\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\noindent{\bf A m\'ajus 8-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai}
\medskip
\medskip\noindent
\item{1.} Legyen $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel \'es $D$ kovariancia m\'atrix-szal. Legyenek a
$\lambda_1,\dots,\lambda_k$ sz\'amok a $D$ m\'atrix saj\'at\'ert\'ekei
(multiplicit\'assal). Bizony\'{\i}tsuk be (alapvet\H{o}
line\'aris algebrai ismeretek felhaszn\'al\'as\'aval), hogy a
$\summ_{j=1}^k\eta_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asa megegyezik egy $\summ_{j=1}^k\lambda_j\xi_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval,
ahol $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $D$ m\'atrix fel\'{\i}rhat\'o
$D=U\Lambda U^*$ alakban, ahol $U$ unit\'er, $\Lambda$ pedig olyan
diagon\'alis m\'atrix, melynek \'atl\'oj\'aban a $D$ m\'atrix
$\lambda_j$ saj\'at\'ert\'ekei vannak. (Az $U$ m\'atrix is
fel\'{\i}rhat\'o explicit m\'odon a $D$ n\'atrix saj\'atvektorainak
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, de erre a t\'enyre itt nincs sz\"uks\'eg\"unk.)
Az $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektor eloszl\'asa
megegyezik egy $\bar\eta=(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)
=\xi\Lambda^{1/2} U^* =(\xi_1,\dots,\xi_k)\Lambda^{1/2} U^*$
v\'eletlen vektor eloszl\'as\'aval, ahol a $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor standard norm\'alis eloszl\'as\'u. Val\'oban
$\bar\eta$ norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen
vektor, melynek v\'arhat\'o \'ert\'eke nulla \'es kovariancia
m\'atrixa a $(\Lambda^{1/2}U^*)^*\Lambda^{1/2}U^*
=U\Lambda^{1/2}\Lambda^{1/2} U^*=U\Lambda U^*=D$ m\'atrix. Ez\'ert
a $\summ_{j=1}^k\eta_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asa megegyezik a $\summ_{j=1}^k\bar\eta_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval. Vegy\"uk
\'eszre, hogy az $\tilde\eta=(\tilde\eta_1,\dots,\tilde\eta_k)
=\bar\eta U=(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)U$ vektorra teljes\"ul a
$\summ_{j=1}^k\bar\eta_j^2=\summ_{j=1}^k\tilde\eta_j^2$ azonoss\'ag,
mert $U$ unit\'er, teh\'at t\'avols\'agtart\'o
transz\-for\-m\'a\-ci\'o. Viszont $\tilde\eta=\bar\eta
U=\xi\Lambda^{1/2}U^*U=\xi\Lambda^{1/2}$.
Ez azt jelenti, hogy a $\summ_{j=1}^k\eta_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa megegyezik a
$\summ_{j=1}^k(\lambda_j^{1/2}\xi_j)^2=\summ_{j=1}^k\lambda_j\xi_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval, \'es ez a
feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\item{2.} Legyen $(\xi_1,\dots,\xi_m)$ $m$-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\varphi_1(t_1,\dots,t_m)$
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'ennyel, $(\eta_1,\dots,\eta_n)$
$n$-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\varphi_2(t_1,\dots,t_n)$ ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'ennyel.
A $(\xi_1,\dots,\xi_m)$  \'es $(\eta_1,\dots,\eta_n)$ v\'eletlen
vektorok akkor \'es csak akkor f\"uggetlenek egym\'ast\"ol, ha a
$(\xi_1,\dots,\xi_m,\eta_1,\dots,\eta_n)$ $n+m$-dimenzi\'os
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
$\varphi_1(t_1,\dots,t_{n+m})$ karakterisztikus f\"uggv\'enye
$$
\varphi(t_1,\dots,t_{n+m})=
\varphi_1(t_1,\dots,t_m)\varphi_2(t_{m+1},\dots,t_{m+n})
$$
alakban \'{\i}rhat\'o.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ha a $(\xi_1,\dots,\xi_m)$ \'es
$(\eta_1,\dots,\eta_n)$ v\'eletlen vektorok f\"uggetlenek, akkor a
$(\xi_1,\dots,\xi_m,\eta_1,\dots,\eta_n)$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye
$$
\align
\varphi(t_1,\dots,t_{n+m})
&=Ee^{i(t_1\xi_1+\cdots+t_m\xi_m+t_{m+1}\xi_{m+1}
+\cdots+t_{m+n}\xi_{m+n})}\\
&=Ee^{i(t_1\xi_1+\cdots+t_m\xi_m)}Ee^{i(t_{m+1}\xi_{m+1}
+\cdots+t_{m+n}\xi_{m+n})} \\
&=\varphi_1(t_1,\dots,t_m)\varphi_2(t_{m+1},\dots,t_{m+n})
\endalign
$$
alakban \'{\i}rhat\'o.
\item{} Megford\'{\i}tva, ha a
$(\xi_1,\dots,\xi_m,\eta_1,\dots,\eta_n)$  v\'eletlen vektor
karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nye teljes\'{\i}ti a
$\varphi(t_1,\dots,t_{n+m})=
\varphi_1(t_1,\dots,t_m)\varphi_2(t_{m+1},\dots,t_{m+n})$
azonoss\'agot, akkor $\varphi_1(t_1,\dots,t_m)=
\varphi(t_1,\dots,t_{m},0,\dots,0)$ a $(\xi_1,\dots,\xi_m)$, \'es
hasonl\'oan $\varphi_2(t_1,\dots,t_n)$ az $(\eta_1,\dots,\eta_n)$
v\'eletlen vektornak a karakterisztikus f\"uggv\'enye. Tekints\"unk
k\'et f\"ug\-get\-len $m$ illetve $n$-dimenzi\'os v\'eletlen vektort,
melyek eloszl\'asa megegyezik a $(\xi_1,\dots,\xi_m)$  illetve
$(\eta_1,\dots,\eta_n)$ v\'eletlen vektorok eloszl\'as\'aval, \'es
ezenk\'{\i}v\"ul f\"ug\-get\-le\-nek egym\'ast\'ol. Ezeknek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak a karakterisztikus
f\"uggv\'enye a $\varphi_1$ illetve $\varphi_2$, egy\"uttes
eloszl\'asuk pedig a $\varphi(t_1,\dots,t_{n+m})$ f\"uggv\'eny.
Mivel egy v\'eletlen vektor karakterisztikus f\"uggv\'enye
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza e v\'eletlen vektor
eloszl\'as\'at, innen k\"ovetkezik, hogy a $(\xi_1,\dots,\xi_m)$
\'es $(\eta_1,\dots,\eta_n)$ v\'eletlen vektorok f\"uggetlenek.
\medskip
Nem k\"otelez\H{o} h\'azifeladat:
\medskip
\item{} Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, sorozata, akkor \'es csak akkor konverg\'al egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, ha az $\eta_n=\supp_{k\ge n}|\xi_k-\xi|$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata sztochasztikusan
konverg\'al null\'ahoz, azaz minden $\e>0$ sz\'amra
$P\(\limm_{n\to\infty}\supp_{k\ge n}|\xi_k-\xi|>\e\)=0$.
\medskip
Nem k\"otelez\H{o} h\'azifeladat:
\medskip
\item{a.)} Ha $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sztochasztikusan konverg\'alnak egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, akkor a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban is
konverg\'alnak ehhez a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz.
\item{b.)} Ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a megford\'{\i}t\'asa nem
igaz. P\'eld\'aul, ha $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"ug\-get\-len,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
melyek nem elfajultak, azaz nincs olyan konstans melyeket ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesznek fel, akkor a $\xi_n$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'al\-to\-z\'ok eloszl\'asban
konverg\'alnak a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz,
viszont nem konverg\'alnak sztochasztikusan.
\item{c.)} Viszont igaz a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'as: Ha
$\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
el\-osz\-l\'as\-ban konverg\'alnak egy $a$ konstanshoz, (azaz
egy  olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, mely egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az $a$ konstanst veszi fel, akkor a
$\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat sztochasztikusan is konverg\'al
ehhez az $a$ konstashoz. \medskip
Nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat.
\medskip
\item{} A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o abszolut
\'ert\'ek\'enek akkor \'es csak akkor l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke,
ha $\summ_{n=1}^\infty P(|\xi|>n)<\infty$,  a $|\xi|$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak akkor \'es csak
akkor van v\'eges m\'asodik momentuma, ha $\summ_{n=1}^\infty
nP(|\xi|>n)<\infty$. \'Altal\'anosabban $E|\xi|^k<\infty$ valamilyen
$k=1,2,\dots$, sz\'amra akkor \'es csak akkor, ha $\summ_{n=1}^\infty
n^{k-1}P(|\xi|>n)<\infty$.
\medskip
Nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat
\medskip
\item{} Legyen $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok so\-ro\-za\-ta,
az $f(x)=\dfrac C{x^2\log |x|}$, ha $|x|>2$. $f(x)=0$, ha $|x|\le 2$,
k\'eplettel megadott s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel.
($\dsize\int_{|x|>2}\frac {C\,dx}{x^2\log |x|}=1$.)
Defini\'aljuk az $S_n=\summ_{k=1}^m\xi_k$, $n=1,2,\dots$,
r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-ket. L\'assuk be, hogy $E|\xi_1|=\infty$,
ez\'ert ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem
teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et. M\'asr\'eszt az $\dfrac{S_n}n$
\'atlagok szto\-chasz\-ti\-ku\-san tartanak null\'ahoz, azaz minden
$\e>0$ sz\'amra $P\(\left|\dfrac{S_n}n\right|>\e\)\to0$, ha
$n\to\infty$.
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Legyen $\bar\xi_k=\bar
\xi_k^{(n)}=\xi_k I\(|\xi_k|\le a_n\)$, $\bar{\bar\xi}_k=\bar{\bar
\xi}_k^{(n)}=\xi_k I\(|\xi_k|>a_n\)$, \'es $\bar
S_n=\summ_{k=1}^n\bar\xi_k$, $\bar{\bar
S}_n=\summ_{k=1}^n\bar{\bar\xi}_k$. Ekkor $P(|S_n|>\e n)\le
P\(|\bar S_n|>\dfrac\e2n\)+P\(|\bar{\bar S}_n|>\dfrac\e2n\)\le \dfrac
{\text {Var}\,\bar S_n}{\frac{\e^2}4n^2}+nP\(\bar{\bar \xi_1}\neq0\)$.
Adjunk az $a_n$ konstans alkalmas meg\-v\'a\-lasz\-t\'a\-s\'a\-val
(p\'eld\'aul $a_n=n$) j\'o becsl\'est a $P(|S_n|>n\e)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre.
\medskip
\item{3.} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyekre
$E\xi_1=0$ \'es $E\xi_1^2<\infty$. Legyen $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$,
$n=1,2,\dots$. Ekkor pozit\'{\i}v val\'os sz\'amok valamely $a_n$
sorozat\'ara a $\dfrac{S_n}{a_n}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok akkor \'es csak akkor tartanak sztochasztikusan
null\'ahoz $n\to\infty$ eset\'en, ha
$\limm_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{\sqrt n}=\infty$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ha
$\limm_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{\sqrt n}=\infty$, akkor
$$
P\(\dfrac{|S_n|}{a_n}>\e\)=P\(\dfrac{|S_n|}{\sqrt{n\Var\xi_1}}
>\dfrac{\e a_n} {\sqrt{n\Var\xi_1}}\)\le P\(\dfrac{|S_n|}
{\sqrt{n\Var\xi_1}}>K\)
$$
tetsz\H{o}leges $\e>0$ \'es $K>0$ sz\'amra, ha $n\ge n_0(\e,K)$.
Ez\'ert a centr\'alis hat\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'etel alapj\'an
$P\(\dfrac{|S_n|}{a_n}>\e\)\le\delta$, ha $n\ge n_0=n_0(\e,\delta)$,
azaz az $\dfrac{S_n}{a_n}$ sorozat sztochasztikusan tart null\'ahoz.
\item{} Megford\'{\i}ta, ha az $\dfrac{a_n}{\sqrt n}$ sorozat nem
tart v\'egtelenhez, akkor l\'etezik a term\'eszetes sz\'amoknak olyan
$n_k\to\infty$ r\'eszsorozata, melyre
$\limsupp_{k\to\infty}\dfrac{a_{n_k}}{\sqrt{n_k}}\le L$, ez\'ert
$$
\align
\liminf_{k\to\infty}P\(\dfrac{|S_{n_k}|}{a_{n_k}}>1\)&=
\liminf_{k\to\infty}P\(\dfrac{|S_{n_k}|}{\sqrt{n_k\Var\xi_1}}
>\dfrac{a_{n_k}} {\sqrt{n_k\Var\xi_1}}\)\\
&\ge \liminf_{k\to\infty} P\(\dfrac{|S_{n_k}|}
{\sqrt{n\Var\xi_1}}>\dfrac L{\sqrt{\Var\xi_1}}\)>0
\endalign
$$
a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an. Ez\'ert ebben az
esetben az $\dfrac{S_n}{a_n}$ sorozat nem tar sztochasztikusan
null\'ahoz.
 
 \bye
 
 
 
 
