\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 \nopagenumbers
\centerline{\bf DOLGOZAT FELADATOK}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Abban az esetben, ha egy megk\'erdezett fogalom
defin\'{\i}ci\'oj\'at t\"obb (egy\-m\'as\-sal ekvivalens) m\'odon
lehet megadni, akkor ezek mindegyike j\'o v\'alasznak min\H{o}s\"ul.
\bigskip
\item{1.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk egym\'as ut\'an
10-szer egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul. Tekints\"uk a p\'aros
eredm\'eny\H{u} dob\'asok \"osszeg\'enek a harmadik hatv\'any\'at, \'es
sz\'a\-mol\-juk ki annak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\item{2.} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye a
$\varphi(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$ f\"uggv\'eny, \'es legyen
$t$ val\'os sz\'am. Sz\'amoljuk ki az $e^{t\xi}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $Ee^{t\xi}$ v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et.
\item{3.} Egy urn\'aban 20 feh\'er \'es 30 piros goly\'o van.
Kih\'uzunk 10 goly\'ot visszatev\'es n\'elk\"ul. Sz\'amoljuk ki a
kih\'uzott piros goly\'ok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{4.} P\'eter \'es P\'al a k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot j\'atssza.
Mind a ketten feldobnak egy szab\'alyos dob\'okock\'at. Ha P\'al
dobott nagyobbat, akkor \H{o} nyer h\'arom forintot P\'etert\H{o}l, ha
P\'eter dob\'asa nagyobb, akkor P\'al fizet P\'eternek h\'arom
forintot. Ha a dob\'asok egyenl\H{o}ek, akkor senki sem fizet a
m\'asiknak. Ezt a j\'at\'ekot j\'atssz\'ak 3000 alkalommal.
Adjunk j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel \'es a mell\'ekelt norm\'alis
eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra, hogy P\'eter
legal\'abb 90 forintot nyer.
\item{5.} Legyen $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ h\'arom esem\'eny egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Mikor
mondjuk, hogy az $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ esem\'enyek  f\"uggetlenek?
\item{6.} Mikor konverg\'al $F_n(x)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyek sorozata eloszl\'asban egy $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez?
\bigskip
\centerline{\bf MEGOLD\'ASOK}
\medskip
 
\item{1.} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le10$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$,
ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 2, $\xi_j=4$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye 4, $\xi_j=6$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 6, \'es
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 1, 3, vagy 5. Legyen
$S=\summ_{j=1}^{10}\xi_j$. Ekkor minket az $ES^3$ mennyis\'eg
\'erdekel. $ES^3=E\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j\)^3$. Tov\'abb\'a,
$E\xi_j=2$, $E\xi_j^2=\dfrac{28}3$, $E\xi_j^3=48$ minden $1\le j\le10$
sz\'amra, \'es a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek. Ez\'ert
$$
\align
ES^3&=\!\!\!\! \sum\Sb 1\le j,k,l\le 10\\ \text{a $j,k,l$ indexek
k\"ul\"onb\"oz\H{o}ek}\endSb \!\!\!\!  E\xi_jE\xi_kE\xi_l
+ \!\!\!\!  \sum\Sb 1\le j,k\le 100\\ \text {a $j,k$ indexek
k\"ul\"onb\"oz\H{o}ek}\endSb \!\!\!\!  E\xi_j^2E\xi_k+\sum_{j=1}^{10
}E\xi_j^3\\
&=10\cdot 9\cdot 8\cdot 2^3+3\cdot10\cdot9\cdot \frac{28}3+10\cdot 48
=8760.
\endalign
$$
\item{2.} Ha $\xi$ $f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel
rendelkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $h(x)$ val\'os
\'ert\'ek\H{u} (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny, akkor $Eh(\xi)=\int
h(x)f(x)\,dx$. Eset\"unkben ez azt jelenti, hogy ha $\xi$ standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor
$$
Ee^{t\xi}=\dsize\int_{-\infty}^\infty{e^{tx}}\frac{e^{-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx.
$$
Innen
$$
Ee^{t\xi}=\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{tx-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx=\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{t^2/2-(t-x)^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx=e^{t^2/2}\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx=e^{t^2/2}.
$$
\item{3.} Legyen $\xi_j$, $1\le j\le10$, az a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
amelyik 1, ha a $j$-ik h\'uz\'as piros, 0 ha a $j$-ik h\'uz\'as
feh\'er. Ekkor mint azt a gyakorlaton megbesz\'elt\"uk,
$E\xi_j=E\xi_1=\dfrac35$,
$\Var\xi_j=\Var\xi_1=\dfrac35-\(\dfrac35\)^2=\dfrac6{25}$,
$\Cov\xi_j,\xi_k)=\Cov(\xi_1,\xi_2)=E\xi_1\xi_2-E\xi_1E\xi_2
=\dfrac35\dfrac{29}{49}-\dfrac9{25}=-\dfrac6{1245}$, ha $j\neq k$,
\'es a kih\'uzott piros goly\'ok sz\'am\'ana $S=\summ_{j=1}^{10}\xi_j$
v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete
$$
ES=\sum_{j=1}^{10}E\xi_j=6,
$$
$$
\align
\Var S&=\sum_{j=1}^{10}\Var
\xi_j+2\sum_{j=1}^p\sum_{k=j=1}^{10}\Cov(\xi_j,\xi_k)\\
&=10\Var \xi_1+90\Cov
(\xi_1,\xi_2)=10\frac6{25}-90\frac6{1245}=\frac{96}{49}.
\endalign
$$
\item{4.} Legyen $\xi_j$ P\'eter nyerem\'enye a $j$-ik j\'at\'ekban.
Ekkor a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
P\'eter \"ossznyerem\'enye $S=\summ_{j=1}^{3000}\xi_j$, \'es
$P(\xi_j=3)=\dfrac5{12}$, $P(\xi_j=-3)=\dfrac5{12}$,
$P(\xi_j=0)=\dfrac1{6}$. (Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et
\'{\i}rtuk fel, hogy P\'eter vagy P\'alt dob nagyobbat, illetve hogy a
k\'et dob\'as egyenl\H{o}. Innen $E\xi_j=0$, $\Var
\xi_j=E\xi_j^2=\dfrac{45}{6}$, $ES=0$, $\Var S=15\cdot 1500=150^2$.
Innen annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy P\'eter legal\'abb 90
forintot nyer
$$
P(S\ge 90)=P\(\frac{S-ES}{\sqrt {\Var S}}\ge\frac{90}{150}\)
=1-P\(\frac{S-ES}{\sqrt {\Var S}}<0.6\)\sim 1-\Phi(0.6)\sim0.274
$$
\item{5.} Az $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ esem\'enyek f\"uggetlenek, ha
$P(A_1A_2)=P(A_1)P(A_2)$, $P(A_1A_3)=P(A_1)P(A_3)$,
$P(A_2A_3)=P(A_2)P(A_3)$ \'es $P(A_1A_2A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)$.
\item{6.} Az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban
konverg\'alnak az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha az $F$
eloszl\'asf\"uggv\'eny minden folytonoss\'agi pontj\'aban teljes\"ul
a $\limm_{n\to\infty} F_n(x)=F(x)$ rel\'aci\'o.
\item{} Szerepelt egy eredm\'eny, amelyik szerint meg lehet adni egy
ezzel ekvivalens megfogalmaz\'ast is. Azt is elfogaldtam, ha valaki
ez ut\'obbi eredm\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel fogalmazta meg a
definici\'ot. Eszerint az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek akkor
konverg\'alnak eloszl\'asban egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha
minden a sz\'amegyenesen folytonos \'es korl\'atos $h(x)$
f\"uggv\'enyre
$$
\lim_{n\to\infty}\int h(x)F_n(\,dx)=\int h(x)F(\,dx).
$$
 
 
 
 
\bye
