DOLGOZAT FELADATOK

Megjegyzés: Abban az esetben, ha egy megkérdezett fogalom definícióját több (egymással ekvivalens) módon lehet megadni, akkor ezek mindegyike jó válasznak minősül.

1. Legyen ξ_{1} és ξ_{2} két független, a [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változó azaz legyen ξ_{j} sűrűségföggvénye f(x) = 1, ha −\frac{1}{2} ≤ x ≤ \frac{1}{2}, és f(x) = 0 egyébként, j = 1, 2. Számítsuk ki a ξ_{1} + ξ_{2} valószínűségi változó sűrűségfüggvényét.

2. Legyen ξ standard normális eloszlású valószínűségi változó, azaz legyen sűrűség-

függvénye a φ(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−x^{2}/2} függvény. Számoljuk ki a ξ valószínűségi változó

Eξ^{k} momentumait minden k = 1, 2, …, pozitív egész számra.

3. Egy urnában 20 fehér és 30 piros golyó van. Elvégzünk 10 húzást egymás után úgy, hogy minden húzás után a kihúzott golyót visszadobjuk és vele együtt bedobunk az urnába egy ugyanolyan színű golyót. Számoljuk ki a kihúzott piros golyók számának várható értékét és szórásnégyzetét.

4. A következő játékot játsszuk. Egy szabályos pénzdarabot feldobnak egymás után 10 000 alkalommal. Fejdobás esetében három forintot nyerünk, írás dobás esetében egy forintot veszítünk. Adjunk jó becslést a mellékelt normális eloszástáblázat alapján annak a valószínűségére, hogy nyereményünk összege 9 800 és 10 100 forint között lesz.

5. Mikor mondjuk, hogy egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn adott ξ_{1}, ξ_{2}, …, ξ_{n} valószínűségi változók egymástól függetlenek?

6. Az alábbi négy állítás közül melyik helyes és melyik nem:

a.) Ha ξ és η két valószínűségi változó egy valószínűségi mezőn, akkor a ξ + η összeg várható értéke egyenlő a ξ és η valószínűségi változók várható értékének az összegével, azaz E(ξ + η) = Eξ + Eη.

b.) Ha ξ és η két független valószínűségi változó egy valószínűségi mezőn, akkor a ξ + η összeg várható értéke egyenlő a ξ és η valószínűségi változók várható értékének az összegével, azaz E(ξ + η) = Eξ + Eη.

c.) Ha ξ és η két valószínűségi változó egy valószínűségi mezőn, akkor a ξ+η összeg szórásnégyzete egyenlő a ξ és η valószínűségi változók szórásnégyzetének az összegével, azaz Var (ξ + η) = Var ξ + Var η.

d.) Ha ξ és η két független valószínűségi változó egy valószínűségi mezőn, akkor a ξ + η összeg szórásnégyzete egyenlő a ξ és η valószínűségi változók szórásnégyzetének az összegével, azaz Var (ξ + η) = Var ξ + Var η.