\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 \nopagenumbers
\centerline{\bf DOLGOZAT FELADATOK}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Abban az esetben, ha egy megk\'erdezett fogalom
defin\'{\i}ci\'oj\'at t\"obb (egy\-m\'as\-sal ekvivalens) m\'odon
lehet megadni, akkor ezek mindegyike j\'o v\'alasznak min\H{o}s\"ul.
\bigskip
\item{1.} Legyen $\xi_1$ \'es $\xi_2$ k\'et f\"uggetlen,
standard norm\'alis eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o, azaz legyen $\xi_j$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, $j=1,2$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki
a $\xi_1+\xi_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{2.} Legyen $\xi$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o $\lambda=1$
param\'eterrel, azaz legyen $\xi$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"oggv\'enye
$f(x)=e^{-x}$, ha  $x\ge0$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi+\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as \'es
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et.
\item{3.} Egy urn\'aban 10 feh\'er \'es 10 piros goly\'o van.
Elv\'egz\"unk 10 h\'uz\'ast egym\'as ut\'an \'ugy, hogy minden
h\'uz\'as ut\'an a kih\'uzott goly\'ot visszadobjuk, \'es vele egy\"utt
bedobunk az urn\'aba k\'et ugyanolyan sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot.
Sz\'amoljuk ki a kih\'uzott piros goly\'ok sz\'am\'anak v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{4.} Ledobunk az egys\'egintervallumra egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul 10000 pontot, amelyek egyenletes eloszl\'assal esnek
ebbe az intervallumba, azaz legyen annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy egy pont valamely $[a,b]\subset[0,1]$ intervallumba esik $b-a$.
Adjunk j\'o becsl\'est a mell\'ekelt norm\'alis elosz\'ast\'abl\'azat
alapj\'an annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy a
dob\'as\-ered\-m\'e\-nyek \"osszege 4900 \'es 5050 k\"oz\'e esik.
\item{5.} Mikor mondjuk, hogy egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n adott $\xi_1, \xi_2,\dots$,
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok sorozata
sztochasztikusan, illetve egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al
egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz?
\item{6.} Mikor mondjuk, hogy egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak az $f(x)$ f\"uggv\'eny
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'enye?
 
 
 
 
\bye