\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\nopagenumbers
\centerline{\bf DOLGOZAT FELADATOK}
\smallskip\centerline {(\it A
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as II. gyakorlaton)}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Abban az esetben, ha egy megk\'erdezett fogalom
defin\'{\i}ci\'oj\'at t\"obb (egy\-m\'as\-sal ekvivalens) m\'odon lehet
megadni, akkor ezek mindegyike j\'o v\'alasznak min\H{o}s\"ul.
\bigskip
\item{1.} Egy urn\'aban h\'usz piros \'es harminc feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk egym\'as ut\'an 10 goly\'ot visszatev\'es n\'elk\"ul.
Mi a kih\'uzott piros goly\'ok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke
\'es sz\'or\'asn\'egyzete?
\item{2.} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen $\lambda$
param\'eter\H{u} exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen $\xi$ \'es $\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ ha
$x\ge0$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$. Sz\'amoljuk ki $\xi-\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{3.} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen $\xi$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye
$f(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$,
\'es legyen $t$ val\'os sz\'am. Sz\'amoljuk ki az $e^{t\xi}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $Ee^{t\xi}$ v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et.
\item{4.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 1200 alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es \"osszeadjuk a p\'aros
\'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'eny\'et. Adjunk j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra,
hogy ez az \"osszeg 2280 \'es 2500 k\"oz\'e esik.
\item{5.} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Mikor mondjuk,
hogy ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek egym\'ast\'ol?
\item{6.} Legyen adva val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak
$\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozata \'es egy $\xi$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n.
\item{} Mikor mondjuk, hogy a $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok
\itemitem{a.)} egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'alnak a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz?
\itemitem{b.)} sztochasztikusan konverg\'alnak a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz?
\itemitem{c.)} eloszl\'asbam konverg\'alnak a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz?
 
 
\bye
