\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\nopagenumbers
\centerline{\bf A JAV\'IT\'O DOLGOZAT FELADATAI}
\smallskip\centerline {(\it A
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as II. gyakorlaton)}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Abban az esetben, ha egy megk\'erdezett fogalom
defin\'{\i}ci\'oj\'at t\"obb (egy\-m\'as\-sal ekvivalens) m\'odon lehet
megadni, akkor ezek mindegyike j\'o v\'alasznak min\H{o}s\"ul.
\bigskip
\item{1.} Egy urn\'aban h\'usz piros \'es t\'{\i}z feh\'er goly\'o
van. Kih\'uzunk egym\'as ut\'an 10 goly\'ot \'ugy, hogy minden
h\'uz\'as ut\'an a kih\'uzott goly\'ot visszadobjuk k\'et azonos
sz\'{\i}n\H{u} goly\'oval egy\"utt. Mi a kih\'uzott piros goly\'ok
sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete?
\item{2.} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, a
$\[-\dfrac12,\dfrac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, azaz legyen $\xi$
\'es $\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1$, ha $-\dfrac12\le
x\le\dfrac12$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Sz\'amoljuk ki
$\xi+\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{3.} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen $\xi$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye
$f(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o momentumait, azaz az $E\xi^k$
sz\'amokat, minden $k=1,2,\dots$, sz\'amra.
\item{4.} P\'eter \'es P\'al a k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot j\'atssza.
Mind a ketten feldobnak egy szab\'alyos dob\'okock\'at. Ha P\'al
dobott nagyobbat, akkor \"o nyer h\'arom forintot P\'etert\H{o}l, ha
P\'eter dob\'asa nagyobb, akkor P\'al fizet P\'eternek h\'arom
forintot. Ha a dob\'asok egyenl\H{o}ek, akkor senki sem fizet a
m\'asiknak. Ezt a j\'at\'ekot j\'atssz\'ak 3000 alkalommal.
Adjunk j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel \'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra, hogy P\'eter legal\'abb 90 forintot nyer.
\item{5.} Mikor mondjuk, hogy egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n adott $A_1,A_2,\dots,A_n$
ese\-m\'e\-nyek egym\'ast\'ol f\"uggetlenek?
\item{6.} Legyen adva val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak
$\xi_n$, sorozata $\varphi_n(t)=Ee^{it\xi_n}$, $-\infty<t<\infty$,
karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel, $n=1,2,\dots$. Hogyan tudjuk a
$\varphi_n(t)$ ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel megadni annak a felt\'etel\'et, hogy a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban
konverg\'aljanak?
\bigskip
\centerline{\bf Megold\'asok:}
\medskip
\item{1.} Jel\"olje $\xi_j$ azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot, mely eggyel egyenl\H{o}, ha a $j$-ik h\'uz\'as piros,
null\'aval egyenl\H{o}, ha a $j$-ik h\'uz\'as feh\'er. Ekkor az
$S=\summ_{j=1}^{10}\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et kell
kisz\'amulnunk. Tov\'abb\'a,
$E\xi_j=E\xi_1=\dfrac23$, $E\xi_j^2=E\xi_j=\dfrac23$,
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-\(E\xi_j\)^2=\dfrac29$,
$E\xi_j\xi_k=E\xi_1\xi_2=\dfrac23\dfrac{22}{32}$, $\Cov(\xi_j,\xi_k)=
\dfrac23\(\dfrac{22}{32}-\dfrac23\)=\dfrac1{72}$. Ez\'ert
$ES=\dfrac{20}3$, $\Var S=\summ_{j=1}^{10}\Var\xi_j+\summ\Sb 1\le
j,k\le 10\\j\neq k\endSb
\Cov\xi_j=\dfrac{20}9+\dfrac{90}{72}=\dfrac{250}{72}$.
\item{2.} A $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a $g(x)=\int f(y)f(x-y)\,dy$
f\"uggv\'eny, ahol $f(x)$ a $\[-\dfrac12,\dfrac12\]$ intervallumban
egyenletes eloszl\'as s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Ez\'ert
$f(y)f(x-y)=1$, ha $-\dfrac12\le y\le\dfrac12$, \'es $-\dfrac12\le
x-y\le\dfrac12$, azaz $-\dfrac12+x\le y\le\dfrac12+x$, \'es nulla
egy\'ebk\'ent. Ez azt jelenti, hogy a $\xi+\eta$ \"osszeg $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az $x$ pontban megegyezik a
$\[-\dfrac12,\dfrac12\]\cap \[-\dfrac12+x,\le\dfrac12+x\]$
intervallum hossz\'aval. Ha $|x|>1$, akkor a fenti metszet \"ures,
ez\'ert ebben az esetben $g(x)=$. Ha $0\le x\le 1$, akkor ez a
metszet a $\[-\dfrac12+x,\dfrac12\]$ intervallum, \'es ennek hossza
$1-x$, azaz ebben az esetben $g(x)=1-x$. Ha $-1\le x\le0$, akkor ez
a metszet a $\[-\dfrac12,\dfrac12+x\]$ intervallum melynek hossza
$1+x=1-|x|$, azaz $g(x)=1+x=1-|x|$ ebben az esetben. Ez azt jelenti,
hogy $g(x)=1-|x|$, ha $|x|\le 1$, \'es $g(x)=0$, ha $x>1$.
 \item{} {\it M\'asodik megold\'as:}\/ Sz\'am\'{\i}tsuk ki
el\H{o}sz\"or a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$G(x)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. Defini\'aljuk a
$K=\[-\dfrac12,\dfrac12\]\times\[-\dfrac12,\dfrac12\]$ n\'egyzetet,
\'es jel\"olje $\lambda$ a Lebesgue m\'ert\'eket, azaz a ter\"uletet
a s\'{\i}kon. Ekkor a s\'{\i}k tetsz\H{o}leges $A\subset R^2$
m\'erhet\H{o} r\'eszhalmaz\'ara igaz az, hogy $P((\xi,\eta)\in
A)=\lambda(A\cap K)$. Speci\'alisan, $G(x)=P(\xi+\eta<x)=
\lambda(K\cap\{(u,v)\:u+v<x\})$. Ha $x\le-1$, akkor $G(x)=0$, ha
$-1\le x\le0$, akkor $G(x)$ a $\(-\frac12,-\frac12\)$,
$\(-\frac12,\frac12+x\)$ \'es $\(\frac12+x,-\frac12\)$ pontok \'altal
meghat\'arozott h\'aromsz\"og ter\"ulete $\frac12(1+x)^2$.
Hasonl\'oan, ha $x\ge1$, akkor $G(x)=1$. Ha $0\le x\le1$, akkor a
$G(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny megegyezik annak a poligonnak
ter\"ulet\'evel, melyet \'ugy kapunk, hogy a $K$ n\'egyzetb\H{o}l
kihagyjuk a $\(\frac12,\frac12\)$, $\(\frac12,-\frac12+x\)$
\'es $\(-\frac12+x,\frac12\)$ pontok \'altal meghat\'arozott
h\'aromsz\"oget. Ez\'ert $G(x)=1-\frac12(1-x)^2$ ebben az esetben.
A $G(x)$ f\"uggv\'enyt deriv\'alva kapjuk, hogy $g(x)=0$, ha
$|x|\le1$, $g(x)=1+x$, ha $-1\le x\le0$, \'es $g(x)=1-x$, ha $0\le
x\le1$.
\item{3.} $E\xi^k=\dsize\int_{-\infty}^\infty x^k
\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx$. Ha $k$ p\'aratlan sz\'am, azaz
$k=2l+1$ alak\'u, ahol $l$ eg\'esz sz\'am, akkor az integrandus
p\'aratlan f\"uggv\'eny akkor $E\xi^{2l-1}=$. Ha $k$ p\'aros sz\'am,
azaz $k=2l$, ahol $l$ eg\'esz sz\'am, akkor parci\'alis
integr\'al\'assal kapjuk, hogy
$$
\align
E\xi^{2l}&=\int_{-\infty}^\infty
x^{2l}\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=
\[x^{2l-1}\cdot(-1)\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\]_{-\infty}^\infty \\
&\qquad+ \int_{-\infty}^\infty (2l-1)
x^{2l-2}\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx =(2l-1)E\xi^{2l-2}.
\endalign
$$
Ezt az azonoss\'agot felhaszn\'alva indukci\'oval kapjuk, hogy
$$
E\xi^{2l}=(2l-1)(2l-3)\cdots 3\cdot1.
$$
\item{4.} Jel\"olje $\xi_j$ P\'eter nyerem\'eny\'et a $j$-ik
j\'at\'ekban. Ekkor a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, $P(\xi_j=0)=\dfrac16$,
$P(\xi_j=3)=P(\xi_j=-3)=\dfrac5{12}$, \'es az
$S=\summ_{j=1}^{3000}\xi_j$ jel\"ol\'essel a
$P(S\le90)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre kell j\'o becsl\'est
adnunk. N\'emi sz\'amol\'assal $E\xi_j=0$,
$\Var\xi_j=E\xi_j^2=9\cdot\dfrac5{6}=\dfrac{15}2$, ez\'ert $ES=0$,
$\Var S=15\cdot1500=150^2$. Ez\'ert a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$P(S\ge90)=P\(\dfrac{S-ES}{\sqrt{\Var
S}}\ge0.6\)\sim1-\Phi(0.6)\sim1-0.7257=0.2743$.
\medskip
 
Az 5. feladatban k\'erdezett definici\'ot l\'enyeg\'eben mindenki
tudta. Ez\'ert ezt nem \'{\i}rom le. A hatodik feladatra sokan
megfogalmazt\'ak azt az el\H{o}ad\'asban alapt\'etelnek nevezett
\'all\'{\i}t\'ast, mely megadja eloszl\'asf\"uggv\'enyek
konvergenci\'aj\'anak pontos kapcsolat\'at a karakterisztikus
f\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'aval. Annak, aki ezt az eredm\'enyt
j\'ol megfogalmazta annak term\'eszetesen elfogadtam a v\'alasz\'at.
Ez az eredm\'eny tartalmaz n\'eh\'any olyan \'all\'{\i}t\'ast is,
melyek nem r\'eszei a k\'erd\'esre adott v\'alasznak, de ezt nem
tekintettem hib\'anak. Tal\'an \'erdemes n\'emileg kev\'esb\'e
form\'alisan elmondani, hogy mir\H{o}l volt sz\'o ebben a
k\'erd\'esben.
 
Ha azt akarjuk eld\"onteni $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okr\'ol, illetve azok eloszl\'asair\'ol azok
$\varphi_n(t)=Ee^{it\xi_n}$, $-\infty<t<\infty$, karakterisztikus
f\"uggv\'enyeinek seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy konverg\'alnak-e azok
eloszl\'asban valamilyen eloszl\'ashoz, akkor az els\H{o}
\'eszrev\'etel az, hogy ehhez a konvergenci\'ahoz sz\"uks\'eges az,
hogy a $\varphi_n(t)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyek is
konverg\'aljanak. K\'erd\'es az, hogy ez elegend\H{o}-e is egyben. A
v\'alasz erre a k\'erd\'esre nemleges. Voltak, akik hozz\'atett\'ek,
hogy az is sz\"uks\'eges, hogy a hat\'arf\"uggv\'eny is
karakterisztikus f\"uggv\'eny legyen, \'es ebben a
hat\'areloszl\'as az az eloszl\'as, melynek a karakterisztikus
f\"uggv\'enye a karakterisztikus f\"uggv\'enyek limesze. Ez a
v\'alasz helyes, m\'egsem tekintettem teljes \'ert\'ek\H{u}
megold\'asnak, mert \'altal\'aban neh\'ez ellen\H{o}r\'{\i}zni,
hogy egy adott f\"uggv\'eny karakterisztikus f\"uggv\'eny-e.
 
A teljes v\'alaszhoz hozz\'atartozott az is, hogy amennyiben a
karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nyek konverg\'alnak egy olyan
f\"uggv\'enyhez, mely az orig\'oban folytonos, akkor ez egyben
elegend\H{o} ahhoz, hogy a hat\'arf\"uggv\'eny karakterisztikus
f\"uggv\'eny legyen, \'es ez a felt\'etel nemcsak el\'egs\'eges,
hanem egyben sz\"uks\'eges is. Tal\'an \'erdemes megjegyezni, hogy
az az eredm\'eny, mely szerint karakterisztikus f\"uggv\'enyek
limesze is karakterisztikus f\"uggv\'eny amennyiben az az orig\'oban
folytonos, kihaszn\'alja azt a t\'enyt is, hogy karakterisztikus
f\"uggv\'enyek limesz\'et tekintj\"uk.
 
V\'eg\"ul megjegyezz\"uk, hogy az alapt\'etel tartalmazza azt az
\'all\'{\i}t\'ast is, hogy ha a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
sorozata konverg\'al egy az orig\'oban folytonos f\"ugg\-v\'eny\-hez,
teh\'at egy karakterisztikus f\"uggv\'enyhez, akkor a konvergencia
minden v\'eges intervallumban egyenletes. Ez az \'all\'{\i}t\'as
helyes, de nem lett volna k\"otelez\H{o} megfogalmazni. Viszont
negat\'{\i}vumnak tekintettem azt, ha valaki a
hat\'arkarakterisztikus f\"uggv\'enynek olyan tulajdons\'agait
fogalmazta meg (az orig\'obeli deriv\'altokr\'ol), melyek csak
speci\'alis esetben \'erv\'enyesek. Ezt negat\'{\i}vumnak tekintettem
annak ellen\'ere, hogy a leg\'erdekesebb esetben, a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel eset\'eben, ezek az extra tulajdons\'agok
\'erv\'enyesek.
 
 
 
 
\bye
