A JAVÍTÓ DOLGOZAT FELADATAI (A valószínűségszámítás II. gyakorlaton)

Megjegyzés: Abban az esetben, ha egy megkérdezett fogalom definícióját több (egymással ekvivalens) módon lehet megadni, akkor ezek mindegyike jó válasznak minősül.

1. Egy urnában húsz piros és tíz fehér golyó van. Kihúzunk egymás után 10 golyót úgy, hogy minden húzás után a kihúzott golyót visszadobjuk két azonos színű golyóval együtt. Mi a kihúzott piros golyók számának a várható értéke és szórásnégyzete?

2. Legyen ξ és η két független, a [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] intervallumban egyenletes eloszlású valószí-

nűségi változó, azaz legyen ξ és η sűrűségfüggvénye f(x) = 1, ha −\frac{1}{2} ≤ x ≤ \frac{1}{2}, és f(x) = 0 egyébként. Számoljuk ki ξ + η sűrűségfüggvényét.

3. Legyen ξ standard normális eloszlású valószínűségi változó, azaz legyen ξ sűrűség-

függvénye f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−x^{2}/2}. Számítsuk ki a ξ valószínűségi változó momentu-

mait, azaz az Eξ^{k} számokat, minden k = 1, 2, …, számra.

4. Péter és Pál a következő játékot játssza. Mind a ketten feldobnak egy szabályos dobókockát. Ha Pál dobott nagyobbat, akkor ö nyer három forintot Pétertől, ha Péter dobása nagyobb, akkor Pál fizet Péternek három forintot. Ha a dobások egyenlőek, akkor senki sem fizet a másiknak. Ezt a játékot játsszák 3000 alkalommal. Adjunk jó közelítő becslést a centrális határeloszlástétel és egy normális eloszlástáblázat segítségével arra, hogy Péter legalább 90 forintot nyer.

5. Mikor mondjuk, hogy egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn adott A_{1}, A_{2}, …, A_{n} események egymástól függetlenek?

6. Legyen adva valószínűségi változóknak ξ_{n}, sorozata φ_{n}(t) = Ee^{itξ_{n}}, −∞ < t < ∞, karakterisztikus függvényekkel, n = 1, 2, . . .. Hogyan tudjuk a φ_{n}(t) karakterisztikus függvények segítségével megadni annak a feltételét, hogy a ξ_{n} valószínűségi változók eloszlásban konvergáljanak?

Megoldások:

1. Jelölje ξ_{j} azt a valószínűségi változót, mely eggyel egyenlő, ha a j-ik húzás piros,

nullával egyenlő, ha a j-ik húzás fehér. Ekkor az S = ∑_{j=1}^{10} ξ_{j} valószínűségi változó

várható értékét és szórásnégyzetét kell kiszámulnunk. Továbbá, Eξ_{j} = Eξ_{1} = \frac{2}{3},

Eξ_{j}^{2} = Eξ_{j} = \frac{2}{3}, Var ξ_{j} = Eξ_{j}^{2} − (Eξ_{j})^{2} = \frac{2}{9}, Eξ_{j}ξ_{k} = Eξ_{1}ξ_{2} = \frac{2}{3} \frac{22}{32}, Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) =

\frac{2}{3} (\frac{22}{32} − \frac{2}{3}) = \frac{1}{72}. Ezért ES = \frac{20}{3}, Var S = ∑_{j=1}^{10} Var ξ_{j} + ∑_{\begin{matrix}1≤j,k≤10 \\ j≠k \end{matrix}} Cov ξ_{j} = \frac{20}{9} +

\frac{90}{72} = \frac{250}{72}.

2. A ξ+η valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a g(x) = ∫ f(y)f(x−y) dy függvény,

ahol f(x) a [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] intervallumban egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénye. Ezért

f(y)f(x − y) = 1, ha −\frac{1}{2} ≤ y ≤ \frac{1}{2}, és −\frac{1}{2} ≤ x − y ≤ \frac{1}{2}, azaz −\frac{1}{2} + x ≤ y ≤ \frac{1}{2} + x,

és nulla egyébként. Ez azt jelenti, hogy a ξ + η összeg g(x) sűrűségfüggvénye az

x pontban megegyezik a [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] ∩ [−\frac{1}{2} + x, ≤ \frac{1}{2} + x] intervallum hosszával. Ha

|x| > 1, akkor a fenti metszet üres, ezért ebben az esetben g(x) =. Ha 0 ≤ x ≤ 1,

akkor ez a metszet a [−\frac{1}{2} + x, \frac{1}{2}] intervallum, és ennek hossza 1 − x, azaz ebben

az esetben g(x) = 1 − x. Ha −1 ≤ x ≤ 0, akkor ez a metszet a [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2} + x]

intervallum melynek hossza 1 + x = 1 − |x|, azaz g(x) = 1 + x = 1 − |x| ebben az esetben. Ez azt jelenti, hogy g(x) = 1 − |x|, ha |x| ≤ 1, és g(x) = 0, ha x > 1. Második megoldás: Számítsuk ki először a ξ + η valószínűségi változó G(x) el-

oszlásfüggvényét. Definiáljuk a K = [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] × [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] négyzetet, és jelölje λ

a Lebesgue mértéket, azaz a területet a síkon. Ekkor a sík tetszőleges A ⊂ R^{2} mérhető részhalmazára igaz az, hogy P ((ξ, η) ∈ A) = λ(A ∩ K). Speciálisan, G(x) = P (ξ + η < x) = λ(K ∩ {(u, v): u + v < x}). Ha x ≤ −1, akkor G(x) = 0, ha −1 ≤ x ≤ 0, akkor G(x) a (−\frac{1}{2}, −\frac{1}{2}), (−\frac{1}{2}, \frac{1}{2} + x) és (\frac{1}{2} + x, −\frac{1}{2}) pontok által meghatározott háromszög területe \frac{1}{2}(1 + x)^{2}. Hasonlóan, ha x ≥ 1, akkor G(x) = 1. Ha 0 ≤ x ≤ 1, akkor a G(x) eloszlásfüggvény megegyezik annak a poligonnak területével, melyet úgy kapunk, hogy a K négyzetből kihagyjuk a (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, −\frac{1}{2} + x) és (−\frac{1}{2} + x, \frac{1}{2}) pontok által meghatározott háromszöget. Ezért G(x) = 1− \frac{1}{2}(1−x)^{2} ebben az esetben. A G(x) függvényt deriválva kapjuk, hogy g(x) = 0, ha |x| ≤ 1, g(x) = 1 + x, ha −1 ≤ x ≤ 0, és g(x) = 1 − x, ha 0 ≤ x ≤ 1.

3. Eξ^{k} = ∫_{−∞}^{∞} x^{k} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−x^{2}/2} dx. Ha k páratlan szám, azaz k = 2l + 1 alakú, ahol l

egész szám, akkor az integrandus páratlan függvény akkor Eξ^{2l−1} =. Ha k páros szám, azaz k = 2l, ahol l egész szám, akkor parciális integrálással kapjuk, hogy

Eξ^{2l} = ∫_{−∞}^{∞} x^{2l} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−x^{2}/2} dx = [x^{2l−1} · (−1)\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−x^{2}/2}]_{−∞}^{∞}

+ ∫_{−∞}^{∞}(2l − 1)x^{2l−2} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−x^{2}/2} dx = (2l − 1)Eξ^{2l−2}.

Ezt az azonosságot felhasználva indukcióval kapjuk, hogy

Eξ^{2l} = (2l − 1)(2l − 3) ⋯ 3 · 1.

4. Jelölje ξ_{j} Péter nyereményét a j-ik játékban. Ekkor a ξ_{j} valószínűségi változók

függetlenek, P (ξ_{j} = 0) = \frac{1}{6}, P (ξ_{j} = 3) = P (ξ_{j} = −3) = \frac{5}{12}, és az S = ∑_{j=1}^{3000} ξ_{j} jelöléssel a P (S ≤ 90) valószínűségre kell jó becslést adnunk. Némi számolással

Eξ_{j} = 0, Var ξ_{j} = Eξ_{j}^{2} = 9 · \frac{5}{6} = \frac{15}{2}, ezért ES = 0, Var S = 15 · 1500 = 150^{2}.

Ezért a centrális határeloszlástétel alapján P (S ≥ 90) = P (\frac{S − ES}{\sqrt{Var S}} ≥ 0.6) ∼

1 − Φ(0.6) ∼ 1 − 0.7257 = 0.2743.

Az 5. feladatban kérdezett definiciót lényegében mindenki tudta. Ezért ezt nem írom le. A hatodik feladatra sokan megfogalmazták azt az előadásban alaptételnek nevezett állítást, mely megadja eloszlásfüggvények konvergenciájának pontos kapcsolatát a karakterisztikus függvények konvergenciájával. Annak, aki ezt az eredményt jól megfogalmazta annak természetesen elfogadtam a válaszát. Ez az eredmény tartalmaz néhány olyan állítást is, melyek nem részei a kérdésre adott válasznak, de ezt nem tekintettem hibának. Talán érdemes némileg kevésbé formálisan elmondani, hogy miről volt szó ebben a kérdésben.

Ha azt akarjuk eldönteni ξ_{n} valószínűségi változókról, illetve azok eloszlásairól azok φ_{n}(t) = Ee^{itξ_{n}}, −∞ < t < ∞, karakterisztikus függvényeinek segítségével, hogy konvergálnak-e azok eloszlásban valamilyen eloszláshoz, akkor az első észrevétel az, hogy ehhez a konvergenciához szükséges az, hogy a φ_{n}(t) karakterisztikus függvények is konvergáljanak. Kérdés az, hogy ez elegendő-e is egyben. A válasz erre a kérdésre nemleges. Voltak, akik hozzátették, hogy az is szükséges, hogy a határfüggvény is karakterisztikus függvény legyen, és ebben a határeloszlás az az eloszlás, melynek a karakterisztikus függvénye a karakterisztikus függvények limesze. Ez a válasz helyes, mégsem tekintettem teljes értékű megoldásnak, mert általában nehéz ellenőrízni, hogy egy adott függvény karakterisztikus függvény-e.

A teljes válaszhoz hozzátartozott az is, hogy amennyiben a karakterisztikus függvények konvergálnak egy olyan függvényhez, mely az origóban folytonos, akkor ez egyben elegendő ahhoz, hogy a határfüggvény karakterisztikus függvény legyen, és ez a feltétel nemcsak elégséges, hanem egyben szükséges is. Talán érdemes megjegyezni, hogy az az eredmény, mely szerint karakterisztikus függvények limesze is karakterisztikus függvény amennyiben az az origóban folytonos, kihasználja azt a tényt is, hogy karakterisztikus függvények limeszét tekintjük.

Végül megjegyezzük, hogy az alaptétel tartalmazza azt az állítást is, hogy ha a karakterisztikus függvények sorozata konvergál egy az origóban folytonos függvényhez, tehát egy karakterisztikus függvényhez, akkor a konvergencia minden véges intervallumban egyenletes. Ez az állítás helyes, de nem lett volna kötelező megfogalmazni. Viszont negatívumnak tekintettem azt, ha valaki a határkarakterisztikus függvénynek olyan tulajdonságait fogalmazta meg (az origóbeli deriváltokról), melyek csak speciális esetben érvényesek. Ezt negatívumnak tekintettem annak ellenére, hogy a legérdekesebb esetben, a centrális határeloszlástétel esetében, ezek az extra tulajdonságok érvényesek.