\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\noindent{\bf A \'aprilis 23-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai}
\medskip
\item{1.} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\dfrac\eta\xi$ h\'anyados eloszl\'as \'es
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\medskip
\item{} A megold\'as kidolgoz\'asa el\H{o}tt tegy\"unk el\H{o}sz\"or
egy \'altal\'anos megjegyz\'est. Ha adva van k\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\xi$ \'es $\eta$, melyek
(egy\"uttes) s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye egy ismert $f(u,v)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, akkor az $\dfrac\eta\xi$
h\'anyados eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et a k\"ovetkez\H{o} m\'odon
sz\'amolhatjuk ki: Vezess\"uk be a $g(u,v)=g_x(u,v)$ f\"uggv\'enyt,
mely a s\'{\i}kon az $\left\{(u,v)\:\dfrac vu<x\right\}$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'enye, azaz $g(u,v)=1$, ha $\dfrac vu<x$, \'es
$g(u,v)=0$, ha $\dfrac vu\ge x$. Ekkor $P\(\dfrac\eta\xi<x\)
=E g(\xi,\eta)=\int\int g(u,v) f(u,v)\,du\,dv=
\int\int_{\{(u,v)\:\frac vu<x\}} f(u,v)\,du\,dv$. L\'atni fogjuk,
hogy az ebben a feladatban vizsg\'aland\'o integr\'al viszonylag
egyszer\H{u}, k\"onnyebben kezelhet\H{o}.
\medskip
\item{} {\it Megold\'as.}\/ A feladatben vizsg\'aland\'o h\'anyados
eloszl\'asf\"uggv\'enye
$$
\align
F(x)&=P\(\frac\eta\xi <x\)=\iint_{v<xu
}\frac1{2\pi}e^{-(u^2+v^2)/2}\,du\,dv\\
&=2\frac1{2\pi}\int_{-\frac{\pi}2<\varphi<\arctan x}\int_0^\infty
re^{-r^2/2}\,dr\,d\varphi
=\frac1{\pi}\int_{-\frac{\pi}2}^{\arctan x}
\,d\varphi
=\frac12+\frac1{\pi}\arctan x.
\endalign
$$
Ebben a sz\'amol\'asban a fel\'{\i}rt integr\'alt \'at\'{\i}rtuk
$u=r\cos\varphi$, $v=r\sin\varphi$ transzform\'aci\'oval
pol\'arkoordin\'atarendszerben. E sz\'amol\'as sor\'an az
integrandusban megjelenik az $r$ Jacobian mint szorz\'o faktor.
Ezut\'an azt vegy\"uk \'eszre, hogy a bels\H{o} $r$ v\'altoz\'o
szerinti integr\'al $\int_0^\infty
re^{-r^2/2}\,dr=\[-e^{-r^2/2}\]_0^\infty=1$.
\item{} Kisz\'amoltuk a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. E val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az eloszl\'asf\"uggv\'eny
deriv\'altja, azaz az $f(x)=\dfrac{dF(x)}{dx}=\dfrac1{\pi(1+x^2)}$
f\"uggv\'eny.
\item{} {\it M\'asodik megold\'as.}\/ A $(\xi,\eta)$ vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $\dfrac1{2\pi}e^{-(x^2+y^2)/2}$, ami
for\-ga\-t\'as\-in\-va\-ri\'ans f\"uggv\'eny. Innen k\"ovetkezik,
hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $(\xi,\eta)$ vektor
egy orig\'ob\'ol kiindul\'o $\alpha$ sz\"og\H{u} sz\"ogtartom\'anyba
esik, $\dfrac\alpha{2\pi}$. Ez\'ert
$$
\align
P\(\dfrac\eta\xi<x\)&=P\((\xi,\eta)\in
\[-\dfrac \pi2,\arctan x\)\cup \[\dfrac\pi2, \arctan x+\pi\)
\text{sz\"ogtartom\'anyban}\)\\
&=\frac1{2\pi}2\(\arctan x+\frac\pi2\)=\frac12+\frac1{\pi}\arctan x.
\endalign
$$
\medskip
\item{2.} Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $[0,1]$ intervallumban, azaz
legyen $f(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1$, ha $0\le
x\le 1$, $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Els\H{o} megold\'as:}\/ $\Var
\xi^2=E\(\(\xi^2\)^2\)-\(E\xi^2\)^2=E\xi^4-\(E\xi^2\)^2=\int x^4
f(x)\,dx-\(\int x^2 f(x)\,dx\)^2$, ahol $f(x)=1$, ha $0\le x\le1$,
$f(x)=0$ egy\'ebk\'ent, azaz $f(x)$ a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Innen $E\xi^2=\int_0^1
x^2\,dx=\dfrac13$, \'es $\Var\xi^2=\int_0^1
x^4\,dx-\(\int_0^1x^2\,dx\)^2=\dfrac
15-\(\dfrac13\)^2=\dfrac15-\dfrac19=\dfrac4{45}$.
\item{} {\it M\'asodik megold\'as:}\/ Sz\'am\'{\i}tsuk ki
el\H{o}sz\"or a $\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. A $\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enye
$$
F(x)=P(\xi^2<x)=P(-\sqrt x<\xi<\sqrt x)
=P(0\le \xi\le \sqrt x)=\sqrt x,\quad \text{ha } 0\le x\le 1,
$$
$F(x)=0$, ha $\xi<0$, $F(x)=1$, ha $x>1$. Innen a $\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\dfrac1{2\sqrt x}$, ha $0\le
x\le 1$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Ez\'ert
$$
E\xi^2=\int_0^1 x\dfrac1{2\sqrt
x}\,dx=\frac12\cdot\frac23=\frac13,
$$
\'es
$$
\Var\xi^2=\int_0^1 x^2\frac1{2\sqrt x}\,dx-\(\int_0^1 x\dfrac1{2\sqrt
x}\,dx\)^2=\frac12\cdot\frac25-\(\frac12\cdot\frac23\)^2=\frac4{45}.
$$
\item{3.} Legyenek $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyek k\"oz\"ul $\xi$
Poisson eloszl\'as\'u $\lambda$ param\'eterrel, azaz
$P(\xi=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ minden $k=0,1,2,\dots$
sz\'amra, $\eta$ egyenletes eloszl\'as\'u a $[0,1]$ intervallumon,
azaz l\'etezik $f(u)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, melyre $f(u)=1$,
ha $0\le u\le 1$, \'es $f(u)=0$, ha $u>1$, vagy $u<0$. L\'assuk be,
hogy a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak is van
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es hat\'arozzuk meg azt.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $[a,b]$ egy olyan intervallum,
melyre $[a,b]\subset [n,n+1]$ valamely nem negat\'{\i}v eg\'esz $n$
sz\'amra. Ekkor
$$
\align
P(\xi+\eta\in [a,b])&=P(\xi=n,\eta\in [a-n,b-n])=
P(\xi=n)P(\eta\in [a-n,b-n])\\
&=\dfrac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}(b-a)=\int_a^b f(u)\,du,
\endalign
$$
ahol $f(u)=\dfrac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}$, ha $u\in [n,n+1]$,
$n=0,1,2,\dots$. Legyen tov\'abb\'a $f(u)=0$, ha $u\le 0$. Ebb\H{o}l
a rel\'aci\'ob\'ol, illetve abb\'ol a t\'enyb\H{o}l, hogy
$P(\xi+\eta\le0)=0$, k\"ovetkezik, hogy
$P(\xi+\eta<x)=\int_{-\infty}^x f(u)\,du$ a fent defini\'alt $f(\cdot)$
f\"uggv\'ennyel, teh\'at ez a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o (l\'etez\H{o}) s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye.
\item{4.} Legyenek $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyek k\"oz\"ul $\xi$
Poisson eloszl\'as\'u $\lambda$ param\'eterrel, azaz
$P(\xi=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ minden $k=0,1,2,\dots$
sz\'amra, $\eta$ egyenletes eloszl\'as\'u a $[0,2]$ intervallumon,
azaz l\'etezik $f(u)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, melyre
$f(u)=\dfrac12$, ha $0\le u\le2$, \'es $f(u)=0$, ha $u>2$, vagy
$u<0$. L\'assuk be, hogy a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak is van s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es
hat\'arozzuk meg azt.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ennek a feladatnak a megold\'asa hasonl\'o
az el\H{o}z\H{o}h\"oz. Legyen $[a,b]$ egy olyan intervallum,
melyre $[a,b]\subset [n,n+1]$ valamely nem negat\'{\i}v eg\'esz $n$
sz\'amra. Ekkor, ha $n\ge1$, akkor
$$
\align
P(\xi+\eta\in [a,b])&=P(\xi=n,\eta\in [a-n,b-n])\\
&\qquad +P(\xi=n-1,\eta\in [a-n-1,b-n-1])\\
&=P(\xi=n)P(\eta\in [a-n,b-n])\\
&\qquad +P(\xi=n-1)P(\eta\in [a-n-1,b-n-1])\\
&=\(\dfrac{\lambda^n}{n!}+\dfrac{\lambda^{n-1}}{(n-1)!}\)e^{-\lambda}
(b-a)=\int_a^b f(u)\,du,
\endalign
$$
ahol $f(u)=\(\dfrac{\lambda^n}{n!}+\dfrac{\lambda^{n-1}}{(n-1)!}\)
e^{-\lambda}$, ha $u\in [n,n+1]$,
$n=1,2,\dots$. Hasonl\'oan,
$$
P(\xi+\eta\in [a,b])=\int_a^b P(\xi=0)\,du=\int_a^b e^{-\lambda}\,du
$$
ha $[a,b]\in=0,1]$, tov\'abb\'a $P(\xi+\eta\le0)=0$. Innen
k\"ovetkezik, hogy ha az $f(\cdot)$ f\"uggv\'eny definici\'oj\'at az
$f(u)=e^{-\lambda}$, ha $0\le u\le1$, $f(u)=0$, ha $u<0$ k\'epletekkel
fejezz\"uk be, akkor $P(\xi+\eta<x)=\int_{-\infty}^x f(u)\,du$ ezzel
az $f(\cdot)$ f\"uggv\'ennyel. Teh\'at ez a $\xi+\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o (l\'etez\H{o})
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a fent defini\'alt $f(\cdot)$
f\"uggv\'eny.
\item{5.} Legyen birtokunkban 100 l\'ampa, melyek mindegyike
egym\'ast\'ol f\"uggetlen id\H{o}\-tar\-ta\-mig m\H{u}k\"odik,
\'elettartamuk pedig exponenci\'alis eloszl\'as\'u
$\lambda=\dfrac1{10}$ param\'eterrel. (A l\'amp\'ak \'elettartam\'anak
exponenci\'alis eloszl\'asa term\'eszetes felt\'etelez\'es.) Egy termet
bevil\'ag\'{\i}tunk ezen l\'amp\'ak valamelyik\'evel, majd amikor az
ki\'egett \'uj l\'amp\'at haszn\'alunk fel. Adjunk j\'o becsl\'est
arra, hogy a l\'amp\'ak \"ossz\'elettartama legal\'abb 1150 \'ora.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi_j$ a $j$-ik l\'ampa
\'el\'ettartam\'at, $1\le j\le100$. Ekkor a
$P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>1150)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre kell
j\'o becsl\'est adnunk, ahol az \"osszegben f\"uggetlen
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok szerepelnek $\lambda=\frac1{10}$ param\'eterrel.
Vezess\"uk be az $\eta=\xi_1+\cdots+\xi_{100}$ jel\"ol\'est.
\item{} Kisz\'amoltuk, hogy jelen esetben
$E\eta=mE\xi_1=\dfrac m\lambda=1000$, $\Var \eta=\dfrac
m{\lambda^2}=10 000$ ($m=100$ \'es $\lambda=\dfrac1{10}$
v\'alaszt\'assal). Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
sze\-rint $\dfrac{\eta-E\eta}{\sqrt{ \Var
\eta}}=\dfrac{\eta-1000}{100}$ j\'o
k\"ozel\'{\i}t\'essel standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es
$P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>1150) =P\(\dfrac{\eta-E\eta}{\sqrt{\Var
\eta}}>1.5\)\sim1-\Phi(1.5)$.
\item{6.} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'enye
$\varphi(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, $-\infty<x<\infty$.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi^2+\xi_4$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Sz\'am\'{\i}tsuk ki el\H{o}sz\"or
$\xi^2+\xi^4$ $G(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Ha $x<0$, akkor
$G(x)=0$, mert $\xi^2+\xi^4\ge0$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.
Ha $x>0$, akkor a $P(\xi^2+\xi^4<x)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et
kell kisz\'am\'{\i}tanunk. Legyen $u=u(x)$ az $u^2+u-x=0$ egyenlet
nagyobb gy\"oke, aza $u=\dfrac{-1+\sqrt{1+4x}}2$. Nem neh\'ez
bel\'atni, hogy $\xi^2(\oo)+\xi^4(\oo)<x$ akkor \'es csak akkor, ha
$0\le<\xi^2(\oo)<u(x)$, ami azt jelenti, hogy
$-\sqrt{u(x)}<x<\sqrt{u(x)}$. Innen $\xi^2+\xi^4$
eloszl\'asf\"uggv\'enye $x>0$ eset\'en
$G(x)=\Phi\(\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{1+4x}}2}\)-
\Phi\(-\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{1+4x}}2}\)=
2\Phi\(\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{1+4x}}2}\)-1$, ahol $\Phi(x)$ a
standard  norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny. Innen
differenci\'al\'assal kapjuk, hogy $\xi^2+\xi^4$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $\dfrac{dG(x)}{dx}$, ahonnan ez a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny nulla, ha $x<0$, \'es
$\sqrt{\dfrac2\pi}\exp\left\{\dfrac{-1+\sqrt{1+4x}}4\right\}
\dfrac d{dx}\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{1+4x}}2}$, ha $x>0$.
 
A k\"ovetkez\H{o} k\'et feladat c\'elja annak az alapt\'etelnek
nevezett t\'etel felt\'eteleinek jobb meg\'ert\'ese, mely megadja a
kapcsolatot az eloszl\'asf\"uggv\'enyek illetve azok karakterisztikus
f\"uggv\'enye konvergenci\'aja k\"oz\"otti kapcsolatot.
 
Ezenk\'{\i}v\"ul, ha marad r\'a id\H{o} meg lehet t\'argyalni egy
ennek a feladatsornak a v\'eg\'en megfogalmazott \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'as\'at, mely megmagyar\'azza mi a jelent\H{o}s\'ege az
alap\-t\'e\-tel\-ben annak a felt\'etelnek, hogy a karakterisztikus
f\"uggv\'enyek egy a null\'aban folytonos f\"uggv\'enyhez
konverg\'alnak. Egy\'ebk\'ent ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a
bizony\'{\i}t\'asa az alapt\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak egyik
kulcsl\'ep\'ese. \medskip
\item{7.} Mutassuk meg, hogy egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
$\varphi(t)=\int e^{itu}F(\,du)$ karakterisztikus f\"uggv\'enye
folytonos minden pontban.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\varphi(t)=\int e^{itu}F(\,du)$
az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. Ekkor tetsz\H{o}leges $t$, $\delta$ illetve
$K>0$ sz\'amra teljes\"ul a
$$
\align
&|\varphi(t+\delta)-\varphi(t)|\le \int|e^{i(t+\delta)}-e^{it}|
F(\,du)\le \int_{u\:|u|\le K}\supp_{t\:|t|\le K}
|e^{i(t+\delta)}-e^{it}| F(\,du)\\
&\qquad +\int_{u\:|u|>K}2 F(\,du)\le \supp_{t\:|t|\le K}
|e^{i\delta t}-1|+F(-K)+(1-F(K))
\endalign
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg. Tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amhoz
v\'alaszthatunk olyan $K=K(\e)$ sz\'amot, melyre $F(-K)+(1-F(K))\le
\dfrac\e2$. Ezut\'an el\'eg kis $\delta_0=\delta_0(\e,K,t)>0$
v\'alaszt\'assal el\'erhetj\"uk, hogy $\supp_{t\:|t|\le K} |e^{i\delta
t}-1|\le \dfrac\e2$, ha $\delta\le \delta_0$. Innen k\"ovetkezik, hogy
$|\varphi(t+\delta)-\varphi(t)|\le \e$, ha $\delta<\delta_0$, azaz a
$\varphi(\cdot)$ f\"uggv\'eny folytonos.
\item{8.} Legyen $F_n(\cdot)$, $n=1,2\dots$, a $[-n,n]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok sorozata, azaz
legyen $F_n(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az
$f_n(u)=\dfrac1{2n}$, ha $-n\le u\le n$, $f_n(u)=0$, ha $|u|>n$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel megadott f\"uggv\'eny. L\'assuk be,
hogy az $F_n(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek karakterisztikus
f\"uggv\'enyei minden pontban konverg\'alnak az $\varphi(0)=1$,
$\varphi(t)=0$, ha $t\neq0$ k\'eplettel megadott $\varphi(t)$
f\"uggv\'enyhez, amelyik az orig\'oban nem folytonos. Tov\'abb\'a
az $F_n(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek nem konverg\'alnak
eloszl\'asban, mert minden v\'eges $[a,b]$ intervallumra
$$
\limm_{n\to\infty}\[F_n(b)-F_n(a)\]=0.
$$
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
karakterisztikus f\"uggv\'enye
$$
\varphi_n(t)=\dsize\dfrac1{2n}\int_{-n}^n
e^{itu}\,du =\dfrac{e^{itn}-e^{-itn}}{2nit},
$$
ahonnan $\varphi_n(t)\le \dfrac1{|t|n}$. Innen
$\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t)=0$, ha $t\neq0$. M\'asr\'eszt,
$\varphi_n(0)=1$ minden $n$-re teh\'at,
$\limm_{n\to\infty}\varphi_n(0)=1$. M\'asr\'eszt egy v\'eges $[a,b]$
intervallumra az $F_n(b)-F_n(a)=\dfrac{b-a}n$, ha $n\le \max(|a|,|b|)$.
ahonnan $\limm_{n\to\infty}\[F_n(b)-F_n(a)\]=0$. Ez azt jelenti,
hogy az $F_n$ eloszl\'asok ,,kifolynak a v\'egtelenbe", \'es ez\'ert
nincs hat\'areloszl\'asuk.
\item{9.} Mutassuk meg, a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy amennyiben $\xi$ \'es $\eta$ k\'et
f\"uggetlen, norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $m_1$ \'es $m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, $\sigma_1^2$
\'es $\sigma_2^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel, akkor $\xi+\eta$ norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $m_1+m_2$
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, \'es $\sigma_1^2+\sigma_2^2$
sz\'or\'asn\'egyzettel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tudjuk, hogy a karakteresztikus
f\"uggv\'enyek egy\'ertelm\H{u}en meg\-ha\-t\'a\-roz\-z\'ak azt az
eloszl\'asf\"uggv\'enyt, melynek \H{o}k a karakterisztikus
f\"uggv\'eny\"uk. Ez\'ert el\'eg bel\'atni, hogy a $\xi+\eta$
karakterisztikus f\"uggv\'enye megegyezik az $m_1+m_2$
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $\sigma_1^2+\sigma_2^2$
sz\'or\'asn\'egyzettel rendelkez\H{o} norm\'alis eloszl\'as
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'evel. Viszont tudjuk egyr\'eszt, hogy
a $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'ege miatt $Ee^{it(\xi+\eta)}=Ee^{it\xi}Ee^{it\eta}$,
m\'asr\'eszt mivel a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny
karakterisztikus f\"uggv\'enye $\varphi(t)=e^{-t^2/2}$, ez\'ert
$Ee^{it\xi}=e^{itm_1}e^{-\sigma_1^2t^2/2}$, \'es
$Ee^{it\eta}=e^{itm_2}e^{-\sigma_2^2t^2/2}$. Innen
$Ee^{it(\xi+\eta)}=e^{it(m_1+m_2)}e^{-(\sigma_1^2+\sigma_2^2)t^2/2}$,
ahonnan k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\item{10.} Legyen $F_n(\cdot)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy sorozata, melyek $\varphi_n(\cdot)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyei az orig\'o egy kis k\"ornyezet\'eben
konverg\'alnak egy a null\'aban folytonos f\"uggv\'enyhez.
\itemitem{a.)} L\'assuk be (a Lebesgue t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel),
hogy ekkor tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$\delta=\delta(\e)$ sz\'am, melyre
$\dsize\limm_{n\to\infty} \dfrac1{2\delta}\int_{-\delta}^\delta
\Re[1-\varphi_n(t)]\,dt\le\e$, ahol $\Re z$ a $z$ sz\'am re\'alis
r\'esz\'et jel\"oli.
\itemitem{b.)} Mutassuk meg, hogy amennyiben $F_n(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek $\varphi_n(\cdot)$ ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'enyei teljes\'{\i}tik az a) r\'eszben megfogalmazott
tulajdons\'agot, ak\-kor minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$K=K(\e)$ sz\'am, melyre $F_n(-K)+(1-F_n(K))\le \e$ minden
$n=1,2,\dots$ sz\'amra.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ A b.) r\'eszben megfogalmazott
tulajdons\'ag teljes\"ul\'es\'et egyenletes fe\-szes\-s\'eg\-nek
h\'{\i}vj\'ak az irodalomban. Ez fontos szerepet j\'atszik sz\'amos
vizs\-g\'a\-lat\-ban.
\medskip \item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $\varphi(\cdot)$ a
$\varphi_n(\cdot)$ f\"uggv\'enyek (egy v\'eges intervallumban
l\'etez\H{o}) li\-me\-sze. Mivel ez a f\"uggv\'eny az orig\'oban
folytonos $0\le\Re \varphi(t)\le 1$ minden $t$ indexre, ahol a
$\varphi(\cdot)$ l\'etezik, $\Re[1-\varphi(0)]=0$, \'es ez a
f\"uggv\'eny az orig\'oban folytonos, ez\'ert
$\dsize\frac1{2\delta}\int_{-\delta}^\delta
\Re[1-\varphi(t)]\,dt\le\e$, ha a $\delta=\delta(\e)>0$ sz\'amot
el\'eg kicsinek v\'alasztjuk. Mivel
$\limm_{n\to\infty}\Re[1-\varphi_n(t)] =\Re[1-\varphi(t)]$, \'es
$0\le\Re[1-\varphi_n(t)]\le2$, alkalmazhatjuk a Lebesgue t\'etelt,
\'es ez megadja az a) r\'esz \'all\'{\i}t\'as\'anak
bizony\'{\i}t\'as\'at.
\item{} A b) r\'esz bizony\'{\i}t\'as\'ahoz haszn\'aljuk fel, hogy
az a) r\'esz teljes\"ul\'ese eset\'en minden $\e>0$ sz\'amhoz
v\'alaszthatunk olyan $\delta=\delta(\e)$ sz\'amot \'es $n_0=n_0(\e)$
k\"usz\"obindexet, melyre igaz, hogy $\dsize0\le
\dfrac1{2\delta}\int_{-\delta}^\delta
\Re[1-\varphi_n(t)]\,dt\le\dfrac\e2$, ha $n\ge n_0$. M\'asr\'eszt
$$
\align
&\frac1{2\delta}\int_{-\delta}^\delta
\Re[1-\varphi_n(t)]\,dt=\int_{-\delta}^\delta\frac1{2\delta}
\int_{-\infty}^\infty \[1-\cos tx\]\,dF_n(x)\,dt\\
&\qquad=\int_{-\infty}^\infty\frac1{2\delta}\int_{-\delta}^\delta
[1-\cos tx]\,dt\,dF_n(x)
=\int_{-\infty}^\infty\[\frac t{2\delta}-\dfrac{\sin tx}{2\delta
x}\]_{t=-\delta}^{t=\delta}\,dF_n(x)\\
&\qquad=\int_{-\infty}^\infty\(1-\frac{\sin\delta x}{\delta
x}\)\,dF_n(x) =\int_{-K}^K\(1-\frac{\sin\delta x}{\delta x}\)\,dF_n(x)
\\ &\qquad\qquad+\int_{|x|>K}\(1-\frac{\sin\delta x}{\delta x}\)
\,dF_n(x)
\endalign
$$
tetsz\H{o}leges $K>0$ sz\'amra. Tov\'abb\'a
$1-\dfrac{\sin\delta x}{\delta x}\ge0$ minden $x$ sz\'amra, \'es
$1-\dfrac{\sin\delta x}{\delta x}\ge\dfrac12$, ha $x\ge\dfrac2\delta$.
Innen kapjuk $K=\dfrac2\delta$ v\'alaszt\'assal, hogy
$$
\dfrac\e2\ge\frac1{2\delta}\int_{-\delta}^\delta
\Re[1-\varphi_n(t)]\,dt\ge\int_{|x|>K}\dfrac12\,dF_n(x),
$$
azaz  $F_n(-K)+(1-F_n(K))\le\e$, ha $n\ge n_0$. Nem neh\'ez bel\'atni,
hogy a $K$ index esetleges n\"ovel\'es\'evel el\'erhet\H{o}, hogy ez
az egyenl\H{o}tlens\'eg a marad\'ek v\'eges sok $1\le n\le n_0$
indexre is teljes\"ulj\"on.
 
 
 
 \bye
 
