\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A szeptember 18-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip
 
Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} probl\'em\'at:
\medskip
Legyen egy urn\'aban 70 piros \'es 30 feh\'er goly\'o. H\'uzzuk ki a
goly\'okat visszatev\'es n\'elk\"ul.
\item{a.)} Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az els\H{o}
kih\'uzott goly\'o sz\'{\i}ne piros, a m\'asodik\'e pedig feh\'er?
\item{b.)} Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy a 13.
kih\'uzott goly\'o sz\'{\i}ne piros, a 29. kih\'uzott goly\'o
sz\'{\i}ne pedig feh\'er?
\medskip
A feladat b.) r\'esze az \'erdekes. Mutassuk meg,
hogy az a.) \'es b.) k\'erd\'esre ugyanaz a v\'alasz. Ezen
\'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'asa \'es meg\'ert\'ese \'erdek\'eben
megfogalmaztuk a feladatot form\'alisan egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} bevezet\'es\'evel.
 
A k\"ovetkez\H{o} modellt defini\'altuk: Tekints\"uk az \"osszes
$\omega=(F,P,F,F,\dots)$ sz\'az hossz\'us\'ag\'u 30 $F$ (feh\'er) \'es
70 $P$ (piros) jelb\H{o}l \'all\'o sorozatot. Legyen $\Omega$ az
\"osszes ilyen $\omega$ sorozat\'ol \'all\'o halmaz, $\Cal A$ a
(m\'erhet\H{o}) halmazok rendszere ($\sigma$-algebr\'aja) $\Omega$
\"osszes r\'eszhalmaza, azaz minden lehets\'eges fent defini\'alt
$\omega$ (elemi esem\'enyekb\H{o}l) \'all\'o halmaz. Legyen minden
$\omega$ elemi esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\dfrac1{\binom{100}{30}}$. Egy $A$ halmaz val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
pedig az $A$ halmaz \'altal tartalmazott elemi esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek \"osszege. Ebben a modellben az a.)
feladat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege azon $A$ esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, mely azokat az $\omega$ sorozatokat
tartalmazza, melyek els\H{o} eleme $P$ m\'asodik eleme pedig $F$.
A b.) feladatban annak a $B$ esem\'enynek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et vizsg\'aljuk, melyek olyan $\omega$
sorozatokat tekint, melyek 13. jele $P$ 29. jele pedig $F$. Bel\'attuk
term\'eszetes megfeleltet\'essel, hogy $P(A)=P(B)$.
 
Val\'oj\'aban a fenti t\'argyal\'as nem teljesen
kiel\'eg\'{\i}t\H{o}. L\'atnunk kell ugyanis, hogy nincs
jelent\H{o}s\'ege annak, hogy a minket \'erdekl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket milyen a felt\'eteleket
kiel\'eg\'{\i}t\H{o} modellben tekintj\"uk. Ez\'ert \'erdemes a fenti
gondolatmenetet \'ugy m\'odos\'{\i}tani, hogy az \'ervel\'es ne
f\"uggj\"on att\'ol, hogy milyen modellt tekint\"unk.
 
Legyen adva egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}, mely tartalmazza az \"osszes olyan esem\'enyt, hogy egy
h\'uz\'assorozat eredm\'enye valamilyen $(F,P,F,F,\dots)$ sz\'az
hossz\'us\'ag\'u 30 $F$ (feh\'er) \'es 70 $P$ (piros) jelb\H{o}l
\'all\'o sorozat. (Nem tessz\"uk fel, hogy ezek az esem\'enyek elemi
esem\'enyek.) Minden ilyen esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
legyen $\dfrac1{\binom{100}{30}}$. Vegy\"uk \'eszre, hogy ilyen
m\'odon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} egy partici\'oj\'at
kapjuk. (Disz\-junkt esem\'enyeket defini\'altunk, melyek
\"osszval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege 1.) Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o}
$\xi_j$, $1\le j\le 100$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros, $\xi_j=0$, ha a
$j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er. (Azaz, ha az el\H{o}bb
defini\'alt partici\'o olyan sorozatot tartalmaz, melynek $j$-ik jele
$P$ illetve $F$.) Ekkor a minket \'erdekl\H{o} k\'erd\'es a
$P(\xi_1=1,\xi_2=0)$ (a.) feladat), illetve a
$P(\xi_{13}=1,\xi_{29}=0)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg (b.) feladat)
kisz\'am\'{\i}t\'asa.
 
Be lehet l\'atni, hogy a fenti jel\"ol\'esekkel
$$
P(\xi_1=\e_1,\xi_2=\e_2,\dots,\xi_{100}=\e_{100})=
P(\xi_{\pi(1)}=\e_1,\xi_{\pi(2)}=\e_2,\dots,\xi_{\pi(100)}=\e_{100}),
$$
ahol $(\pi(1),\dots\pi(100))$ az $(1,\dots,100)$ sz\'amok
tetsz\H{o}leges permut\'aci\'oja, $\e_j$, $1\le j\le100$ vagy nullla
vagy egy. Ez az azonoss\'ag lehet\H{o}v\'e teszi annak
bizony\'{\i}t\'as\'at, hogy az a) \'es b) feladatban szerepl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek megegyeznek.
\medskip
{\it H\'azi feladat}
\item{} Ha a $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n$ eg\'esz \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a
$$
P(\xi_1=k_1,\xi_2=k_2,\dots,\xi_n=k_n)=
P(\xi_{\pi(1)}=k_1,\xi_{\pi(2)}=k_2,\dots,\xi_{\pi(n)}=k_n),
$$
azonoss\'agot az $1,2,\dots,n$ sz\'amok tetsz\H{o}leges
$(\pi(1),\dots\pi(n))$ permut\'aci\'oj\'ara \'es minden $k_1,\dots,k_n$
eg\'esz sz\'amra, akkor
$$
P(\xi_i=k_1)=P(\xi_1=k_1),\quad
P(\xi_i=k_1,\xi_j=k_2)=P(\xi_1=k_1,\xi_2=k_2)
$$
mainden $1\le i,j\le n$ \'es $k_1$ \'es $k_2$ eg\'esz sz\'amra.
\medskip \noindent
Tov\'abbi a gyakorlaton t\'argyalt feladatok: \medskip
 
\item{1.)} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enzdarabot 100-szor egym\'as
ut\'an. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a fejdob\'asok sz\'am\'anak v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{2.)} Feldobunk egy szab\'alyos dob\'okock\'at 100-szor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk a dob\'asok eredm\'enyeinek \"osszeg\'et.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek az \"osszegnek
\itemitem{a.)} V\'arhat\'o \'ert\'ek\'et,
\itemitem{b.)} Sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\medskip
Id\'ezz\"uk fel el\H{o}sz\"or a v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es
sz\'or\'aan\'egyzet definici\'oj\'at \'es n\'eh\'any fontos vel\"uk
kapcsolatos eredm\'enyt. \medskip\noindent
{\bf V\'arhat\'o \'ert\'ek \'es sz\'or\'asn\'egyzet definici\'oja.}
{\it Legyen $\xi$ diszkr\'et \'er\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, mely megsz\'aml\'alhat\'o
sok $x_1,x_2,\dots$ \'ert\'eket vesz fel, $P(\xi=x_k)=p_k$,
$k=1,2,\dots$, akkor a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke $E\xi=\summ_{k=1}^\infty p_kx_k$,
sz\'or\'asn\'egyzete pedig $\Var\xi=E(\xi-E\xi)^2=E\xi^2-\(E\xi\)^2$.}
\medskip \noindent
{\bf T\'etel.} {\it $E(a\xi+b)=aE\xi+b$, $\Var(a\xi+b)=a^2\Var\xi$
minden val\'os $a$ \'es $b$ sz\'amra.} \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $\xi$ diszkr\'et \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $P(\xi=x_k)=p_k$,
$k=1,2,\dots$, $f(x)$ valamilyen f\"uggv\'eny, akkor
$Ef(\xi)=\summ_{k=1}^\infty p_kf(x_k)$.} \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok ugyanazon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor
$E(\xi_1+\cdots+\xi_n)=E\xi_1+\cdots+E\xi_n$.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es;}\/ Ez az eredm\'eny tetsz\H{o}leges
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra igaz. Nem k\"ovetelt\"uk meg
p\'eld\'aul azt, hogy az \"osszeadand\'ok f\"uggetlenek legyenek.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, akkor
$\Var(\xi_1+\cdots+\xi_n)=\Var\xi_1+\cdots+\Var\xi_n$.}
\medskip
Az 1. \'es 2. feladat jobb meg\'ert\'ese \'erdek\'eben
defini\'aljunk egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t \'es rajta
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, melyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel ezt a feladatot precizen meg lehet fogalmazni.
\medskip
\item{1.} {\it A feladat megold\'asa:}\/ A fejdob\'asok sz\'ama 0 \'es
\'{\i}00 k\"oz\"ott van. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $k$
fejdob\'as k\"ovetkezik be, $0\le k\le 100$, $p_k=\dbinom {100}k
2^{-100}$. Ez\'ert a dob\'asok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\dbinom {100}k 2^{-100}$, ahol $\xi$
jel\H{o}li a fejdob\'asok sz\'am\'at megad\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Tov\'abb\'a $E\xi^2
=\summ_{k=0}^{100} k^2\dbinom {100}k 2^{-100}$, a sz\'or\'asn\'egyzet
pedig $\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2$. Ezeket az \"osszegeket
k\"ozvetlen\"ul kisz\'am\'{\i}thatjuk. Val\'oban,
$k\dbinom{100}k=100\dbinom{99}{k-1}$,
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\dbinom {100}k 2^{-100}=
50\summ_{k=0}^{99}k\dbinom {99}k
2^{-99}=50\(\dfrac12+\dfrac12\)^{99}=50$. Tov\'abb\'a,
$k^2\dbinom{100}k=[k(k-1)+k]\dbinom{100}k=100\cdot99\cdot
\dbinom{98}{k-2} +100\cdot\dbinom{100}{99}$, $E\xi^2=\dfrac14\cdot
100\cdot99\cdot\summ_{k=0}^{98}\dbinom{98}k+
\dfrac12\cdot100\cdot\summ_{k=0}^{99}\dbinom{99}k=25\cdot99+50$,
$\Var\xi=E\xi^2-(E\xi^2)=25$.
\item{} Val\'oj\'aban a vizsg\'alt v\'arhat\'o \'ert\'eket \'es
sz\'or\'asn\'egyzetet egyszer\H{u}bben is ki\-sz\'a\-m\'{\i}t\-hat\-juk.
Vezess\"uk be a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat, $\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as, $1\le j\le100$.
Ekkor a fejdob\'asok sz\'ama $\xi=\summ_{j=1}^{100}\xi_j$,
$E\xi=\summ_{j=1}^{100}E\xi_j$, $\Var\xi=\summ_{j=1}^{100}\Var\xi_j$.
Mivel $E\xi_j=\frac12$, $E\xi_j^2=\frac12$, $\Var\xi_j=\frac14$, $1\le
j\le100$, ez\'ert $E\xi=\frac12\cdot100=50$,
$\Var\xi=\frac14\cdot100=25$.
 
A m\'asodik feladat hasonl\'oan t\'argyalhat\'o. Ekkor annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a dob\'asok \"usszeg\'enek
\'ert\'eke egy adott sz\'am rendk\'{\i}v\"ul f\'arads\'agos
lenne kisz\'amolni. Vi\-szont a m\'asodik m\'odszer egyszer\H{u}en
alkalmazhat\'o ebben az esetben is.
Legyenek $\eta_1$,$\dots,\eta_{100}$ {\it f\"uggetlen}\/
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyekre
$P(\eta_j=k)=\frac16$, $1\le j\le 100$, $1\le k\le6$. Ekkor a
kisz\'am\'{\i}tand\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es sz\'or\'asn\'egyzet
$E\summ_{j=1}^{100}\eta_j=\summ_{j=1}^{100}E\eta_j$,
$\Var\summ_{j=1}^{100}\eta_j=\summ_{j=1}^{100}\Var\eta_j$.
(A m\'asodik rel\'aci\'o felhaszn\'alja a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok f\"uggetlens\'eg\'et.)
$E\eta_j=\frac16(1+2+3+4+5+6)=3.5$,
$E\eta_j^2=\frac16(1+4+9+16+25+36)=\frac{91}6$,
$\Var\eta_j=\frac{35}{12}$, $E\xi=350$, $\Var\xi=\frac{3500}{12}$.
\vfill\eject
 
{\it H\'azi feladat}
\item{} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk sz\'azszor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk a fejdob\'asok sz\'am\'nak a harmadik hatv\'any\'at,
\'es sz\'am\'{\i}tsuk ki annak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et. \medskip
\medskip
\item{3.)} Legyen egy urn\'aban 70 piros \'es 30 feh\'er goly\'o.
H\'uzzuk ki a goly\'okat visszatev\'es n\'elk\"ul. Sz\'am\'{\i}tsuk ki
az els\H{o} 10 h\'uz\'asban kih\'{\i}zott piros goly\'ok sz\'am\'anak
\itemitem{a.)} V\'arhat\'o \'ert\'ek\'et,
\itemitem{b.)} Sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\medskip
 
Az els\H{o} k\'et feladathoz hasonl\'oan t\'argyalhat\'o a harmadik
feladat. Ekkor megfelel\H{o} modellben a vizsg\'alt feladat az
$E\summ_{j=1}^{20}\xi_j$ \'es $\Var\summ_{j=1}^{20}\xi_j$
kisz\'am\'{\i}t\'asa, ahol $\xi_j=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye
piros, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er. Ekkor
$E\summ_{j=1}^{20}\xi_j=\summ_{j=1}^{20}E\xi_j$. A sz\'or\'asn\'egyzet
kisz\'am\'{\i}t\'asa kiss\'e bonyolultabb, mert a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem f\"uggetlenek. Ez\'ert meg
kell \'erten\"unk, hogyan kell kisz\'am\'{\i}tani
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a
sz\'or\'asn\'egyzet\'et az \'altal\'anos esetben.
 
A $\xi=\summ_{j=1}^{20}\xi_j$  \"osszeg sz\'or\'asn\'egyzet\'et kell
kisz\'amolnunk, ahol $\xi_j=1$, ha a
$j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros, $\xi_j=0$ ha a $j$-ik h\'uz\'as
eredm\'enye feh\'er, $j=1,2,\dots,20$. Ennek kisz\'am\'{\i}t\'asa
bonyolultabb mint az el\H{o}z\'o feladatokban,
mert a most tekintett $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
nem f\"uggetlenek. Ez\'ert meg kell \'erten\"unk, hogyan kell
ki\-sz\'a\-m\'{\i}\-ta\-ni va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a sz\'or\'asn\'egyzet\'et az \'altal\'anos
esetben.\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok ugyanazon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor
$$
\align
\Var\(\summ_{j=1}^n\xi_j\)&=
\summ_{j=1}^{n}\Var\xi_j+
2\summ_{1\le j<k<n}(E\xi_j\xi_k-E\xi_j E\xi_k).\\
&=\summ_{j=1}^n\Var\xi_j+
\summ_{1\le j,k\le n,\; j\neq k}(E\xi_j\xi_k-E\xi_j E\xi_k).
\endalign
$$
}\medskip \noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor ezek kovarianci\'aja
$\text{Cov}\,(\xi_,\eta)=E[(\xi-E\xi)(\eta-E\eta)]
=E\xi\eta-E\xi E\eta$. A kovariancia egy term\'eszetes m\'er\'ese
annak, hogy k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o milyen
m\'ert\'ekben f\"ugg \"ossze. Ez a mennyis\'eg szerepelt az \"osszeg
sz\'or\'asn\'egyzet\'enek kifejez\'es\'eben. Ha $\xi$ \'es $\eta$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, akkor
$\text{Cov}\,(\xi,\eta)=0$. \medskip\noindent
{\it A T\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/
$$
\align
\Var \! \(\summ_{j=1}^n\xi_j\)&=E\(\sum_{j=1}^n\xi_j\)^2 \!\!
-\(E\sum_{j=1}^n\xi_j\)^2 \!\!
=E\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n\xi_j\xi_k\)
-\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n E\xi_jE\xi_k\)\\
&=\summ_{j=1}^{n}\(E\xi_j^2-(E\xi_j)^2\)+
2\summ_{1\le j<k<n}(E\xi_j\xi_k-E\xi_j E\xi_k).
\endalign
$$
\'es $E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\Var\xi_j$.\medskip
 
Alkalmazva ezt a t\'etelt \'es az el\H{o}z\H{o} gyakorlat
eredm\'enyeit kapjuk, hogy $E\xi_j=E\xi_1=\frac25$,
$\Var\xi_j=\Var\xi_1=\frac25-\frac4{25}=\frac6{25}$,
$E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k=E\xi_1\xi_2-E\xi_1E\xi_2=\frac25\cdot
\frac{29}{99}-\frac4{25}=-\frac6{495}$, ha $j\neq k$, \'es
$E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k=E\xi_1\xi_2-E\xi_1E\xi_2$ minden $1\le
j<k\le20$ sz\'amra. Innen a 10 dob\'asban kih\'uzott piros goly\'ok
sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke $10\cdot\frac25=4$ \'es
sz\'or\'asn\'egyzete $10\cdot\frac6{25}-90\cdot\frac6{2475}
=\frac{12}5\(1-\frac1{11}\)=\frac{24}{11}$.
\medskip
{\it H\'azi feladat.}
\item{} Egy urn\'aban h\'usz piros \'es harminc feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk egym\'as ut\'an 10 goly\'ot \'ugy, hogy amikor kih\'uzunk
egy goly\'ot akkor azt visszadobjuk \'es vele egy\"utt bedobunk az
urn\'aba egy vele azonos sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot. Mi a kih\'uzott piros
goly\'ok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
sz\'or\'asn\'egyzete?
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ L\'assuk be, hogy annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik h\'uz\'asban piros goly\'ot
h\'uzunk megegyezik annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az
els\H{o} h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uzunk. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $i$-ik \'es $j$-ik h\'uz\'asban
piros goly\'ot h\'uzunk, $i\neq j$, megegyezik annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o} \'es m\'asodik
h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uzunk.
 
\medskip
\item{4.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk v\'egtelen sokszor
egym\'as ut\'an. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy
a harmadik 6-os dob\'as az $n$-ik dob\'asban k\"ovetkezik be,
$n=3,4,5,\cdots$?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ez az esem\'eny akkor k\"ovetkezik be, ha az
els\H{o} $n-1$ dob\'asban pontosan k\'et hatost dobunk, \'es az $n$-ik
dob\'us eredm\'enye is hatos. Ennek
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge,
$\dbinom {n-1}2\(\dfrac56\)^{n-3}\(\dfrac16\)^3$.
\medskip
Ezt a feladatot nem annyira \"onmaga miatt t\'argyaltuk, (ez
egy\'ebk\'ent p\'elda a negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as
megjelen\'es\'ere), hanem az\'ert, hogy megt\'argyaljuk, hogyan lehet
egy szab\'alyos dob\'okocka v\'egtelen sok egym\'as ut\'ani
dob\'as\'anak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellj\'et megadni. Ez
rem\'elhet\H{o}leg \'erthet\H{o}bb\'e teszi mi\'ert kell a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} fogalm\'aban n\'eh\'any els\H{o}
l\'at\'asra t\'ulkomplik\'alt fogalmat bevezetni.
 
Term\'eszetes az elemi esem\'enyeket a v\'egtelen
$\omega=(j_1,j_2,\dots)$ sorozatokk\'ent de\-fi\-ni\-\'al\-ni, ahol
mindegyik $j_n$, $n=1,2,\dots$, sz\'am az $1,2,\dots,6$ \'ert\'ekek
valamelyik\'et veszi fel. A biztos $\Omega$ esem\'eny az \"osszes
al\'abb tekintett sorozatokb\'ol \'all\'o halmaz. Term\'eszetes lenne
esem\'enyeknek az $\Omega$ halmaz r\'eszhalmazait tekinteni. Ut\'ana
meg kell adni az esem\'enyeknek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. \'Es
itt jelennek meg a neh\'ezs\'egek. Ugyanis egyr\'eszt minden $\oo$
elemi esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege nulla, m\'asr\'eszt $\Omega$
kontinum sok elemi esem\'enyb\H{o}l \'all. Hogyan kell defini\'alni a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget \'ugy, hogy az t\"ukr\"ozze azt, hogy egy
szab\'alyos dob\'okocka egym\'ast\'ol f\"uggetlen dob\'asait \'{\i}rja
le?
 
Legyen annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} $n$
koordin\'atan el\H{o}\'{\i}rt \'ert\'ek\H{u} $j_1,\dots,j_n$ sz\'amok,
(azaz azon v\'egtelen sorozatokb\'ol \'all\'o halmaz, melynek jelei a
$j_1,\dots,j_n$ sz\'a\-mok\-kal kezd\H{o}dnek) $\(\dfrac16\)^n$. A
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget \'ugy szeretn\'enk defini\'alni, hogy ezek
a felt\'etelek teljes\"uljenek. Mivel a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\sigma$-additiv ez sok egy\'eb esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et
is meghat\'arozza. P\'eld\'aul hogyan hat\'arozza meg annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy az \"ot\"odik dob\'as eredm\'enye
nagyobb mint a harmadik dob\'as\'e? \'Altal\'aben \'ertelme van
bizonyos esem\'enyek \'altal meghat\'arozott legsz\H{u}kebb
$\sigma$-algebr\'ar\'ol besz\'elni. Halmazok egy $\Cal A$ rendszer\'et
$\sigma$-algebr\'anak nevezz\"uk, ha $A_n\in \Cal A$ eset\'eben,
$n=1,2,\dots$, $\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\in\Cal A$, $\Omega\setminus
A_n\in \Cal A$, $n=1,2,\dots$. Be lehet l\'atni, hogy az el\H{o}bbi
$j_1,\dots,j_n$ sz\'amokkal kezd\H{o}d\H{o} sorozatok
halmaz\'at, $n=1,2,\dots$, tartalmaz\'o $\sigma$-algebr\'ak k\"oz\"ott
van egy
legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebra, azaz egy olyan $\sigma$-algebra,
amelyik r\'esze egy tetsz\H{o}leges ezeket a halmazokat tartalmaz\'o
$\sigma$-algebr\'anak. Ennek  az \'all\'{\i}t\'asnak a
bizony\'{\i}t\'asa viszonylag egyszer\H{u}. L\'enyegesen nehezebben, de
szint\'en bizony\'{\i}that\'o \'all\'{\i}t\'as az, hogy ezen a
legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebr\'an megadhat\'o egy\'ertelm\H{u}en egy
olyan $\sigma$-additiv halmazf\"uggv\'eny, amelyiknek \'ert\'eke a
m\'ar megadott halmazokon az el\H{o}\'{\i}rt \'ert\'ekkel egyezik meg.
Ennek alapj\'an az el\H{o}bbi halmazokat tartalmaz\'o legsz\H{u}kebb
$\sigma$-algebr\'at tekintj\"uk az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'anak, az
$A\in\Cal A$ halmazok $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et pedig
a k\"ovetkez\H{o} m\'odon defini\'aljuk. Tekintj\"uk az
els\H{o} $n$ koordin\'at\'aj\'aban el\H{o}\'{\i}rt $j_1,\dots,j_n$
\'ert\'eket felvev\H{o} sorozatokb\'ol \'all\'o halmazokat tartamaz\'o
legsz\H{u}kebb $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'at, egy $j_1,\dots,j_n$
jegyekkel kezd\H{o}d\H{o} sorozatokb\'ol \'all\'o halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\(\dfrac16\)^n$, (ahol $n$ a
r\"ogz\'{\i}tett \'ert\'ek\H{u} jegyek sz\'ama), \'es tekintj\"uk azt
az egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott $P$ $\sigma$-additiv
halmazf\"uggv\'enyt az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'an, melynek
\'ert\'eke az el\H{o}bb defini\'alt halmazokon a m\'ar defini\'alt
\'ert\'ekkel egyenl\H{o}. Egy $A\in \Cal A$ halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege ennek a $P$ $\sigma$-additiv
halmazf\"uggv\'enynek az $A$ halmazon felvett \'ert\'ek\'evel
egyenl\H{o}.
 
Felmer\"ul az a k\'erd\'es, hogy term\'eszetes-e a fenti definici\'o.
Mi\'ert nem defini\'altuk p\'eld\'aul minden lehets\'eges halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et? A v\'alasz erre a k\'erd\'esre az,
hogy ez nem lehets\'eges \'ugy, hogy meg\H{o}rizz\"uk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\sigma$-additiv tulajdons\'ag\'at.
M\'asr\'eszt val\'oj\'aban nem veszt\"unk azzal, hogy csak a fenti
$\sigma$-aalgebra halmazaira defini\'altuk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget. Ugyanis, amikor egy halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et k\'erdezz\"uk, akkor  azt a halmazt
valamilyen definici\'oval le kell \'{\i}rni. Viszont az \"osszes
defini\'alhat\'o halmaz r\'esze a fenti $\sigma$-algebr\'anak.
 
Megjegyezz\"uk, hogy a fent t\'argyalt probl\'ema \'altal\'anos.
Mihelyt nem v\'eges vagy megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen sok
k\"ulob\"oz\H{o} \'ert\'eket felvev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'oval dolgozunk, hasonl\'o k\'erd\'esek mer\"ulnek fel.
\'Igy p\'eld\'aul akkor, ha az egys\'egintervallumon olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket akarunk defini\'alni, mely
szerint egy intervallum m\'ert\'eke megegyezik ennek az intervallumnak
a hossz\'aval. (Lebesgue m\'ert\'ek de\-fi\-ni\-ci\'o\-ja.)
 
\bye
