\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=1pt plus 1pt
%\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat \"ot\"odik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2001 febru\'ar 27.}
\medskip\noindent
{\it \"Osszefoglal\'o:}\/
 
\medskip\noindent
A v\'arhat\'o \'ert\'ek tulajdons\'againak bizony\'{\i}t\'as\'an\'al
sz\"uks\'eg\"unk van az al\'abbi seg\'edt\'etelre, mely megegyezik a
Fazekas k\"onyvben szerepl\H{o} 2.6 \'All\'{\i}t\'assal a 61. oldalon.
\medskip\noindent
{\bf Seg\'edt\'etel.} {\it Legyen $\xi$ egy diszkr\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, mely valamilyen
$x_1,x_2,\dots$, \'ert\'ekeket vesz fel, \'es legyen
$B_k=\{\oo:\xi(\oo)=x_k\}$, $k=1,2,\dots$, a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ert\'ekei \'altal
meghat\'arozottt teljes ese\-m\'eny\-rend\-szer. Legyen $C_j$,
$j=1,2,\dots$, egy enn\'el finomabb teljes ese\-m\'eny\-rend\-szer,
azaz tegy\"uk fel, hogy a $C_j\in \Cal A$ halmazok diszjunktak,
$\bigcupp_{j=1}^\infty  C_j=\Omega$, \'es minden $C_j$ halmazhoz
tartozik olyan $B_k$ halmaz, melyre $C_j\subset B_k$. Ha
$C_j\subset B_k$, akkor rendelj\"uk hozz\'a a $C_j$ halmazhoz az
$y_j=x_k$ sz\'amot. A $\summ_{k=1}^\infty x_kP(B_k)$ \'es
$\summ_{j=1}^\infty y_jP(C_j)$ \"osszegek egyszerre abszolut
konvergensek, \'es ha ezek az \"osszegek abszolut konvergensek, akkor
$$
E\xi=\summ_{k=1}^\infty x_kP(B_k)=\summ_{j=1}^\infty y_jP(C_j).
$$
}\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:} Ha a $\summ_{k=1}^\infty x_kP(B_k)$ \"osszeg
abszolut konvergens, azaz l\'etezik olyan
$L<\infty$ sz\'am, melyre $\summ_{k=1}^\infty |x_k|P(B_k)=L$. Ekkor
minden $N$ indexre
$$
\summ_{j=1}^N |y_j|P(C_j)\le
\summ_{k=1}^\infty |x_k|P(B_k)=L,
$$
ez\'ert $\summ_{j=1}^\infty
|y_j|P(C_j)\le L$, azaz a $\summ_{j=1}^\infty y_jP(C_j)$ \"osszeg is
abszolut konvergens. Ha a $\summ_{j=1}^\infty y_jP(C_j)$ \"osszeg is
abszolut konvergens, akkor $\summ_{j=1}^\infty |y_j|P(C_j)\le L<\infty$
alkalmas $L$ sz\'ammal, ahonnan tetsz\H{o}leges $N$ indexre
$\summ_{k=1}^N |x_k|P(B_k)= \summ_{k=1}^N\summ_{j\:C_j\subset
B_k}^\infty |y_j|P(C_j)\le \summ_{j=1}^\infty |y_j|P(C_j)\le L<\infty$
ahonnan a $\summ_{k=1}^\infty x_kP(B_k)$ \"osszeg is abszolut
konvergens.
 
Ha  a fenti sorok abszolut konvergensek akkor minden $\e>0$ sz\'amhoz
l\'etezik olyan $N=N(\e)$ index, hogy
$\summ_{k=N}^\infty |x_k| P(B_k)<\e$. Ekkor
$$
\summ_{k=N}^\infty\summ_{j\: C_j\subset B_k}
|y_j|P(C_j)<\e.
$$
Legyen $U_k=\{j\: C_j\subset B_k\}$ minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra.
Ekkor minden $U_k$ halmaznak van olyan v\'eges $V_k=V_k(\e)\subset
U_k$ r\'eszhalmaza, melyre
$$
|x_k|\summ_{j\in U_k\setminus V_k} P(C_j)\le \e 2^{-k}
$$
Ekkor
$$
\left|\summ_{j\:j\in V_k}^\infty y_j P(C_j)-
\summ_{j\:C_j\subset B_k}^\infty y_j P(C_j)\right|\le \summ_{j\in
U_k\setminus V_k} |y_j| P(C_j) \quad
k=1,2,\dots,
$$
\'es
$$
\left|\summ_{j\: j\in V_k}^\infty y_j P(C_j)-x_kP(B_k)\right|\le
\summ_{j\in U_k\setminus V_k} |y_j| P(C_j) \quad k=1,2,\dots,
$$
ahonnan
$$
\left|\summ_{j=1}^\infty y_j P(C_j)
-\summ_{k=1}^{N-1}\summ_{j\in V_k} y_j P(C_j)\right|
\le  \summ_{k=N}^\infty\summ_{j\in V_k} |y_j| P(C_j)+
\summ_{k=1}^{N-1}\summ_{j\in U_k\setminus V_k} |y_j| P(C_j)\le 2\e,
$$
\'es
$$
\left|\summ_{k=1}^\infty x_k P(B_k)
-\summ_{k=1}^{N-1}\summ_{j\in V_k} y_j P(C_j)\right|
\le  \summ_{k=N}^\infty |x_k| P(B_k)+
\summ_{k=1}^{N-1}\summ_{j\in U_k\setminus V_k} |y_j| P(C_j)\le 2\e.
$$
Innen
$$
\left|\summ_{j=1}^\infty y_j P(C_j)-
\summ_{k=1}^\infty x_k P(B_k)\right|\le4\e.
$$
Mivel ez az \'all\'{\i}t\'as minden $\e>0$ sz\'amra
\'erv\'enyes, innen k\"ovetkezik a Seg\'edt\'etel \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip \noindent
{\it Az el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'asban megfogalmazott $E(\xi_1+\xi_2)=E\xi_1+E\xi_2$
rel\'aci\'o bizony\'{\i}t\'asa.} \hfill\break
Ha a $\xi_1$ \'es $\xi_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekeket vesznek fel, akkor tekints\"uk az
$\{\oo\: \xi_1=x_j,\xi_2=x_k\}$, $j,k=1,2,\dots$, esem\'enyeket. A
Seg\'edt\'etel alapj\'an
$$
E\xi_1=\summ_{j=1}^\infty\summ_{k=1}^\infty x_j P(
\xi_1=x_j,\xi_2=x_k),
$$
\'es
$$
E\xi_2=\summ_{j=1}^\infty\summ_{k=1}^\infty x_k P(
\xi_1=x_j,\xi_2=x_k).
$$
E k\'et azonoss\'agot \"osszeadva, \'es alkalmazva megint a
Seg\'edt\'etelt kapjuk, hogy
$$
E\xi_1+E\xi_2=\summ_{j=1}^\infty\summ_{k=1}^\infty (x_j+x_k) P(
\xi_1=x_j,\xi_2=x_k)=E(\xi_1+\xi_2),
$$
mert az $\{\oo\: \xi_1(\oo)=x_j,\xi_2(\oo)=x_k\}$, $j,k=1,2,\dots$,
halmazok egy finom\'{\i}t\'as\'at adj\'ak az
$\{\oo\: \xi_1(\oo)+\xi_2(\oo)=y\}$, ($y=x_j+x_k$  alkalmas $x_j$ \'es
$x_k$ sz\'ammal) alak\'u halmazokb\'ol \'all\'o partici\'onak.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.}  {\it Legyen $\xi$ diszkr\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, mely bizonyos $x_1,x_2,\dots$ \'ert\'eket vesz fel \'es
$g(x)$ val\'os f\"uggv\'eny. Ekkor
$$
Eg(\xi)=\summ_{j=1}^\infty g(x_j) P(\xi=x_j),
$$
felt\'eve, hogy a $\summ_{j=1}^\infty g(x_j) P(\xi=x_j)$ \"osszeg
abszolut konvergens.} \medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/   Vezess\"uk be az $x_u\sim x_v$
rel\'aci\'ot, ha $g(x_u)=g(x_v)$. Ekkor $\sim$ ekvivalenciarel\'aci\'o,
\'es az $x_1,x_2,\dots$, \'ert\'ekeket megsz\'aml\'alhat\'o sok
$D_1,D_2,\dots$, oszt\'alyba tudjuk sorolni \'ugy, hogy $x_u$ \'es
$x_v$ akkor ker\"ul ugyanabba az oszt\'alyba, ha $x_u\sim x_v$.
Defini\'aljuk a $z_k$ sz\'amot \'ugy, hogy legyen $z_k=g(x_u)$, ha
$x_u\in D_k$.  Vezess\"uk be tov\'abb\'a a $B_k=\{\oo\:\xi(\oo)\in
D_k\}$ \'es $C_j=\{\oo\:\xi(\oo)=x_j\}$  halmazokat az $(\Omega,\Cal A,
P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Ekkor a v\'arhat\'o \'ert\'ek
definici\'oja illete a Seg\'edt\'etel alapj\'an
$$
Eg(\xi)=\sum_k z_k P(C_k)=\sum_{j=1}^\infty g(x_j)P(B_j)=
\summ_{j=1}^\infty g(x_j) P(\xi=x_j),
$$
felt\'eve, hogy a $\summ_{j=1}^\infty g(x_j) P(\xi=x_j)$ \"osszeg
abszolut konvergens. \medskip\noindent
{\bf T\'etel} {\it Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen,
diszkr\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok melyek
mindegyik\'ere l\'etezik az $E\xi_j$, $1\le j\le n$ v\'arhat\'o
\'ert\'ek. Ekkor az $E\xi_1\xi_2\cdots\xi_n$ v\'arhat\'o \'ert\'ek
is l\'etezik, \'es
$$
E\xi_1\xi_2\cdots\xi_n=E\xi_1E\xi_2\cdots E\xi_n.
$$
\medskip}
{\it Megjegy\'es:}\/ A fent megfogalmazott eredm\'eny rendk\'{\i}v\"ul
fontos tulajdons\'aga a {\it f\"ug\-get\-len}\/
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak. A Fazekas k\"onyvben ez az
eredm\'eny csak az $n=2$ esetben van megfogalmazva a 2.21 T\'etelben a
66. oldalon. Ha j\'ol tudunk sz\'amolni f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal, akkor az \'altal\'anos
eredm\'eny visszavezethet\H{o} erre a speci\'alis esetre, de
egyszer\H{u}bbnek l\'attam k\"ozvetlen\"ul az \'altal\'anos esettel
foglalkozni. \medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Tegy\"uk fel, hogy a $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $x_1,x_2,\dots$, \'ert\'ekeket
vesznek fel. Ekkor
$$
\align
E\xi_1\cdots E\xi_n&=\sum_{j_1=1}^\infty x_{j_1}P(\xi_1=x_{j_1})\cdots
\sum_{j_n=1}^\infty x_{j_n}P(\xi_n=x_{j_n}) \\
&=\sum_{j_1=1}^\infty\cdots \sum_{j_n=1}^\infty x_{j_1}\cdots x_{j_n}
P(\xi_1=x_{j_1})\cdots P(\xi_n=x_{j_n}) \\
&=\sum_{j_1=1}^\infty\cdots \sum_{j_n=1}^\infty x_{j_1}\cdots x_{j_n}
P(\xi_1=x_{j_1},\cdots,\xi_n=x_{j_n}),
\endalign
$$
a $\xi_j$, $1\le j\le n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'ege miatt, valamint az\'ert mert a fenti sorok mindegyike
abszolut konvergens. (Ugyanis abszolut konvergens sorok szorzata is
abszolut konvergens.) Viszont a Seg\'edt\'etel alapj\'an a fenti
azonoss\'ag jobboldal\'an szerepl\H{o} kifejez\'es
$E\xi_1\xi_2\cdots\xi_n$, ez\'ert
$$
E\xi_1\xi_2\cdots\xi_n=E\xi_1E\xi_2\cdots E\xi_n.
$$
 
\beginsection A sz\'or\'asn\'egyzet fogalma.
 
Azt hogy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok k\"or\"ulbel\"ul
mekkora \'ert\'eket vesznek fel az (egyel\H{o}re csak diszkr\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'en t\'argyalt)
v\'arhat\'o \'ert\'ek m\'eri megfelel\H{o} m\'odon. Annak
m\'er\'es\'ere, hogy mekkora a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
ingadoz\'asa a v\'arhat\'o \'ert\'eke k\"or\"ul vezett\'ek be
a szor\'asn\'egyzet (angolul variance) fogalm\'at. Ennek definici\'oja
a k\"ovetkez\H{o}: \medskip\noindent
{\bf A sz\'or\'asn\'egyzet definici\'oja:} {\it Legyen $\xi$ olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melyre $E\xi^2<\infty$. Ekkor
a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzet\'et
az
$$
\Var \xi=E\(\xi-E\xi\)^2
$$
k\'eplet defini\'alja. Ha $E\xi^2=\infty$ akkor a $\Var\xi$
sz\'or\'asn\'egyzetet nem defini\'aljuk vagy azt mondjuk, hogy $\Var
\xi=\infty$.} \medskip\noindent
{\bf Lemma.}
$$
\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2.
$$
Tov\'abb\'a, $\(E\xi\)^2\le E\xi^2$.
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
$$
\align
0\le \Var\xi&=E\(\xi-E\xi\)^2=E\(\xi^2-2\xi
E\xi+\(E\xi\)^2\)\\
&=E\xi^2-2E\xi E\xi+E\xi^2=E\xi^2-(E\xi)^2
\endalign
$$
a v\'arhat\'o \'ert\'ek tulajdons\'agai miatt. \"Osszehasonl\'{\i}tva
a bal \'es jobboldalt kapjuk a megfogalmazott egyenl\H{o}tlens\'eget.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Ha prec\'{\i}zek vagyunk felmer\"ulhet a
k\'erd\'es, teljesen kifog\'astalan-e a fenti bizony\'{\i}t\'as. Az
okozhat esetleg probl\'em\'at, hogy csak akkor defini\'altuk a
v\'arhat\'o \'ert\'eket, ha a defini\'al\'o \"osszeg abszolut
konvergens. Ezt viszont csak az $E\xi^2$-r\H{o}l tett\"uk fel,
ugyanakkor az $E\xi$-vel is szabadon sz\'amoltunk. Nem okoz-e ez
gondot?
 
Az, hogy a fenti sz\'amol\'as jogos, p\'eld\'aul a k\"ovetkez\H{o}
m\'odon l\'athat\'o. Vegyen fel a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekeket, \'es defini\'aljuk a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\xi_n$ k\"ozel\'{\i}t\'eseit,
$n=1,2,\dots$, a k\"ovetkez\H{o} m\'odon: $\xi_n(\oo)=\xi(\oo)$, ha
$\xi(\oo)=x_k$, $1\le k\le n$, $\xi_n(\oo)=0$, ha $\xi(\oo)=x_k$, \'es
$k>n$. Ekkor a $\xi_n(\oo)$ illetve ennek abszolut \'ert\'ek\'evel a
$|\xi_n(\oo)|$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal szabadon
v\'egrehajthatjuk a fenti sz\'amol\'asokat. Innen k\"ovetkezik, hogy
$\(E|\xi_n(\oo)|\)^2\le E\xi_n^2(\oo)\le E\xi^2(\oo)$. Innen viszont
$n\to\infty$ hat\'ar\'atmenettel kapjuk, hogy
$(E|\xi|)^2=\limm_{n\to\infty}\(E|\xi_n(\oo)|\)^2 \le E\xi^2(\oo)$. Ez
azt jelenti, hogy az $E\xi$ v\'arhat\'o \'ert\'eket meghat\'aroz\'o
\"osszeg is abszolut konvergens, \'es a fenti sz\'amol\'asokat
el\-v\'e\-gez\-het\-j\"uk.
\medskip
{\it Feladat:}
\item{} Minden $m$ val\'os sz\'amra
$$
E(\xi-m)^2=E(\xi-E\xi)^2+\((E\xi)-m\)^2.
$$
K\"ovetkez\'esk\'eppen
$$
\Var \xi=\inf_{-\infty<m<\infty} E\[(\xi-m)^2\].
$$
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {Minden $a$ \'es $b$ val\'os sz\'amra
$$
\Var(a\xi+b)=a^2\Var\xi.
$$
}\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
$$
\align
\Var(a\xi+b)&=E\[(a\xi+b)-E(a\xi+b)\]^2
=E\[(a\xi+b)-aE(\xi-b\]^2\\
&=E\[a^2(\xi-E\xi)^2\]
=a^2E(\xi-E\xi)^2=a^2\Var\xi.
\endalign
$$
\medskip
A k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny rendk\'{\i}v\"ul hasznos
\"osszef\"ugg\'est ad, ha f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek sz\'or\'asn\'egyzet\'et akarjuk
kisz\'am\'{\i}tani. Hangs\'ulyozzuk, hogy ebben az eredm\'enyben
fontos a tekintett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'ege. K\'es\H{o}bb megfogalmazzuk ezen eredm\'eny
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at abban az esetben, ha az \"osszeadand\'ok
nem felt\'etlen\"ul f\"uggetlenek, \'es l\'atni fogunk p\'eld\'akat,
melyek megold\'as\'aban ezt az \'al\-ta\-l\'a\-no\-sabb eredm\'enyt
\'erdemes alkalmazni. \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} Ha {\it $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, akkor
$$
\Var(\xi_1+\xi_2+\cdots+\xi_n)=
\Var\xi_1+\Var\xi_2+\cdots+\Var\xi_n.
$$
}\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} Ha {\it $\xi_1,\xi_2,\dots, \xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $c_1,c_2,\dots,c_n$ val\'os
sz\'amok, akkor
$$
\Var(c_1\xi_1+c_2\xi_2+\cdots+c_n\xi_n)=
c_1^2\Var\xi_1+c^2_2\Var\xi_2+\cdots+c_n^2\Var\xi_n.
$$
}\medskip\noindent
{\it A T\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Vezess\"uk be a
$\bar\xi_j=\xi_j-E\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat.
Ekkor
$$
\align
\Var(\xi_1+\xi_2+\cdots+\xi_n)&=
E(\bar\xi_1+\bar\xi_2+\cdots+\bar\xi_n)^2 \\
&=E\bar\xi_1^2+\bar\xi_2^2+\cdots+E\bar\xi_n^2
+2\summ_{j=1}^{n-1}\summ_{k=j+1}^n E\bar\xi_j\bar\xi_k\\
&=E\bar\xi_1^2+\bar\xi_2^2+\cdots+E\bar\xi_n^2
=\Var\xi_1+\Var\xi_2+\cdots+\Var\xi_n,
\endalign
$$
mert
$E\bar\xi_j\bar\xi_k=E\bar\xi_jE\bar\xi_k=0$ minden $1\le j<k\le n$
sz\'amra a $\xi_j$ illetve a $\bar\xi_j$, $1\le j\le n$,
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege
miatt.
 
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk 100-szor egym\'as
ut\'an. Sz\'amoljuk ki a fej-dob\'asok sz\'a\-m\'a\-nak a
sz\'or\'asn\'egyzet\'et. Sz\'am\'{\i}tsuk ki ezt egyr\'eszt direkt
m\'odon fel\'{\i}rva \'es kisz\'amolva a sz\'or\'asn\'egyzetet
kifejez\H{o} \"osszeget m\'asr\'eszt egyszer\H{u}bben az
el\H{o}z\H{o} t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\medskip
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 100-szor egym\'as
ut\'an. Sz\'amoljuk ki a do\-b\'as\-ered\-m\'e\-nyek \"osszeg\'enek
a sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\medskip
Megfogalmazzuk az el\H{o}z\H{o} t\'etel \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at,
mely lehet\H{o}v\'e teszi azt, hogy ki\-sz\'a\-mol\-juk nem
felt\'etlen\"ul f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'enek a sz\'or\'asn\'egyzet\'et. Ennek \'erdek\'eben
el\H{o}sz\"or be kell vezetn\"unk egy \'uj fogalmat, k\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o kovarianciaf\"uggv\'eny\'et,
mely azt m\'eri hogy milyen er\H{o}s a kapcsolat k\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o k\"oz\"ott. \medskip\noindent
{\bf A kovarianciaf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it Legyen $\xi$ \'es
$\eta$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melyek
mindegyik\'enek l\'etezik sz\'or\'asn\'egyzete, azaz
$E\xi^2<\infty$ \'es $E\eta^2<\infty$. Ekkor a $\xi$ \'es $\eta$
kovariancif\"uggv\'eny\'et $\Cov(\xi,\eta)$-t a
$$
\Cov(\xi,\eta)=E\[(\xi-E\xi)(\eta-E\eta)\]
$$
kifejez\'es defini\'alja. Ha a $E\xi^2<\infty$ \'es $E\eta^2<\infty$
felt\'etelek valamelyike nem teljes\"ul, akkor nem defini\'aljuk a
$\Cov(\xi,\eta)$
kovariancif\"uggv\'enyt.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/
$|(\xi-E\xi)||(\eta-E\eta)|\le\dfrac{|\xi-E\xi|^2}2+
\dfrac{|\eta-E\eta|^2}2$, ahonnan
$E|(\xi-E\xi)||(\eta-E\eta)|\le\dfrac{E|\xi-E\xi|^2}2+
\dfrac{E|\eta-E\eta|^2}2<\infty$. Innen k\"ovetkezik, hogy az
$E\xi^2<\infty$ \'es $E\eta^2<\infty$ felt\'etelek teljes\"ul\'ese
eset\'en a $\Cov(\xi,\eta)$-t defini\'al\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek
val\'oban l\'etezik.
\medskip\noindent
{\bf Lemma.}
$$
\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta-E\xi E\eta.
$$
\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor $\Cov(\xi,\eta)=0$.}
\medskip\noindent
{\it Lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/
$$
\Cov(\xi,\eta)=E[\xi\eta-\eta E\xi-\xi E\eta+E\xi E\eta]
=E\xi\eta-E\xi E\eta-E\xi E\eta+E\xi E\eta=E\xi\eta-E\xi E\eta.
$$
\medskip
Most megfogalmazzuk az al\'abbi eredm\'enyt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a sz\'or\'asn\'egyzet\'er\H{o}l:
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok ugyanazon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, melyek
mindegyik\'enek l\'etezik sz\'or\'asn\'egyzete, akkor
$$
\align
\Var\(\summ_{j=1}^n\xi_j\)
&=\summ_{j=1}^{n}\Var\xi_j+
2\summ_{1\le j<k\le n}(E\xi_j\xi_k-E\xi_j E\xi_k)\\
&=\summ_{j=1}^{n}\Var\xi_j+
2\summ_{1\le j<k\le n}(\Cov(\xi_j,\xi_k)\\
&=\summ_{j=1}^n\Var\xi_j+
\summ_{1\le j,k\le n,\; j\neq k}(\Cov(\xi_j,\xi_k).
\endalign
$$
}\medskip \noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/
$$
\align
\Var \! \(\summ_{j=1}^n\xi_j\)&=E\(\sum_{j=1}^n\xi_j\)^2 \!\!
-\(E\sum_{j=1}^n\xi_j\)^2 \!\!
=E\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n\xi_j\xi_k\)
-\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n E\xi_jE\xi_k\)\\
&=\summ_{j=1}^{n}\(E\xi_j^2-(E\xi_j)^2\)+
2\summ_{1\le j<k\le n}(E\xi_j\xi_k-E\xi_j E\xi_k).
\endalign
$$
\'es $E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\Var\xi_j$, $E\xi_j\xi_k-E\xi_j
E\xi_k=\Cov(\xi_j,\xi_k)$.
\medskip
Megmutatjuk a (gyakorlaton), hogy a fenti eredm\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel viszonylag egy\-sze\-r\H{u}\-en meg tudjuk
oldani a k\"ovetkez\H{o} k\'et feladatot. \medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen egy urn\'aban 30 piros \'es 70 feh\'er goly\'o.
H\'uzzunk ki 20 goly\'ot visszatev\'es n\'elk\"ul.
Sz\'amoljuk ki a kih\'uzott piros goly\'ok
sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\"or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} Feldobunk egy dob\'okock\'at, majd ezut\'an egy szab\'alyos
p\'enzdarabot annyi alkalommal, amennyi a kockadob\'as eredm\'enye
volt. (Az egyes dob\'asok eredm\'enyei f\"uggetlenek egym\'ast\'ol.)
Sz\'amoljuk ki a fejdob\'asok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\medskip
V\'ag\"ul t\'argyaltuk azt, hogyan lehet kisz\'amolni f\"uggetlen,
diszkr\'et eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek az eloszl\'as\'at, majd defini\'altuk
diszkr\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
el\-osz\-l\'a\-sai\-nak a konvoluci\'oj\'at, \'es
n\'eh\'any megjegyz\'est tet\"unk ezzel kapcsolatban.
 
Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, diszkr\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melyek valamilyen
$x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekeket vesznek fel. Ekkor ezek \"osszege a
$\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o szint\'en
diszkr\'et \'es eloszl\'as\'at ki tudjuk sz\'amolni a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon:
$$
P(\xi+\eta=x)= \!\!\! \summ_{(x_j,x_k)\:x_j+x_k=x} \!\!\!
P(\xi_j=x_j,\eta=x_k)
= \!\!\! \summ_{(x_j,x_k)\:x_j+x_k=x} \!\!\!  P(\xi_j=x_j)P(\eta=x_k)
$$
Ez a k\'eplet egyszer\H{u}s\"odik abban a fontos speci\'alis esetben,
ha a f\"uggetlen $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok csak eg\'esz \'ert\'ekeket vesznek fel, \'es m\'eg
egyszer\H{u}bb, ha csak nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesznek
fel. Azt az eredm\'enyt, melyet ebben a speci\'alis esetben kapunk
fogalmazzuk meg t\'etel form\'aj\'aban. \medskip \noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen,
eg\'esz \'ert\'ekeket felvev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. Ekkor a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
is csak eg\'esz \'ert\'ekeket vesz fel, \'es
$$
P(\xi+\eta=n)=\sum_{k=-\infty}^\infty P(\xi=k) P(\eta=n-k), \quad
n=0,\pm1, \pm2,\dots.
$$
Ez a formula tov\'abb egyszer\H{u}s\"odik, ha a f\"uggetlen $\xi$ \'es
$\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok csak nem negat\'{\i}v
eg\'esz \'ert\'ekeket vesznek fel. Ekkor
$$
P(\xi+\eta=n)=\sum_{k=0}^n P(\xi=k) P(\eta=n-k),\quad \text{ha }n\ge0,
$$
\'es
$$
P(\xi+\eta=n)=0,\quad \text{ha } n<0.
$$
}\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ A t\'etel els\H{o} k\'eplete azonnal
ad\'odik a t\'etel el\H{o}tt t\'argyalt \'altal\'anos esetb\H{o}l abban
az esetben, ha a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'eltoz\'ok
$x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekei eg\'esz
sz\'amok. A m\'asodik k\'eplet az els\H{o} k\'eplet k\"ovetkezm\'enye,
ha \'eszrevessz\"uk, hogy el\'eg csak azon $(k,n-k)$ p\'arokra
\"osszegezni, melyekre $P(\xi=k)P(\eta=n-k)\neq0$. Ez azt jelenti,
hogy abban az esetben, ha $\xi$ \'es $\eta$ nem negat\'{\i}v
eg\'eszeket vesznek fel, akkor az \"osszegez\'esb\H{o}l kihagyhatjuk
azokat a tagokat, melyekre $k<0$ vagy $n-k<0$, azaz $k>n$. \medskip
A fenti eredm\'eny miatt \'erdemes bevezetni a k\"ovetkez\H{o}
definici\'ot. \medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et, eg\'esz \'ert\'ek\H{u}  eloszl\'as\'asok
konvoluci\'oj\'anak a definici\'oja.} {\it Legyen
$$
\Cal P=\{p_k\: k=0,\pm1,\pm2,\dots\}\quad\text{\'es}\quad
\Cal Q=\{q_k\: k=0,\pm1,\pm2,\dots\}
$$
k\'et az eg\'esz sz\'amokon \'ertelmezett diszkr\'et elosz\'as, azaz
tegy\"uk fel, hogy $p_k\ge0$, $q_k\ge0$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$,
$\summ_{k=-\infty}^\infty p_k=1$ \'es $\summ_{k=-\infty}^\infty q_k=1$.
Ekkor a $\Cal P$ \'es $\Cal Q$ eloszl\'asok konvoluci\'oja, az a
$\Cal R=\Cal P*\Cal Q=\{r_n\: n=0,\pm1,\pm2,\dots\}$ eloszl\'as, melyre
$$
r_n=\sum_{k=-\infty}^\infty p_k q_{n-k}, \quad n=0,\pm1,\pm2,\dots.
$$
Abban a speci\'ais esetben, ha $p_k=0$ \'es $q_k=0$ $k<0$ eset\'en,
akkor $r_n=0$ $n<0$ eset\'en, \'es
$$
r_n=\sum_{k=0}^n p_k q_{n-k}, \quad n=0,1,2,\dots.
$$
}\medskip
\'Erdemes a k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etelt tenni. Legyen $f(x)$ \'es
$g(x)$ k\'et f\"uggv\'eny, melyek hatv\'anysorba fejthet\H{o}ek, azaz,
$$
f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k x^k, \quad
g(x)=\sum_{k=0}^\infty b_k x^k,
$$
ha $-A<x<A$ valamilyen $A>0$ sz\'ammal. Ekkor az $f(x)g(x)$ szorzat is
sorba fejthet\H{o}, azaz
$$
f(x)g(x)=\sum_{n=0}^\infty c_n x^n
$$
(ugyanabban a $-A<x<A$ intervallumban), \'es
$$
c_n=\summ_{k=0}^n a_kb_{n-k}.
$$
Vegy\"uk \'eszre, hogy a fenti hatv\'anysorokban szerepl\H{o} $a_k$,
$b_k$ \'es $c_n$ egy\"utthat\'ok k\"oz\"ott hasonl\'o rel\'aci\'o
\'erv\'enyes mint ami a konvoluci\'o definici\'oj\'aban szerepelt.
Ezek\'{\i}v\"ul \'erdemes tudni a k\"ovetkez\H{o} anal\'{\i}zisben
bizony\'{\i}tott eredm\'enyeket.
\medskip
\item{a.)} Ha az $f(x)$ f\"uggv\'eny hatv\'anysorba fejthet\H{o},
azaz $f(x)=\summ_{k=0}^\infty a_k x^k$ valamilyen $-A<x<A$
intervallumon, $A>0$, akkor az $f(x)$ f\"uggv\'eny \'ert\'ekei a
$-A<x<A$ intervallumon meghat\'arozz\'ak az $a_n$ egy\"utthat\'okat.
(S\H{o}t azok explicit m\'odon kisz\'am\'{\i}that\'oak az $n! a_n
=\left.\dfrac{d^nf(x)}{dx^n}\right|_{x=0}$ k\'eplet
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.)
\item{b.)} Ha $f_n(x)$, $n=1,2,\dots$, f\"uggv\'enyeknek egy olyan
sorozata melyek mindegyike el\H{o}\'all\'{\i}that\'o
$f_n(x)=\summ_{k=0}^\infty a_{k,n}x^k$ hatv\'anysor alakban valamilyen
$-A<x<A$, $A>0$ intervallumon, ahol az $A>0$ sz\'am nem f\"ugg az $n$
indext\H{o}l, tov\'abb\'a l\'etezik az $f(x)=\limm_{n\to \infty}f_n(x)$
hat\'ar\'ert\'ek minden $-A<x<A$ sz\'amra, akkor az $f(x)$
hat\'arf\"uggv\'eny is hatv\'anysorba fejthet\H{o}
$f(x)=\summ_{k=0}^\infty a_kx^k$ alakban a $-A<x<A$ intervallumon.
Tov\'abb\'a $a_k=\limm_{n\to\infty}a_{k,n}$ minden
$k=0,1,2,\dots$ egy\"utthat\'ora.
\medskip
K\'es\H{o}bb l\'atni fogjuk, hogy a hatv\'anysorok fent eml\'{\i}tett
tulajdons\'agai j\'ol hasz\-n\'al\-ha\-t\'o\-ak bizonyos
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vizsg\'alatokban.
 
 
 \bye
 
 
 
 
 
