\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A febru\'ar 6-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o gyakorlat
feladatai.}  \medskip\noindent
{\it Feladatok:}
\medskip
\item{1.} K\'et ember 8 \'es 9 \'ora k\"oz\"ott megjelenik egy t\'eren
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul \'es egyenletes eloszl\'asal. Mind a
kett\H{o} f\'el\'or\'at v\'ar a m\'asikra, \'es ha az addig nem j\"on,
akkor hazamegy. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
tal\'alkoznak?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Tekints\"uk az
egys\'egn\'egyzetet, \'es v\'alasszuk azt a v\'eletlen pontot az
egys\'egn\'egyzeten, melynek $x$ koordin\'at\'aja megadja, hogy az
els\H{o} ember az $y$ koordin\'at\'aja pedig megadja, hogy a m\'asodik
ember ember mikor \'erkezett. Ekkor  az \'{\i}gy defini\'alt pont
egyenletes eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten, azaz annak
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy ez a pont az
egys\'egn\'egyzet egy (sz\'ep) r\'eszhalmaz\'aba esik meg\-egye\-zik e
halmaz ter\"ulet\'evel. Az, hogy a k\'et ember tal\'alkozik azt az
esem\'enyt jelenti, hogy az \'{\i}gy defini\'alt $(x,y)$ pont az
egys\'egn\'egyzet
$$
A=\left\{(x,y)\:-\frac12\le y-x\le \frac12\right\}\cap[0,1]\times
[0,1]
$$
r\'eszhalmaz\'aba esik. Ennek a halmaznak a ter\"ulete
$1-2\cdot\dfrac18=\dfrac34$, \'es ez a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg.
\item{2.} K\'et egy m\'eter hossz\'u botot v\'eletlenszer\H{u}en,
(egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul) egyenletes eloszl\'assal elt\"or\"unk.
A k\'et r\"ovidebb darabot \"osszeragasztjuk. Mi annak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy az \'{\i}gy kapott \'uj bot
hossza kisebb mint $0.8$ m\'eter?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Ez a feladat is hasonl\'o
m\'odon t\'argyalhat\'o. Tekints\"uk az egy\-s\'eg\-n\'egy\-ze\-tet,
\'es v\'alasszuk azt a v\'eletlen pontot az egys\'egn\'egyzeten,
melynek $x$ koordin\'at\'aja megadja, hogy  hol t\"ort\"uk el az
els\H{o} botot az $y$ koordin\'at\'aja pedig azt, hogy hol t\"ort\"uk
el a m\'asodik botot. Ekkor  az \'{\i}gy defini\'alt pont egyenletes
eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten. Az az esem\'eny, hogy az
\"osszeragasztott bot hossza kisebb mint $0.8$ megegyezik annak az
esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az $(x,y)$ pont a
k\"ovetkez\H{o} $A_1$, $A_2$, $A_3$ \'es  $A_4$ halmazok
$A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4$ uni\'oj\'aba esik:
$A_1=\{(x,y)\: x+y<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$,
$A_2=\{(x,y)\: x+(1-y)<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$,
$A_3=\{(x,y)\: 1-x+y<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$ \'es
$A_4=\{(x,y)\: 1-x+1-y<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$. Rajzoljuk le ezeket
a halmazokat. Az \'abra mutatja, hogy az $A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4$
halmaz komplementere az a n\'egyzet melynek cs\'ucsai a
$(0.3,\,0.5)$, $(0.5,\,0,3)$, $(0.7,\,0.5)$, \'es $(0.5,\,0.7)$ pontok.
Ennek a n\'egyzetnek a ter\"ulete, $0.08$ teh\'at a minket \'erdekl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $1-0.08=0.92$.
\medskip
K\'es\H{o}bb tanulni fogunk olyan m\'odszereket, melyek lehet\H{o}v\'e
teszik e k\'et feladat megold\'as\'at m\'as m\'odon. Akkor majd vissza
fogunk t\'erni ezekhez a feladatokhoz.
\medskip
\item{3.} Egy p\'enzdarabot, mely $\frac13$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej \'es $\frac23$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldal\'ara feldobunk
(egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul) 10-szer egym\'as ut\'an. Adjunk erre
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellt.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $\oo$ egy elemi esem\'eny egy 10
hossz\'us\'ag\'u fej-\'{\i}r\'as sorozat. Te\-kint\-s\"uk az \"osszes
ilyen sorozatb\'ol \'all\'o halmazt, ez legyen $\Omega$, a biztos
esem\'eny. Legyenek a $\Cal A$ $\sigma$-algebra elemei az $\Omega$
halmaz r\'eszhalmazai. (Az \"osszes lehets\'eges r\'eszhalmazt
tekintj\"uk.) Defini\'alnunk kell m\'eg egy $A\in\Cal A$
halmaz (esem\'eny) va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et $P(A)$ is.
Ezt a k\"ovetkez\H{o} m\'odon tessz\"uk: $P(A)=\summ_{\oo\in
A}P(\{\oo\})$, \'es $P(\{\oo\})=\(\frac13\)^k\cdot\(\frac23\)^{10-k}$,
ha az $\oo$ elemi esem\'eny olyan sorozat, amelyik $k$ fej \'es $10-k$
\'{\i}r\'asjelb\H{o}l \'all. (Ugyanis minden fej-dob\'as eset\'en
$\frac13$ \'es minden \'{\i}r\'as-dob\'as eset\'en $\frac23$-dal, a
fej, illetve  \'{\i}r\'asdob\'as val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel kell
megszorozni a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget.)
\item{4.} Egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk 25 goly\'ot
\smallskip
\itemitem{a.)} visszatev\'essel,
\itemitem{b.)} visszatev\'es n\'elk\"ul.
\smallskip
Adjunk erre val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellt mind a k\'et esetben.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az el\H{o}z\H{o} feladat megold\'as\'ahoz
hasonl\'o konstrukci\'ot adhatunk. Legyenek az $\oo$ elemi esem\'enyek
a 25 hossz\'us\'ag\'u $P$, $F$ (piros, feh\'er) jelekb\H{o}l \'all\'o
sorozatok, az $\Omega$ biztos esem\'eny az \"osszes ilyen sorozatb\'ol
\'all\'o halmaz, $\Cal A$ az $\Omega$ r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o
halmaz, $P(A)=\summ_{\oo\in A}P(\{\oo\})$, minden $A\in\Cal A$
halmazra, \'es defini\'alnunk kell m\'eg a $P(\{\oo\})$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket. Eddig a pontig az a.) \'es b.) esetet
kiel\'eg\'{\i}t\H{o} konstrukci\'o nem k\"ul\"onb\"oz\"ott. A
k\"ul\"onbs\'eg az lesz, hogy a k\'et esetben m\'ask\'epp fogjuk
defini\'alni a $P(\{\oo\})$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket. Az a.)
esetben, amikor visszatev\'essel h\'uzzuk ki a goly\'okat, egy olyan
$\oo$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, amelyik $k$ $P$ \'es $25-k$ $F$ jelet
tartalmaz $\(\frac25\)^k\(\frac35\)^{25-k}$, mert minden piros
h\'uz\'asnak $\frac{20}{50}$ \'es minden feh\'ar h\'uz\'asnak
$\frac{30}{50}$ a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, (a h\'uz\'as el\H{o}tt
az urn\'aban lev\H{o} piros illetve feh\'er goly\'ok sz\'ama osztva az
urn\'aban lev\H{o} goly\'ok sz\'am\'aval.) A b.) eseben, amikor
visszatev\'es n\'elk\"ul h\'uzzuk a goly\'okat, egy olyan $\oo$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, amelyik $k$ $P$ \'es $25-k$ $F$ jelet
tartalmaz $\dfrac{25\cdot24\cdots(25-k+1)\cdot
30\cdot29\cdots(30-(25-k)+1)}{50\cdot49\cdots26}$. Ugyanis egy
el\H{o}\'{\i}rt h\'uz\'assorozat valosz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\prodd_{j=1}^{25}\dfrac{l(j)}{50-j+1}$, ahol $l(j)$ az a $j-1$-ik
h\'uz\'as ut\'an az urn\'aban maradt piros goly\'ok sz\'ama, ha a
$j$-ik h\'uz\'as piros, \'es a $j-1$-ik h\'uz\'as ut\'an az urn\'aban
maradt feh\'er goly\'ok sz\'ama, ha a $j$-ik h\'uz\'as feh\'er.
Gondoljuk meg, hogy ez a kifejez\'es megegyezik a megadott
formul\'aval, ha $k$ feh\'er \'es $25-k$ piros h\'uz\'as t\"ort\'ent.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 10-szer egym\'as ut\'an. Adjunk
erre va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi modellt.
\medskip
\item{5.} Reggel valaki hazulr\'ol elmenve a lak\'askulcsot elteszi,
m\'egpedig \'ugy, hogy 0.5 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel teszi a
kab\'atzseb\'ebe, 0.3 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a nadr\'agzseb\'ebe
\'es 0.2 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a mell\'enyzseb\'ebe.
A nap folyam\'an mindenfel\'e j\'ar, ez\'ert a lak\'askulcs a
kab\'atzseb\'eb\H{o}l 0.1, a nadr\'agzseb\'eb\H{o}l 0.2, a
mell\'enyzseb\'eb\H{o}l viszont 0 va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
esik ki. Este hazat\'erve ember\"unk  el\H{o}sz\"or a kab\'at majd a
nad\-r\'ag\-zse\-b\'e\-ben keresi a kulcsot, de egyik helyen sem
tal\'alja. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a lak\'askulcs
ott van a mell\'enyzseb\'eben?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt, hogy
ember\"unk a lak\'askulcsot a kab\'at $A_2$, hogy a nadr\'ag \'es
$A_3$, hogy a mell\'enyzseb\'ebe tette. Jel\"olje tov\'abb\'a $B$ azt
az esem\'enyt, hogy a kulcs nem veszett el. Ekkor felt\'eteleink
szerint az $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ esem\'enyek egym\'ast kiz\'ar\'oak,
$P(A_1)=0.5$, $P(A_2)=0.3$, $P(A_3)=0.2$ tov\'abb\'a $P(B|A_1)=0.9$,
$P(B|A_2)=0.8$ \'es $P(B|A_3)=1$. Vezess\"uk be a
$C=(\bar B\cap A_1)\cup (\bar B\cap A_2)\cup A_3$ esem\'enyt. Ekkor $C$
jelenti azt az esem\'enyt, hogy ember\"unk este nem tal\'alta a
lak\'askulcsot sem a kab\'at sem a nadr\'agzseb\'eben. Ez\'ert minket a
$P(B|C)=\dfrac{P(B\cap C)}{P(C)}$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Viszont $P(C)=P(A_1\cap \bar
B)+P(A_2\cap \bar B)+P(A_3)=P(\bar B|A_1)P(A_1)+P(\bar
B|A_2)P(A_2)+P(A_3)=0.1\cdot 0.5+0.2\cdot 0.3+0.2=0.31$, \'es
$P(B\cap C)=P(B\cap A_3)=P(A_3)=0.2$. Innen a minket \'erdekl\H{o}
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke
$\dfrac{0.2}{0.31}=\dfrac{20}{31}$.
\item{6.} A Fazekas k\"onyv egyik feladata (3.4 P\'elda a 32. oldalon)
arr\'ol sz\'ol, hogy ha egy $n$ l\'etsz\'am\'u csoportban $r$
v\'eletlen\"ul kiv\'alasztott di\'aknak dolgozatot kell \'{\i}rni, mi
annak a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legrosszabb
di\'aknak is dolgozatot kell \'{\i}rni, felt\'eve, hogy a legjobb
di\'ak is dolgozatot \'{\i}r. Heurisztikusan \'ugy \'ervelhet\H{u}nk,
hogy ha a legjobb di\'ak dolgozatot \'{\i}r, akkor annak
(felt\'eteles) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legrosszabb di\'ak
is dolgozatot \'{\i}r, azzal egyenl\H{o}, hogy a marad\'ek $n-1$ di\'ak
k\"oz\"ul \H{o}t is kiv\'alasztj\'ak a marad\'ek $r-1$
dolgozat\'{\i}r\'o k\"oz\'e, teh\'at $\dfrac{r-1}{n-1}$. Kiss\'e
pontosabban, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mind a ketten
dolgozatot \'{\i}rnak, $\dfrac{r(r-1)}{n(n-1)}$, annak, hogy a
legjobb di\'ak dolgozatot \'{\i}r $\dfrac rn$, ahonnan k\"ovetkezik az
\'all\'{\i}t\'as. Ha a k\"onyvben szerepl\H{o} eredm\'enyt
egyszer\H{u}bb alakra hozzuk, l\'atjuk hogy az eredm\'eny helyes.
Adjunk k\"ozvetlen, a szeml\'eletet k\"ovet\H{o} prec\'{\i}z
bizony\'{\i}t\'ast arra, hogy a fenti formul\'ak az adott
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre helyesek.
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Az urna visszatev\'es n\'elk\"uli h\'uz\'as
modellj\'enek \'ervel\'es\'et alkalmazhatjuk ebben az esetben is.
Tegy\"uk fel, hogy egym\'as ut\'an kiv\'alasztjuk a dolgozatot
\'{\i}r\'okat, Minden l\'ep\'esben az eddig ki nem v\'alasztottak
valamelyik\'et v\'alasztjuk ki egforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Ha
kijel\"ulj\"uk (az urn\'ab\'ol val\'o h\'uz\'asn\'al szerepl\H{o}
\'ervel\'est haszn\'alva) egy k\"ul\"on (egy elem\H{u}) csoportba a
legjobb, egy k\"ul\"on (egy elem\H{u}) csoportba a legrosszabb
di\'akot, egy k\"ul\"on csportba az \"osszes t\"obbit, akkor
r\"ogz\'{\i}tve egy $1\le j,k\le r$, $j\neq k$ sz\'amp\'art kapjuk,
hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik
v\'alaszt\'asn\'al v\'alasztunk az els\H{o}, a $k$-ik v\'alaszt\'askor
a m\'asodik csoportb\'ol, megegyezik annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o} v\'alaszt\'askor
v\'alasztunk az els\H{o}  \'es a m\'asodik v\'alaszt\'askor a m\'asodik
csoportb\'ol. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege viszont
$\dfrac1{n(n-1)}$. Mivel  a fenti esem\'enyek k\"ul\"onb\"oz\H{o}
$(j,k)$ sz\'amp\'arokra kiz\'arj\'ak egym\'ast, ez\'ert annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legjobb \'es alegrosszabb di\'ak
is dolgozatot \'{\i}r $\dfrac{r(r-1)}{n(n-1)}$. Hasonl\'oan,
l\'athat\'o, hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legjobb
di\'ak dolgozatot \'{\i}r az $\dfrac rn$ sz\'ammal egyenl\H{o}.
 
\item{7.} Egy di\'ak a feltett k\'erd\'esre (h\'arom lehet\H{o}s\'eg
k\"oz\"ul kell kiv\'alasztani a megfelel\H{o}t) $p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel tudja a helyes v\'alaszt. Ha nem tudja,
akkor tippel, \'es ez $\dfrac13$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel ad helyes
eredm\'enyt. Mi a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
tudja a v\'alaszt felt\'eve, hogy helyes v\'alaszt adott?
\medskip
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A$ azt az esem\'enyt, hogy tudja
a helyes v\'alaszt, $B$ azt az esem\'enyt, hogy helyes v\'alaszt ad. A
$P(A|B)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'ek\'ere vagyunk
ki\-v\'a\-ncsi\-ak. Ekkor $P(A)=P(A\cap B)=p$, $P(B)=P(A\cap B)+P(\bar
A\cap B)=P(A)+\dfrac13 P(\bar A)=p+\dfrac13(1-p)$. Innen $P(A|B)=\dfrac
p{p+\frac13(1-p)}$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} A zseb\"unkben van 30 kulcs, melyek k\"oz\"ul az egyik nyit
egy z\'arat. Egym\'as ut\'an kiprob\'aljuk v\'eletlenszer\H{u}en
kipr\'ob\'alva ezeket a kulcsokat. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
annak, hogy a 20. kis\'erletre siker\"ul kinyitni a z\'arat? Mi annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 20. kis\'erletben siker\"ul
kinyitni a z\'arat felt\'eve, hogy az els\H{o} 19 kis\'erletben ez nem
siker\"ult? \medskip
\item{8.)} Feldobunk egy dob\'okock\'at, majd ut\'ana annyi
dob\'okock\'at, amennyi az els\H{o} dob\'as eredm\'enye volt. Mi a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy a m\'asodik dob\'assorozatban
lesz hatos? Mi annak a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
az els\H{o} dob\'as eredm\'enye hatos, ha a m\'asodik
dob\'assorozatban nem volt hatos?
\medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tekints\"unk azokat az esem\'enyeket,
melyek le\'{\i}rj\'ak a lehets\'eges do\-b\'as\-so\-ro\-za\-tok
eredm\'eny\'et, \'es adjuk meg ezek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et.
Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} dob\'as eredm\'enye
$i$, majd ezt k\"ovet\H{o}en egy $i$ hossz\'us\'ag\'u 1 \'es 6
k\"oz\"otti sz\'amokat tartalmaz\'o dob\'assorozatot kapunk
$\(\dfrac16\)^{i+1}$. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az
els\H{o} dob\'as eredm\'enye $i$, \'es az utols\'o $i$ dob\'as egyike
sem hatos, $\dfrac16\cdot\(\dfrac56\)^i$. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a m\'asodik dob\'assorozatban van
hatos
$$
\dfrac16\(\(1-\dfrac56\)+\cdots+\(1-\(\dfrac56\)^6\)\).
$$
Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} dob\'as hatos,
ut\'ana pedig van hatos dob\'as $\dfrac16\(1-\(\dfrac56\)^6\)$.
Ez\'ert a keresett felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$$
\dfrac{1-\(\dfrac56\)^6}{\(1-\(\dfrac56\)\)+\cdots+\(1-\(\dfrac56\)^6\)}.
$$
\item{9.)} H\'arom g\'ep gy\'art csavarokat, az egyik 0.01 a m\'asodik
0.02 a harmadik 0.03 va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel gy\'art
hib\'as csavarokat. A csavarokat egy rakt\'arba viszik \"osszekeverik.
Egy gy\'artott csavar 0.5 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult az
els\H{o} 0.3 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a m\'asodik \'es 0.2
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult a harmadik g\'epen.
Kivesz\"unk egy csavart, megn\'ezz\"uk, \'es azt tal\'aljuk, hogy az
hib\'as. Milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult a csavar eme
felt\'etelek mellett az els\H{o} g\'epen?
\item{} {\it Megold\'as:} Jl\"olje $A_1$, $A_2$ illetve $A_3$ azt az
esem\'enyt, hogy a csavar az els\'o, m\'asodik vagy harmadik g\'epen
k\'esz\"ult, $B$ azt az esem\'enyt, hogy a csavar hib\'as. Ekkor minket
a $P(A_1|B)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Tudjuk,
hogy $P(A_1)=0.5$, $P(A_2)=0.3$, $P(A_3)=0.2$, tov\'abb\'a
$P(B|A_1)=0.01$, $P(B|A_2)=0.02$, \'es $PB(B|A_3)=0.03$. Ekkor
$$
\align
P(A_1|B)&=\frac{P(B\cap A_1)}{P(B)}=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B\cap
A_1)+ P(B\cap A_2)+P(B\cap A_3)}\\
&=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+
P(B|A_2)P(A_2)+P(B|A_3)P(A_3)}\\
&=\frac{0.01\cdot 0.5}{0.01\cdot 0.5+0.02\cdot0.3+0.03\cdot 0.2}.
\endalign
$$
\item{10.} Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy
(szab\'alyos) dob\'okocka mindk\'et dob\'as\'anak az eredm\'enye hatos
felt\'eve, hogy legal\'abb az egyik hatos?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt,
hogy az els\H{o} dob\'as eredm\'enye hatos, $A_2$ azt az esem\'enyt,
hogy a m\'asodik dob\'as eredm\'enye hatos. Akkor minket a $P(A_1\cap
A_2|A_1\cup A_2)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel.
Viszont
$$
P(A_1\cap A_2|A_1\cup A_2)=\dfrac{P((A_1\cap A_2)\cap(A_1\cup
A_2))}{P(A_1\cup A_2)}=\dfrac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1\cup A_2)}.
$$
M\'asr\'eszt $P(A_1\cap A_2)=\dfrac1{36}$, $P(A_1\cup A_2)=1-P(\bar
A_1\cap \bar A_2)=1-\dfrac{25}{36}=\dfrac{11}{36}$. Innen a keresett
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\dfrac1{11}$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\item{} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk h\'aromszor egym\'as
ut\'an. Mi a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy mind
a h\'arom dob\'as fej, felt\'eve, hogy legal\'abb k\'et fejdob\'as
t\"ort\'ent?
 
 
\bye
 
 
 
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_j$ azt az esem\'enyt, hogy
pont a $j$-ik h\'uz\'asra s\'{\i}ker\"ul kih\'uzni a j\'o kulcsot,
$B_j=A_1\cup\cdots\cup A_j$ azt az esem\'enyt, hogy az els\H{o} $j$
kih\'uzott kulcs egyike a j\'o kulcs. Ezeknek az esem\'enyeknek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, $P(A_j)=\dfrac{1}{30}$ \'es
$P(B_j)=\dfrac{j}{30}$. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 20.
h\'uz\'asban h\'uzzuk ki a j\'o kulcsot $F(A_{20})=\dfrac1{30}$. Annak
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 20. h\'uz\'asban
h\'uzzuk ki a j\'o kulcsot felt\'eve, hogy az els\H{o} 19 dob\'asban
nem s\'{\i}ker\"ult azt kih\'uzni, $P(A_{20}|\bar B_{19})
=\dfrac{P(A_{20}\cap\bar B_{19})}{P(\bar B_{19})}=\dfrac{F(A_{20})}
{1-P(B_{19})} =\dfrac{\frac1{30}}{1-\frac{19}{30}}=\dfrac{1}{11}$. (A
fenti sz\'amol\'asban $\bar A$ jel\"oli egy $A$ halmaz
komplementer\'et.)
