A Valószínűségszámítás II. előadássorozat ötödik előadása. 2002. október 8.

Az Eloszlások konvergenciájáról szóló alaptétel bizonyítása.

Először felidézem az előadáson bizonyítandó eredményt.

Eloszlások konvergenciájáról szóló alaptétel. Legyen F_{n}(u), −∞ < u < ∞, eloszlásfüggvények egy sorozata φ_{n}(t) = ∫ e^{itu}F_{n}( du) karakterisztikus függvényekkel, n = 1, 2, . . .. Ha a φ_{0}(t) = lim_{n→∞} φ_{n}(t) határérték létezik minden −∞ < t < ∞ számra, és a φ_{0}(t) limeszfüggvény folytonos az origóban, akkor létezik olyan F_{0}(u) eloszlásfüggvény, melynek a φ_{0}(t) függvény a karakterisztikus függvénye. Továbbá e feltétel teljesülése esetén az F_{n}(u) eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak az F_{0}(u) eloszlásfüggvényhez.

Megfordítva, ha F_{n}(u), n = 1, 2, …, eloszlásfüggvényeknek egy olyan sorozata, mely egy F_{0}(u) eloszlásfüggvényhez konvergál eloszlásban, φ_{n}(t), n = 1, 2, …, jelöli az F_{n}(u), φ_{0}(t) pedig az F_{0}(u) eloszlásfüggvény karakterisztikus függvényét, akkor φ_{0}(t) = lim_{n→∞} φ_{n}(t) minden −∞ < t < ∞ számra. Továbbá, ez a konvergencia egyenletes minden véges intervallumban.

Az alaptétel bizonyításában alapvető szerepet játszik eloszlásfüggvényekből álló sorozatok relatív kompaktságának az alább megfogalmazott definiciója, illetve egy önmagában is érdekes tétel, mely egyszerű szükséges és elégséges feltételt ad eloszlásfüggvénysorozatok relatív kompaktságára.

Eloszlásfüggvények relatív kompaktságának definiciója. Legyen adva F_{n}(·), n = 1, 2, …, eloszlásfüggvényeknek egy sorozata. Azt mondjuk, hogy ez az eloszlásfüggvénysorozat relatív kompakt, ha az F_{n} sorozat tetszőleges F_{n_{k}} részsorozatának k = 1, 2, …, létezik F_{n_{k_{j}}}, j = 1, 2, …, eloszlásban konvergens részsorozata.

A későbbi eredmény megfogalmazása érdekében megfogalmazzuk az alábbi eredményt.

Eloszlásfüggvények feszességének definiciója. Eloszlásfüggvények egy F_{n} sorozata feszes, ha tetszőleges ε > 0 számra létezik olyan K = K(ε) szám, melyre teljesül az F_{n}(K) − F_{n}(−K) ≥ 1 − ε egyenlőtlenség minden n = 1, 2, … indexre.

Megjegyzem, hogy a fenti definicióban megfogalmazott feltétel ekvivalens azzal, hogy F_{n}(−K) < ε, 1 − F_{n}(K) < ε alkalmas K = K(ε) számra minden ε > 0 számra és n = 1, 2, … indexre. A feszesség szemléletes tartalma az, hogy egy F_{n}(·) eloszlású ξ_{n} valószínűségi változóra P (ξ_{n} ∈ [−K, K]) ≥ 1 − ε, azaz meg tudunk adni egy olyan az n indextől nem függő intervallum, hogy annak valószínűsége, hogy a ξ_{n} ebbe az intervallumba esik nagyobb, mint 1 − ε. Most mefogalmazzuk az alábbi fontos tételt.

Tétel eloszlásfüggvények relatív kompaktságáról. Eloszlásfüggvények egy F_{n}(·) sorozata akkor és csak akkor relatív kompakt, ha feszes. Speciálisan eloszlásfüggvények eloszlásban konvergens sorozata feszes.

Bizonyítás: Először azt látjuk be, hogy ha az F_{n}, n = 1, 2, …, eloszlásfüggvények sorozata relatív kompakt akkor feszes is.

Tegyük fel ugyanis indirekt módon, hogy az eloszlásfüggvények ezen F_{n} sorozata nem feszes. E feltevés teljesülése esetén létezik egy ε > 0 szám, az F_{n} eloszlásfüggvények egy olyan F_{n_{k}} részsorozata, és egy olyan K_{n} → ∞ számsorozat, melyekre F_{n}(K_{n}) − F_{n}(−K_{n}) < 1 − ε. Megmutatjuk, hogy ennek az F_{n_{k}} eloszlásfüggvénysorozatnak nincs eloszlásban konvergens részsorozata. Innen következik, hogy az indirekt feltevés ellentmondáshoz vezet.

Valóban, tegyük fel, hogy az F_{n_{k}} eloszlásfüggvénysorozat valamely F_{n_{k_{j}}} részsorozata eloszlásban konvergál egy F eloszlásfüggvényhez. Ekkor létezik olyan K > 0 szám, melyre F (K)−F (−K) > 1− \frac{ε}{2}, és feltehetjük, hogy a ±K pontok az F eloszlásfüggvény folytonossági pontjai. (Egy eloszlásfüggvénynek, és általánosabban egy monoton függvénynek csak megszámlálható sok olyan pontja van, ahol nem folytonos.). Ekkor az eloszlásban való konvergencia definiciója alapján teljesülni kellene a

lim_{j→∞} (F_{n_{k_{j}}} (K) − F_{n_{k_{j}}} (−K)) = F (K) − F (−K)

relációnak. Ez azonban nem lehetséges, mert a baloldalon szereplő sorozat lim sup-ja kisebb mint 1 − ε, míg a jobboldal nagyobb mint 1 − \frac{ε}{2}.

Bebizonyítjuk a Tétel másik állítását, mely szerint, ha eloszlásfüggvények egy F_{n} sorozata feszes, akkor az relatív kompakt. Azt kell belátnunk, hogy az F_{n} sorozat tetszőleges részsorozatának létezik eloszlásban konvergens részorozata. Az egyszerűbb jelölés érdekében a részsorozat újra indexelésével jelöljük ezt a részsorozatot is F_{n}-nel. Azt kell belátnunk, hogy ennek az új (szintén feszes) F_{n} mértéksorozatnak létezik eloszlásban konvergens részsorozata. Ennek az állításnak a bizonyítása érdekében először megmutatjuk az úgynevezett átlós eljárás segítségével, hogy F_{n} eloszlásfüggvények sorozatának van egy olyan F_{n_{j}} részsorozata, melyre létezik az

F̃(t) = lim_{j→∞} F_{n_{j}}(t)  (b1)

határérték minden racionális t számra.

Valóban, rendezzük a racionális számok (megszámlálható) halmazát valamilyen u^{(1)}, u^{(2)}, … sorozatba. Mivel 0 ≤ F_{n}(u) ≤ 1 minden −∞ < u < ∞ számra, ezért létezik az egész számoknak olyan n̄_{j} = (n_{j,1}) részsorozata, melyre a lim_{j→∞} F_{n_{j,1}}(u^{(1)}) =

F̃(u^{(1)}) határérték létezik. Ennek a sorozatnak létezik olyan n_{j,2} részsorozata, melyre létezik a lim_{j→∞} F_{n_{j,2}}(u^{(2)}) = F̃(u^{(2)}) határérték. Ezt az eljárást folytatva kapunk egy-

másba skatulyázott n_{j,p}, j = 1, 2, …, sorozatot minden p = 1, 2, … számra, melyekre {n_{p+1,j}, j = 1, 2, … } ⊂ {n_{p,j}, j = 1, 2, … }, p = 1, 2, …, és minden p = 1, 2, … számra létezik a lim_{j→∞} F_{n_{j,p}}(u^{(p)}) = F̃(u^{(p)}) határérték. Ekkor az n_{j} = n_{j,j} sorozat

teljesíti a (b1) relációt.

Vezessük be az

F (u) = sup_{u^{(k)}<u} F̃ (u^{(k)})  (b2)

függvényt. Azt állítjuk, hogy F (u) eloszlásfüggvény, és az F_{n_{j}}(u) eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak ehhez az F (u) eloszlásfüggvényhez, ahol az n_{j} számsorozat olyan, amelyik teljesíti a (b1) relációt. Ha ezt az állítást belátjuk, akkor befejeztük a Tétel bizonyítását. (A tétel utolsó állítása, miszerint eloszlásfüggvények konvergens sorozata feszes, az előző eredmények alapján már nyilvánvaló. Ugyanis egy konvergens részsorozat relatív kompakt, ezért a Tétel már bebizonyított része szerint feszes.)

Az, hogy az F (u) függvény eloszlásfüggvény azt jelenti, hogy ez a függvény teljesíti a következő négy tulajdonságot.

(i) F (u) az u változó balról folytonos függvénye.

(ii) lim_{u→∞} F (u) = 1.

(iii) lim_{u→−∞} F (u) = 0.

(iv) F (u) monoton függvény.

Mivel a racionális koordinátájú pontokon definiált F̃(u) minden koordinátájának monoton függvénye, ezért a (b2) formulában definiált F (·) függvény teljesíti az (i) és (iv) tulajdonságokat. Továbbá ebből a monotonitásból az is következik, hogy a (b2) formulában a sup helyett limeszt írhatunk, ahol olyan u^{(p)} sorozatot tekintünk a limeszben, melyre u^{(p)} < u számra, és lim_{p→∞} u^{(p)} = u. Vegyük észre, hogy a (ii) és (iii) tulajdonság

érvényes akkor, ha az F_{n} függvényeket a F̃ függvénnyel helyettesítjük, és a limeszt csak racionális koordinátájú pontokban tekintjük. (A bizonyásnak ebben a pontjában használjuk ki, hogy az F_{n} eloszlásfüggvények feszesek.) Innen és a (b2) formulából következik, hogy az F függvény a (ii) és (iii) tulajdonságokat is teljesíti.

Annak érdekében, hogy megmutassuk azt, hogy az F_{n_{j}} eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak az F eloszlásfüggvényhez tekintsük az F függvény valamely u folytonossági pontját, majd minden rögzített ε > 0 számhoz válasszunk olyan δ = δ(ε) számot, melyre F (u) − ε ≤ F (u − δ) ≤ F (u) ≤ F (u + δ) ≤ F (u) + ε. Válasszunk ezután két racionális r és r̄ pontot, melyekre u − δ < r < u < r̄ < u + δ. Ekkor a F̃(·) függvény monotonitási tulajdonságai és az F függvény definiciója alapján

F (u) − ε ≤ F (u − δ) < F̃(r) ≤ F (u) ≤ F̃(r̄) ≤ F (u + δ) ≤ F (u) + ε

Innen, a F̃ függvény definiciója és az F_{n_{j}} függvények monotonitási tulajdonságai miatt

F (u) − ε ≤ lim_{j→∞} F_{n_{j}}(r) ≤ lim inf_{j→∞} F_{n_{j}}(u)

≤ lim sup_{j→∞} F_{n_{j}}(u) ≤ lim_{j→∞} F_{n_{j}}(r̄) ≤ F (u) + ε,

ezért

−ε ≤ lim inf_{j→∞} F_{n_{j}}(u) − F (u) ≤ lim sup_{j→∞} F_{n_{j}(u)} − F (u) ≤ ε.

Mivel ez a reláció minden ε > 0-ra igaz, innen következik, hogy lim_{j→∞} F_{n_{j}}(u) = F (u), és

ezt kellett bizonyítani.

Fogalmazzuk meg ezután az alábbi egyszerű, de a továbbiakban fontos észrevételt egy állítás formájában.

Állítás: Eloszlásfüggvények egy F_{n} sorozata akkor és csak akkor konvergál egy eloszlásfüggvényhez, ha relatív kompakt, és minden konvergens részsorozatának ugyanaz a határértéke.

Indoklás: Eloszlások konvergens részsorozata nyílván relatív kompakt, és minden (konvergens) részsorozata ugyanahhoz az eloszlásfüggvényhez konvergál, mint az eredeti sorozat. Megfordítva, ha egy eloszlásfüggvények egy sorozata relatív kompakt, és minden konvergens részsorozatának ugyanaz a határértéke, akkor válasszuk ki egy konvergens részsorozatát és annak határértékét, melyet jelöljünk G(·)-szel. Azt állítjuk, hogy az eloszlásfüggvények sorozata konvergál ehhez a G(·) elásfüggvényhez. Valóban, ellenkező esetben a G(·) eloszlásfüggvénynek létezne olyan x folytonossági pontja, melyre az F_{n}(x) számsorozat nem konvergál a G(x) számhoz. Ekkor kiválasztható az F_{n} eloszlásfüggvényeknek egy olyan F_{n_{k}} részsorozata, melyre létezik lim_{k→∞} F_{n_{k}}(x) ≠ G(x) határértéke. Kiválasztva ennek az F_{n_{k}} sorozatnak egy konvergens részsorozatát, az eredeti eloszlásfüggvényeknek egy olyan részsorozatát kapjuk, amelyiknek határértéke különbözik a G(·) eloszlásfüggvénytől, és ez ellentmondás.

Az alaptételt bizonyításában nagyon hasznos az alábbi lemma, mely feltételt ad a karakterisztikus függvények nyelvén arra, hogy eloszlásfüggvények egy sorozata feszes legyen.

2. Lemma. Tekintsük F_{n} eloszlásfüggvények egy sorozatának φ_{n}(t) = ∫ e^{itu}F_{n}(du) karakterisztikus függvényeit, n = 1, 2, . . .. Tegyük fel, hogy van a nullának egy olyan (−δ, δ) kis környezete, melyre a φ_{n}(t) karakterisztikus függvények konvergálnak egy φ_{0}(t), −δ ≤ t ≤ δ függvényhez, és a φ_{0}(·) függvény folytonos az origóban. Ekkor az F_{n} eloszlások családja feszes.

Bizonyítás: Írjuk fel a következő azonosságot:

\frac{1}{2δ} ∫_{−δ}^{δ} Re [1 − φ_{n}(t)] dt = ∫_{−δ}^{δ} \frac{1}{2δ} ∫_{−∞}^{∞} [1 − cos tx] dF_{n}(x) dt

= ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{2δ} ∫_{−δ}^{δ}[1 − cos tx] dt dF_{n}(x) = ∫_{−∞}^{∞} [\frac{t}{2δ} − \frac{sin tx}{2δx}]_{t=−δ}^{t=δ} dF_{n}(x)

= ∫_{−∞}^{∞} (1 − \frac{sin δx}{δx}) dF_{n}(x) = ∫_{−K}^{K} (1 − \frac{sin δx}{δx}) dF_{n}(x)

+ ∫_{|x|>K} (1 − \frac{sin δx}{δx}) dF_{n}(x) = I_{1,n}^{δ}(K) + I_{2,n}^{δ}(K),

(c1)

ahol Re z a z szám valós részét jelöli. Belátjuk a (c1) formula segítségével, hogy a

2. lemma feltételeinek teljesülése esetén az F_{n} mértékek feszesek. Mivel (1 − \frac{sin δx}{δx}) ≥ 0 minden x-re és δ-ra, ezért a formula baloldala felső becslést ad az I_{2,n}^{δ}(K) kifejezésre tetszőleges δ > 0 n ≥ 1 és K > 0 számokra. Továbbá azt állítjuk, hogy tetszőleges ε > 0 számhoz létezik olyan δ > 0 szám és n_{0} = n_{0}(ε, δ) egész szám, hogy

\frac{1}{2δ} ∫_{−δ}^{δ} Re [1 − φ_{n}(t)] dt ≤ ε,  ha n ≥ n_{0}.  (c2)

Valóban, mivel Re (1−φ_{0}(0)) = lim_{n→∞} Re (1−φ_{n}(0)) = 0, és a φ_{0}(t) függvény feltevésünk szerint folytonos az origóban, ezért létezik olyan δ > 0 szám, melyre 0 ≤ Re (1−φ_{0}(t)) ≤

\frac{ε}{2}, ha |t| ≤ δ. Ezért nyílván 0 ≤ \frac{1}{2δ} ∫_{−δ}^{δ} Re (1 − φ_{0}(t)) ≤ \frac{ε}{2}. Innen viszont azt kapjuk, a

Lebesgue féle dominált konvergencia tételből, hogy igaz a (c2) formula. A (c1) és (c2) formulb́ól valamint a (c1) formula után tett megjegyzésből következik, hogy

ε ≥ ∫_{|x|≥K} (1 − \frac{sin δx}{δx}) dF_{n}(x),  ha δ = δ(ε) > 0 elég kicsi, és n ≥ n_{0}(δ, ε). (c3)

Válasszunk K = \frac{1}{2δ} -t. Ekkor a (c3) formula integráljában az integrandus nagyobb,

mint \frac{1}{2}, ezért a (c3) formula azt adja, hogy tetszőleges ε > 0 számhoz létezik olyan K = K(ε) és n_{0} = n_{0} szám, hogy

ε ≥ \frac{1}{2} (F_{n}(−K) + (1 − F_{n}(K))) , ha n ≥ n_{0}.

Tovább növelve a K számot elérhetjük, hogy ez az egyenlőtlenség minden n indexre igaz legyen. Az, hogy ez az egyenlőtlenség minden ε > 0 számra és alkalmas K = K(ε) számra teljesül azt jelenti,hogy az F_{n} eloszlásfüggvények feszesek.

A bebizonyított eredmények alapján már nem nehéz bebizonyítani az alaptételt.

Az eloszlások konvergenciájáról szóló alaptétel bizonyítása. Bizonyítsuk be először a Tétel azon állítását, amelyik szerint abból a tényből, hogy az F_{n}(·) eloszlásfüggvények φ_{n}(·) karakterisztikus függvényei egy az origóban folytonos függvényhez konvergálnak következik az F_{n} eloszlásfüggvények eloszlásban való konvergenciája.

A 2. Lemma alapján abból, hogy az F_{n} eloszlásfüggvények karakterisztikus függvényei egy az origóban folytonos függvényhez konvergálnak következik, hogy az F_{n} eloszlásfüggvények feszesek. Ezért az eloszlásfüggvények relatív kompaktságáról bizonyított tétel alapján az F_{n} eloszlásfüggvények relatív kompaktak. Az előadásban Állításként megfogalmazott eredmény alapján ahhoz, hogy belássuk azt, hogy az F_{n} eloszlások konvergálnak egy eloszlásfüggvényhez, elég megmutatni, hogy az F_{n} eloszlásfüggvények tetszőleges konvergens F_{n_{k}} sorozatának a határértéke ugyanaz az F eloszlásfüggvény. Viszont az előző előadás elején 1. Tétel néven felidézett eredmény szerint egy konvergens F_{n_{k}} eloszlásfüggvénysorozat limeszének a karakterisztikus függvénye a φ_{0}(t) = lim_{k→∞} φ_{n_{k}}(t) függvény, ami független a részsorozattól. Viszont az előző előadáson sz-

ereplő 2. Tétel alapján a φ_{0}(t) függvény meghatározza az F határeloszlást. Az elmondottakból a Tétel azon állítása is következik, hogy a határeloszlásfüggvény karakterisztikus függvénye a φ_{0}(t) = lim_{k→∞} φ_{n_{k}}(t) függvény. (Mellesleg az is kiderült ebből a bizonyításból, hogy karakterisztikus függvények határértéke is karakterisztikus függvény. Ez korántsem nyílvánvaló állítás, és az analízis bizonyos vizsgálataiban hasznos. Erről a Kiegészítésben teszek néhány megjegyzést.)

Ezután már csak az Alaptétel második paragrafusában megfogalmazott állítás bizonyítása van hátra. Sőt, azt már beláttuk a Tétel A és az 1. Lemma eredményében, hogy ha az eloszlásfüggvények határeloszlása létezik, akkor azok karakterisztikus függvényei is konvergálnak, sőt azt is tudjuk, hogy egy folytonos függvényhez konvergálnak. Azt kell még megindokolni, hogy ebben az esetben a karakterisztikus függvények egyenletesen konvergálnak minden véges intervallumon. Ez viszont belátható, ha először felhasználjuk, hogy konvergens F_{n} eloszlásfüggvények sorozata egyenletesen feszes, és észrevesszük, hogy ebből a tényből az 1. Lemma bizonyításának módosításával az is látható, hogy az F_{n} eloszlások φ_{n}(·) karakterisztikus függvényei egyenlő mértékben egyaenletesenfolytonosak, azaz minden ε > 0 számhoz létezik olyan δ = δ(ε szám, melyre |φ_{n}(t) − φ_{n}(s)| ≤ ε, ha |s − t| ≤ δ. (A lényeg az, hogy a δ küszöbindex nem függ az n, s és t számoktól, ha |t − s| ≤ δ és az egyenlőtlenség minden n ésilyen s és t számokra teljesül. Valóban, ha |t − s| ≤ δ, akkor

|φ_{n}(t) − φ_{n}(s)| ≤ ∫ |e^{iut} − e^{ius}|F_{n}( du) ≤ ∫_{u: |u|≤K} sup_{u: |u|≤K} |e^{iut} − e^{ius}|F_{n}( du)

+ ∫_{u: |u|>K} 2F_{n}( du) ≤ sup_{(s,t) : |t−s|≤δ} |e^{iu(t−s)} − 1| + F_{n}(−K) + (1 − F_{n}(K))

egyenlőtlenség. Az F_{n} eloszlások feszessége miatt tetszőleges ε > 0 számhoz választhatunk olyan K = K(ε) számot, melyre F_{n}(−K) + (1 − F_{n}(K)) ≤ \frac{ε}{2} minden n = 1, 2, …

számra. Ezután elég kis δ = δ(ε, K) > 0 választással elérhetjük, hogy sup_{u: |u|≤K} |e^{iut} −

e^{ius}1| = sup_{u: |u|≤K} |e^{iu(t−s)} − 1| ≤ \frac{ε}{2}, ha |t − s| ≤ δ. Innen következik, hogy |φ_{n}(t + δ) −

φ_{n}(t)| ≤ ε, ha |t − s| < δ_{0}, azaz a φ_{n}(·) függvények egyenlő mértékben folytonosak.

Ahhoz, hogy megmutassuk, hogy a φ_{n}(·) karakterisztikus függvények egyenletesen konvergálnak egy [a, b] intervallumban, elég beláni, hogy minden ε > 0 számra, létezik olyan n_{0} szám, hogy |φ_{n}(t) − φ_{m}(t)| ≤ ε, ha t ∈ [a, b], és n ≥ n), m ≥ n_{0}. Ennek belátása érdekében válasszunk olyan δ > 0 számot, melyre |φ_{n}(t) − φ_{n}(s)| ≤ \frac{ε}{3} minden n = 1, 2, … indexre és olyan (s, t) számpárra, melyre |t − s| ≤ δ. Válasszuk az [a, b] intervallumnak egy olyan t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{L} = b véges felosztását, melyre t_{l+1} − t_{l} ≤ δ, l = 1, 2, …, L − 1. Ezután válasszunk olyan n_{0} számot, melyre igaz, hogy |φ_{n}(t_{l}) − φ_{n}(t_{l})| ≤ \frac{ε}{3}, ha n ≥ n_{0}, m ≥ n_{0}, és l = 1, …, L − 1. Ez lehetséges, mert a φ_{n}(t) számsorozat minden t számra konvergens. Ezután tetszőleges t ∈ [a, b] számra találhatunk olyan l indexet, melyre |t − t_{l}| ≤ δ, és felírhatjuk, hogy |φ_{n}(t) − φ_{m}(t)| ≤ |φ_{n}(t) − φ_{n}(t_{l})| + |φ_{m}(t) − φ_{m}(t_{l})| + |φ_{n}(t_{l}) − φ_{m}(t_{l})| ≤ ε, ha n ≥ n_{0} és m ≥ n_{0}. Az alaptételt bebizonyítottuk.

Megjegyzés: A bizonyított eredmény speciálisan azt is mondja, hogy karakterisztikus függvények konvergens sorozatának a határértéke is karakterisztikus függvény. Felmerülhet egyben az igény, hogy jellemezzük azokat a függvényeket, melyek egy alkalmas valószínűségi mérték karakterisztikus függvényei. Ezt megfogalmazták egy korántsem könnyű eredményben, amelyiket az irodalomban Bochner tételnek hívnak. Mivel ez az eredmény elsősorban az analízisben és nem a valószínűségszámításban fontosak, ezt általában valószínűségszámítási tankönyvekben bizonyítás nélül szokták ismertetni. A Kiegészítésben fogok írni róla, és röviden ismertetem a probléma hátterét.

Kiegészítés: A.) A mértékelmélet legfontosabb eredményei konvergens függvénysorok integráljairól.

A valószínűségszámítás eredményeinek bizonyításában gyakran van szükségünk olyan eredményekre, melyek azt mondják ki, hogy konvergens függvények sorozatának az integrálja valamely mérték szerint konvergál a határfüggvény integráljához eme mérték szerint. Az ilyen eredmények vizsgálata a mértékelmélet témakörbe tartozik. Mégis, hasznosnak látszik a legfontosabb eredmények ismertetése. Ezek az úgynevezett Lebesgue (dominated convergence) tétel, a Beppo–Levy tétel és a Fatou lemma. Leírok néhány egyszerű példát is, melyek segíthetnek ezen eredmények tartalmát jobban megérteni.

Lebesgue tétel. Legyen f_{n}, n = 1, 2, …, mérhető függvények sorozata egy (X, X , μ) mértéktéren. Tegyük fel, hogy lim_{n→∞} f_{n}(x) = f_{0}(x) a μ mérték szerint majdnem minden x ∈ X pontban, és létezik olyan “domináns” g függvény az (X, X , μ) téren, melyre |f_{n}(x)| ≤ g(x) a μ mérték szerint majdnem minden x ∈ X pontban minden n = 1, 2, …, indexre, és ∫ g(x) dμ(x) < ∞. Ekkor lim_{n→∞} ∫ f_{n}(x) dμ(x) = ∫ f_{0}(x) dμ(x).

Beppo-Levy tétel. Legyen f_{n}, n = 1, 2, …, mérhető függvények sorozata egy (X, X , μ) mértéktéren. Tegyük fel, hogy az f_{n}(x) sorozat monoton növekszik, azaz f_{1}(x) ≤ f_{2}(x) ≤ f_{3}(x) ≤ ⋯ majdnem minden x ∈ X pontban. Legyen lim_{n→∞} f_{n}(x) = f_{0}(x) az f_{n}

függvények limesze. Tegyük fel, hogy teljesül az ∫ f_{1}(x) dμ(x) > −∞ feltétel. Ekkor lim_{n→∞} ∫ f_{n}(x) dμ(x) = ∫ f_{0}(x) dμ(x). Ez úgy értendő, hogy amennyiben lim_{n→∞} ∫ f_{n}(x) =

∞, akkor ∫ f_{0}(x) dμ(x) = ∞.

Fatou lemma. Legyen f_{n}, n = 1, 2, …, mérhető függvények sorozata egy (X, X , μ) mértéktéren. Tegyük fel, hogy lim_{n→∞} f_{n}(x) = f_{0}(x) a μ mérték szerint majdnem minden x ∈ X pontban, és létezik olyan “alsó korlát” g függvény az (X, X , μ) téren, melyre f_{n}(x) ≥ g(x) a μ mérték szerint majdnem minden x ∈ X pontban minden n = 1, 2, … indexre, és ∫ g(x) dμ(x) > −∞. Ekkor lim inf_{n→∞} ∫ f_{n}(x) dμ(x) ≥ ∫ f_{0}(x) dμ(x).

A fenti tételekben szereplő feltételek jobb megértése érdekében tekintsük a következő példát. Legyen (X, X , μ) a (0, 1] intervallum, rajta a Borel σ-algebra, és Lebesgue mérték a μ mérték. Definiáljuk a következő f_{n}(x), n = 1, 2, …, függvényeket ezen a

téren. f_{n}(x) = n, ha 0 < x ≤ \frac{1}{n}, f_{n}(x) = 0, ha \frac{1}{n} ≤ x ≤ 1. Ekkor lim_{n→∞} f_{n}(x) =

f_{0}(x) minden x ∈ (0, 1] pontban, ahol f_{0}(x) ≡ 0. Ekkor ∫ f_{n}(x) dμ(x) = 1 minden n = 1, 2, …, számra, és ∫ f_{0}(x) dμ(x) = 0. Ekkor a Lebesgue tétel és a Beppo–Levy tétel nem feltételei teljesülnek, a Fatou lemma feltételei pedig teljesülnek.

Legyen f_{n}(x) = −\frac{1}{x}, ha 0 < x ≤ \frac{1}{n}, és f_{n}(x) = 0, ha \frac{1}{n} < x ≤ 1, n = 1, 2, . . .. Ekkor ez egy monoton függvénysorozat, melyre lim_{n→∞} f_{n}(x) = f_{0}(x), f_{0}(x) ≡ 0. Ekkor

∫ f_{n}(x) dx = −∞ minden n = 1, 2, …, számra, és ∫ f_{0}(x) dx = 0. Ekkor a Beppo–Levy tételben szereplő feltételek közül az ∫ f_{1}(x) dμ(x) > −∞ nem teljesül.

Kiegészítés: B.) Karakterisztikus függvények jellemzése.

A karakterisztikus függvények jellemzése természetes problémája a Fourier analízisben. Emlékeztettek arra, hogy egy integrálható f(x) függvény Fourier transzformáltját az

f̃(t) = ∫_{−∞}^{∞} e^{itx}f(x) dx, −∞ < t < ∞,

képlettel szokás definiálni, egy μ előjeles mértéknek, amely μ + μ_{1} − μ_{2} alakban előállítható, ahol μ_{1} és μ_{2} véges mérték szintén szokás definiálni a Fourier transzformáltját az

φ_{μ}(t) = ∫ e^{itx}μ(dx) = ∫ e^{itx}μ_{1}(dx) − ∫ e^{itx}μ_{2}(dx)

alakban. (A mértékelmélet egyik fontos eredménye, az úgynevezett Hahn–féle felbontási tétel szerint minden úgynevezett korlátos változúsú előjeles mérték előállítható ilyen alakban). Mint az ebben az előadásban tárgyalt eredmény is mutatja gyakran érdemes bizonyos problémák vizsgálatában áttérni a függvények vagy mértéket Fourier transzformáltját tekinteni, és azok segítségével vizsgálni a minket érdeklő eredményeket. Jegyezzük meg, hogy egy karakterisztikus függvény nem más, mint egy (pozitív) egyre normált mérték Fourier transzformáltja. Ahhoz azonban, hogy a Fourier transzformáltakkal jól tudjunk dolgozni szükséges, hogy lássuk, hogyan tükröződnek az eredeti függvények vagy előjeles mértékek tulajdonságai azok Fourier transzformáltjában.

Az ilyen jellegű kérdések között az egyik természetes probléma az, hogy lássuk a pozitív függvények vagy általánosabban pozitív mértékek (azaz olyan μ σ-additív halmazfüggvények a számegyenes Borel σ-algebrájan, melyekre ∞ > μ(A) ≥ 0 minden Borel-mérhető A halmazra) pozitívitása, hogyan tükröződik annak Fourier transzformáltjában. Ezt a kérdést válaszolja meg az alább ismertetett Bochner-tétel. Ennek megfogalmazása előtt azonban bevezetem a következő a Tétel megfogalmazásában fontos szerepet játszó fogalmat.

Pozitív definit függvény definiciója. Egy a számegyenesen értelmezett f(x), −∞ < x < ∞, függvény pozitív definit, ha tetszőleges x_{1}, …, x_{n} valós és z_{1}, …, z_{n} komplex

számokra ∑_{j=1}^{n} ∑_{k=1}^{b} z_{j}z̄_{k}f(x_{j} − x_{k}) ≥ 0. (Ez természetesen azt is jelenti, hogy a tekintett

kifejezés a lehetséges komplex szám együtthatók ellenére mindig valós.

Most megfogalmazom a Bochner tételt.

Bochner tétel. Egy f(x) függvény akkor és csak akkor Fourier transzformáltja egy (pozitív, véges) mértéknek, ha pozitív definit és folytonos függvény. Speciálisan akkor és csak akkor karakterisztikus függvénye egy alkalmas valószínűségi mértéknek, ha pozitív definit, folytonos függvény, és ezenkívül f(0) = 1.

Annak bizonyítása, hogy egy mérték Fourier transzformáltja pozitív definit és folytonos függvény viszonylag egyszerűen bizonyítható. Azt kell először ellenőrizni, hogy ez a tulajdonság érvényes az e_{x}(t) = e^{itx} alakú függvényekre, és ez öröklődik az ∫ e^{itx}μ( dx) alakú függvényekre is. Az állítás másik felének a bizonyítása lényegesen nehezebb.

A bizonyítást nem ismertetem, de érdemes néhány szót szólni a nehézség okáról. Annak bizonyítása, hogy egy mérték Fourier transzformáltja folytonos, pozitív definit függvény azért viszonylag egyszerű, mert explicit módon felírt függvény tulajdonságait kell ellenőrizni. Viszont, amikor egy függvény van adva, nem létezik egyszerű inverziós formula, melynek segítségével ,,vissza lehet keresni” az eredeti előjeles mértéket, aminek ez a függvény a Fourier transzformáltja. A természetes bizonyítás úgy történhet, hogy először csak olyan függvényeket vizsgálunk, melyekre van viszonylag egyszerű inverziós formula, majd ilyenekkel próbálunk közelíteni az általános esetben. E program végrehajtásában hasznos lehet az Alaptétel, amely segít a bonyolultabb esetek vizsgálatában szükséges határátmenet végrehajtásában.

Végül még egy megjegyzést teszek. Elvileg a Bochner tétel lehetőséget ad annak eldöntésére, hogy egy függvény karakterisztikus függvény-e. De a szükséges feltételek ellenőrzése nehéz, ezért ez az eredmény nem igazán alkalmas e probléma vizsgálatában.