{\i}t\'ast h\'{\i}vj\'ak szita formul\'anak. L\'assuk be
el\H{o}sz\"or ennek a k\"ovetkez\H{o} speci\'alis eset\'et:
\item{3.)} $P(A_1\cup A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1\cap A_2)$.
\item{4.)} L\'assuk be az \'ugynevezett szita formul\'at, azaz azt,
hogy
$$
P(A_1\cup \cdots\cup A_n)=S_1-S_2+S_3-\cdots +(-1)^{n+1}S_n,
$$
ahol
$$
S_k=\sum_{1\le j_1<\cdots<j_k\le n} P(A_{j_1}\cap\cdots\cap A_{j_k}),
\quad 1\le k\le n.
$$
(Alkalmazhatunk p\'eld\'aul teljes indukci\'ot a bizony\'{\i}t\'asban.)
 
N\'emileg finomabb \'ervel\'essel bel\'athat\'o,
 a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'as is, amelyik
 \medskip
{\it Nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat:}
\item{} Legyenek $A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek valamely $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
$S_k=\summ_{1\le j_1<\cdots<j_k\le n} P(A_{j_1}\cap\cdots\cap
A_{j_k})$, \ $1\le k\le n$. Ekkor
$$
S_1-S_2+\cdots (-1)^{2k}S_{2k-1}\ge P(A_1\cup\cdots\cup A_n)\ge
S_1-S_2+\cdots (-1)^{2k+1}S_{2k},
$$
ha $2\le2k\le n$.
\medskip
A szita-formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel kapjuk, hogy $n$ h\'azasp\'ar
eset\'eben
$$
S_k=\dbinom nk\dfrac{(n-k)!}{n!}=\dfrac1{k!}.
$$
Innen ad\'odik, hogy az els\H{o}  feladatban k\'erdezett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'altal\'anos $n$ sz\'amra
$$
\align
P(\overline{A_1\cup\dots\cup A_{n}})&=1-P(A_1\cup \dots\cup A_{n}) \\
&=1-S_1+S_2+\cdots+(-1)^n S_n
=\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k!}.
\endalign
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy
$$
P(\overline{A_1\cup\dots\cup A_{n}})=\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k!}
\to\sum_{k=0}^\infty\dfrac{(-1)^k}{k!}
=\frac1e\quad \text{ ha } n\to\infty.
$$
\medskip\noindent
{\bf Esem\'enyek f\"uggetlens\'eg\'enek definici\'oja:} {\it Az
$A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek akkor (teljesen)
f\"uggetlenek, ha az $\{1,\dots,n\}$ indexhalmaz minden
$\{j_1,\dots,j_k\}\subset \{1,\dots,n\}$ r\'esz\-hal\-ma\-z\'a\-ra
$$
P(A_{j_1}\cap\cdots\cap A_{j_k})=P(A_{j_1})\cdots P(A_{j_k}).
$$
Esem\'enyek v\'egtelen $A_1,A_2,\dots$ sorozata akkor \'es csak akkor
f\"uggetlen, ha tetsz\H{o}leges pozit\'{\i}v $n$ eg\'esz sz\'amra az
$A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek f\"uggetlenek.}
\medskip
\item{5.} L\'assunk p\'eld\'at arra, hogy p\'eld\'aul $k=3$
eset\'eben egy $A$, $B$ \'es $C$ halmaz eset\'eben a
$P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)$ felt\'etel teljes\"ul\'ese nem
elegend\H{o} az $A$, $B$ \'es $C$ esem\'enyek f\"uggetlens\'eg\'ehez.
Legyen $\Omega=\{1,2,3,4,5\}$, $A=\{1,2,3\}$, $B=\{1,2,4\}$,
$C=\{2,3,4\}$, $P(\{1\})=P(\{2\})= P(\{3\})=P(\{4\})=\dfrac1{3\sqrt
3}$, $P(\{5\})=1-\dfrac4{3\sqrt3}$. Ekkor $ABC=\{2\}$,
$P(A\cap B\cap C)=\dfrac1{3\sqrt3}$, $P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac1{\sqrt 3}$,
$P(A\cap B)=P(\{2,3\})=\dfrac2{3\sqrt3}$. Ez\'ert
$P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)$, de $P(A\cap B)\neq P(A)P(B)$.
\item{6.} Ha $A_1,A_2,\dots,A_k$ f\"uggetlen esem\'enyek, akkor $\bar
A_1,A_2,\dots,A_k$ szint\'en f\"uggelten esem\'enyek. Kiss\'e
\'altal\'anosabban: Ha $A^{-1}=\bar A$ jel\"oli az $A$ esem\'eny
komplementer\'et, $A^1=A$, $\e_j=\pm1$, $1\le j\le k$, $A_1,\dots,A_k$,
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, akkor az
$A^{\e_1},\dots,A^{\e_k}$ val\'osz\'{\i}m\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
tetsz\H{o}leges $\e_1,\dots,\e_k$ $\pm1$ sorozatra.
\item{7.} Ha $A_1,A_2,A_3,\dots,A_k$ f\"uggetlen esem\'enyek, akkor az
$A_1\cap A_2,A_3,\dots,A_k$ esem\'enyek f\"uggetlenek.  Tov\'abb\'a
ebben az esetben az $A_1\cup A_2,A_3,\dots,A_k$ esem\'enyek is
f\"ug\-get\-le\-nek.
\item{8.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk k\'etszer. Az $A$
esem\'eny jel\"olje azt, hogy a k\'et dob\'as eredm\'eny\'enek az
\"osszege 9, a $B$ esem\'eny azt, hogy az els\H{o} dob\'as eredm\'enye
1, 2 vagy 3, a $C$ esem\'eny pedig azt, hogy az els\H{o} dob\'as
eredm\'enye 2, 3 vagy 4. Milyen f\"uggetlens\'egi rel\'aci\'ok
\'erv\'enyesek ezen esem\'enyek k\"oz\"ott?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az $A$ esem\'eny azt jelenti, hogy a (3,6),
(4,5) (5,4), (6,3) dob\'assorozatok valamelyike k\"ovetkezik be. Ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\dfrac4{36}=\dfrac19$. A $B$ \'es $C$
esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $P(B)=P(C)=\dfrac12$. Az $A\cap
B$ esem\'eny azt jelenti, hogy a (3,6) dob\'assorozat k\"ovetkezik be.
Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $P(A\cap B)=\dfrac1{36}$. Az $A\cap C$
azt jelenti, hogy a (3,6) (4,5) esem\'enyek valamelyike k\"ovetkezik
be. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $P(A\cap C)=\dfrac2{36}
=\dfrac1{18}$. Ez\'ert $P(A\cap C)=P(A)P(B)$, de $P(A\cap B)\neq
P(A)P(c)$. Ez azt jelenti, hogy az $A$ \'es $C$ esem\'enyek
f\"uggetlenek, de az $A$ \'es $B$ esem\'enyek nem f\"uggetlenek.
Hasonl\'oan a $B\cap C$ esem\'eny azt jelenti, hogy az els\H{o} dob\'as
eredm\'enye 2 vagy 3, ez\'ert $P(B\cap C)=\dfrac13\neq P(B)P(C)$.
Teh\'at a  $B$ \'es $C$ esem\'enyek sem f\"uggetlenek.
 
 
 
\bye
 
 
 
 
