\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=2.5pt plus 1pt
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\font\script=cmcsc10
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as II.
el\H{o}ad\'assorozat \"ot\"odik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2002. okt\'ober 8.}
\medskip
\centerline{\bf
Az Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o alapt\'etel
bizony\'{\i}t\'asa.}
\medskip\noindent
El\H{o}sz\"or felid\'ezem az el\H{o}ad\'ason bizony\'{\i}tand\'o
eredm\'enyt.
\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o alapt\'etel.}
{\it Legyen $F_n(u)$, $-\infty<u<\infty$,
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek egy sorozata $\varphi_n(t)=\int
e^{itu}F_n(\,du)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel, $n=1,2,\dots$.
Ha a $\varphi_0(t)=\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t)$ hat\'ar\'ert\'ek
l\'etezik minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra, \'es a $\varphi_0(t)$
limeszf\"uggv\'eny folytonos az orig\'oban, akkor l\'etezik olyan
$F_0(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny, melynek a $\varphi_0(t)$
f\"uggv\'eny a karakterisztikus f\"uggv\'enye. Tov\'abb\'a e
felt\'etel teljes\"ul\'ese eset\'en az $F_n(u)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek eloszl\'asban konverg\'alnak
az $F_0(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.
 
Megford\'{\i}tva, ha $F_n(u)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek egy olyan sorozata, mely egy $F_0(u)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez kon\-ver\-g\'al eloszl\'asban,
$\varphi_n(t)$, $n=1,2,\dots$, jel\"oli az $F_n(u)$, $\varphi_0(t)$
pedig az $F_0(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et, akkor $\varphi_0(t)=\limm_{n\to\infty} \varphi_n(t)$
minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra. Tov\'abb\'a, ez a konvergencia
egyenletes minden v\'eges intervallumban.}\medskip\noindent
 
Az alapt\'etel bizony\'{\i}t\'as\'aban alapvet\H{o} szerepet j\'atszik
eloszl\'asf\"uggv\'enyekb\H{o}l \'all\'o sorozatok relat\'{\i}v
kompakts\'ag\'anak az al\'abb megfogalmazott definici\'oja, illetve
egy \"on\-ma\-g\'a\-ban is \'erdekes t\'etel, mely egyszer\H{u}
sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etelt ad
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-so\-ro\-za\-tok relat\'{\i}v
kompakts\'ag\'ara. \medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asf\"uggv\'enyek relat\'{\i}v kompakts\'ag\'anak
definici\'oja.} {\it Legyen adva $F_n(\cdot)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek egy sorozata. Azt mondjuk, hogy ez az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-so\-ro\-zat relat\'{\i}v kompakt, ha
az $F_n$ sorozat tetsz\H{o}leges $F_{n_k}$ r\'eszsorozat\'anak
$k=1,2,\dots$, l\'etezik $F_{n_{k_j}}$, $j=1,2,\dots$,
eloszl\'asban konvergens r\'eszsorozata.}
\medskip
A k\'es\H{o}bbi eredm\'eny megfogalmaz\'asa \'erdek\'eben
megfogalmazzuk az al\'abbi ered\-m\'enyt.
\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asf\"uggv\'enyek feszess\'eg\'enek definici\'oja.} {\it
Eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy $F_n$ sorozata feszes, ha
tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amra l\'etezik olyan $K=K(\e)$ sz\'am,
melyre teljes\"ul az $F_n(K)-F_n(-K)\ge1-\e$ egyenl\H{o}tlens\'eg
{\rm minden} $n=1,2,\dots$ indexre.}\medskip
 
Megjegyzem, hogy a fenti definici\'oban megfogalmazott felt\'etel
ekvivalens azzal, hogy $F_n(-K)<\e$, $1-F_n(K)<\e$ alkalmas $K=K(\e)$
sz\'amra minden $\e>0$ sz\'amra \'es $n=1,2,\dots$ indexre. A
feszess\'eg szeml\'eletes tartalma az, hogy egy $F_n(\cdot)$
eloszl\'as\'u $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora
$P(\xi_n\in[-K,K])\ge1-\e$, azaz meg tudunk adni egy olyan az $n$
indext\H{o}l nem f\"ugg\H{o} intervallum, hogy annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $\xi_n$ ebbe az intervallumba esik
nagyobb, mint $1-\e$. Most mefogalmazzuk az al\'abbi fontos t\'etelt.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel eloszl\'asf\"uggv\'enyek relat\'{\i}v
kompakts\'ag\'ar\'ol.} {\it Eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy $F_n(\cdot)$
sorozata akkor \'es csak akkor relat\'{\i}v kompakt, ha feszes.
Speci\'alisan el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
el\-osz\-l\'as\-ban konvergens sorozata feszes.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
El\H{o}sz\"or azt l\'atjuk be, hogy ha az $F_n$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyek sorozata relat\'{\i}v kompakt akkor feszes
is.
 
Tegy\"uk fel ugyanis indirekt m\'odon, hogy az
eloszl\'asf\"uggv\'enyek ezen $F_n$ sorozata nem fe\-szes. E
feltev\'es teljes\"ul\'ese eset\'en l\'etezik egy $\e>0$ sz\'am, az
$F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy olyan $F_{n_k}$
r\'eszsorozata, \'es egy olyan $K_n\to\infty$ sz\'amsorozat, melyekre
$F_n(K_n)-F_n(-K_n)<1-\e$. Megmutatjuk, hogy ennek az $F_{n_k}$
eloszl\'asf\"uggv\'enysorozatnak nincs eloszl\'asban
konvergens r\'eszsorozata. Innen k\"ovetkezik, hogy az indirekt
feltev\'es ellentmond\'ashoz vezet.
 
Val\'oban, tegy\"uk fel, hogy az $F_{n_k}$
eloszl\'asf\"uggv\'enysorozat valamely $F_{n_{k_j}}$
r\'esz\-so\-ro\-za\-ta el\-osz\-l\'as\-ban
konverg\'al egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez. Ekkor l\'etezik
olyan $K>0$ sz\'am, melyre $F(K)-F(-K)> 1-\frac\e2$, \'es
feltehetj\"uk, hogy a $\pm K$ pontok az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
folytonoss\'agi pontjai. (Egy eloszl\'asf\"uggv\'enynek, \'es
\'altal\'anosabban egy monoton f\"ugg\-v\'eny\-nek csak
megsz\'aml\'alhat\'o sok olyan pontja van, ahol nem folytonos.).
Ekkor az eloszl\'asban val\'o konvergencia
definici\'oja alapj\'an teljes\"ulni kellene a
$$
\limm_{j\to\infty}\(F_{n_{k_j}}(K)-F_{n_{k_j}}(-K)\)
=F(K)-F(-K)
$$
rel\'aci\'onak. Ez azonban nem lehets\'eges, mert
a baloldalon szerepl\H{o} sorozat $\limsup$-ja kisebb mint $1-\e$,
m\'{\i}g a jobboldal nagyobb mint $1-\frac\e2$.
 
Bebizony\'{\i}tjuk a T\'etel m\'asik \'all\'{\i}t\'as\'at, mely
szerint, ha eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy $F_n$  sorozata feszes,
akkor az relat\'{\i}v kompakt. Azt kell bel\'atnunk, hogy az $F_n$
sorozat tetsz\H{o}leges r\'eszsorozat\'anak l\'etezik
eloszl\'asban konvergens r\'eszorozata. Az egyszer\H{u}bb jel\"ol\'es
\'erdek\'eben a r\'eszsorozat \'ujra indexel\'es\'evel jel\"olj\"uk
ezt a r\'eszsorozatot is $F_n$-nel. Azt kell bel\'atnunk, hogy ennek
az \'uj (szint\'en feszes) $F_n$ m\'ert\'eksorozatnak
l\'etezik el\-osz\-l\'as\-ban konvergens r\'eszsorozata. Ennek az
\'all\'{\i}t\'asnak a bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben el\H{o}sz\"or
megmutatjuk az \'ugynevezett \'atl\'os elj\'ar\'as
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy $F_n$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
so\-ro\-za\-t\'a\-nak van egy olyan $F_{n_j}$ r\'eszsorozata, melyre
l\'etezik az
$$
\tilde F(t)=\limm_{j\to\infty} F_{n_j}(t) \tag b1
$$
hat\'ar\'ert\'ek minden racion\'alis $t$ sz\'amra.
 
Val\'oban, rendezz\"uk a racion\'alis sz\'amok (megsz\'aml\'alhat\'o)
halmaz\'at valamilyen $u^{(1)},u^{(2)},\dots$ sorozatba. Mivel $0\le
F_n(u)\le1$ minden $-\infty<u<\infty$ sz\'amra, ez\'ert l\'etezik
az eg\'esz sz\'amoknak olyan $\bar n_j=(n_{j,1})$ r\'eszsorozata,
melyre a $\limm_{j\to\infty}F_{n_{j,1}}(u^{(1)})=\tilde F(u^{(1)})$
hat\'ar\'ert\'ek l\'etezik. Ennek a sorozatnak l\'etezik olyan
$n_{j,2}$ r\'eszsorozata,
melyre l\'etezik a $\limm_{j\to\infty}F_{n_{j,2}}(u^{(2)})=\tilde
F(u^{(2)})$ hat\'ar\'ert\'ek. Ezt az elj\'ar\'ast
folytatva kapunk egy\-m\'as\-ba skatuly\'azott $n_{j,p}$,
$j=1,2,\dots$, sorozatot minden $p=1,2,\dots$ sz\'amra, melyekre
$\{n_{p+1,j},\;j=1,2,\dots\}\subset \{n_{p,j},\;j=1,2,\dots\}$,
$p=1,2,\dots$, \'es minden $p=1,2,\dots$ sz\'amra l\'etezik a
$\limm_{j\to\infty}F_{n_{j,p}}(u^{(p)})=\tilde F(u^{(p)})$
hat\'ar\'ert\'ek. Ekkor az $n_j=n_{j,j}$ sorozat teljes\'{\i}ti a
(b1) rel\'aci\'ot.
 
Vezess\"uk be az
$$
F(u)=\sup_{u^{(k)}<u} \tilde F\(u^{(k)}\) \tag b2
$$
f\"uggv\'enyt. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy $F(u)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny, \'es az $F_{n_j}(u)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban konverg\'alnak ehhez az
$F(u)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez, ahol az $n_j$
sz\'amsorozat olyan, amelyik teljes\'{\i}ti a (b1) rel\'aci\'ot. Ha
ezt az \'all\'{\i}t\'ast bel\'atjuk, akkor befejezt\"uk a T\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'at. (A t\'etel utols\'o \'all\'{\i}t\'asa, miszerint
eloszl\'asf\"uggv\'enyek konvergens sorozata feszes, az el\H{o}z\H{o}
eredm\'enyek alapj\'an m\'ar nyilv\'anval\'o. Ugyanis egy konvergens
r\'eszsorozat relat\'{\i}v kompakt, ez\'ert a T\'etel m\'ar
bebizony\'{\i}tott r\'esze szerint feszes.)
 
Az, hogy az $F(u)$ f\"uggv\'eny el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny azt
jelenti, hogy ez a f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o}
n\'egy tulajdons\'agot.
\medskip
\item {(i)} $F(u)$ az $u$ v\'altoz\'o balr\'ol
folytonos f\"uggv\'enye.
\item {(ii)} $\limm_{u\to\infty} F(u)=1$.
\item{(iii)} $\limm_{u\to-\infty} F(u)=0$.
\item{(iv)} $F(u)$ monoton f\"uggv\'eny.
\medskip
 
Mivel a racion\'alis koordin\'at\'aj\'u pontokon defini\'alt
$\tilde F(u)$ minden koor\-di\-n\'a\-t\'a\-j\'a\-nak monoton
f\"uggv\'enye, ez\'ert a (b2) formul\'aban defini\'alt $F(\cdot)$
f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az (i) \'es (iv) tulajdons\'agokat.
Tov\'abb\'a ebb\H{o}l a monotonit\'asb\'ol az is k\"ovetkezik, hogy
a (b2) formul\'aban a $\sup$ helyett limeszt \'{\i}rhatunk, ahol
olyan $u^{(p)}$ sorozatot tekint\"unk a limeszben, melyre
$u^{(p)}<u$ sz\'amra, \'es $\limm_{p\to\infty} u^{(p)}=u$.
Vegy\"uk \'eszre, hogy a (ii) \'es (iii) tulajdons\'ag \'erv\'enyes
akkor, ha az $F_n$ f\"uggv\'enyeket a $\tilde F$ f\"uggv\'ennyel
helyettes\'{\i}tj\"uk, \'es a limeszt csak racion\'alis
koordin\'at\'aj\'u pontokban tekintj\"uk. (A bizony\'asnak ebben a
pontj\'aban haszn\'aljuk ki, hogy az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
feszesek.) Innen \'es a (b2) formul\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy az $F$
f\"uggv\'eny a (ii) \'es (iii) tulajdons\'agokat is teljes\'{\i}ti.
 
Annak \'erdek\'eben, hogy megmutassuk azt, hogy az $F_{n_j}$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek el\-osz\-l\'as\-ban konverg\'alnak az $F$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez tekints\"uk az $F$ f\"uggv\'eny valamely
$u$ folytonoss\'agi pontj\'at, majd minden
r\"ogz\'{\i}tett $\e>0$ sz\'amhoz v\'alasszunk olyan
$\delta=\delta(\e)$ sz\'amot, melyre $F(u)-\e\le F(u-\delta)\le F(u)\le
F(u+\delta)\le F(u)+\e$. V\'alasszunk ezut\'an k\'et racion\'alis
$r$ \'es $\bar r$ pontot, melyekre $u-\delta <r<u<\bar r<u+\delta$.
Ekkor a $\tilde F(\cdot)$ f\"uggv\'eny monotonit\'asi tulajdons\'agai
\'es az $F$ f\"uggv\'eny definici\'oja alapj\'an
$$
F(u)-\e\le F(u-\delta)<\tilde F(r)\le F(u)\le \tilde F(\bar r)\le
F(u+\delta)\le F(u)+\e
$$
Innen, a $\tilde F$ f\"uggv\'eny definici\'oja \'es az $F_{n_j}$
f\"uggv\'enyek monotonit\'asi tulajdons\'agai miatt
$$
\align
F(u)-\e&\le \lim_{j\to\infty}F_{n_j}(r) \le
\liminf_{j\to\infty}F_{n_j}(u)\\
&\le\limsup_{j\to\infty}F_{n_j}(u)\le
\lim_{j\to\infty}F_{n_j}(\bar r)\le F(u)+\e,
\endalign
$$
ez\'ert
$$
-\e\le \liminf_{j\to\infty}F_{n_j}(u)-F(u) \le
\limsup_{j\to\infty}F_{n_j(u)}-F(u)\le\e.
$$
Mivel ez a rel\'aci\'o minden $\e>0$-ra igaz, innen k\"ovetkezik,
hogy $\limm_{j\to\infty}F_{n_j}(u)=F(u)$, \'es ezt kellett
bizony\'{\i}tani.
\medskip
Fogalmazzuk meg ezut\'an az al\'abbi egyszer\H{u}, de a tov\'abbiakban
fontos \'eszrev\'etelt egy \'all\'{\i}t\'as form\'aj\'aban.
\medskip\noindent
{\bf \'All\'{\i}t\'as:} {\it Eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy $F_n$
sorozata akkor \'es csak akkor konverg\'al egy
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez, ha relat\'{\i}v kompakt, \'es
minden konvergens r\'eszsorozat\'anak ugyanaz a hat\'ar\'ert\'eke.}
\medskip\noindent
{\it Indokl\'as:} Eloszl\'asok konvergens r\'eszsorozata
ny\'{\i}lv\'an relat\'{\i}v kompakt, \'es minden (konvergens)
r\'eszsorozata ugyanahhoz az eloszl\'asf\"uggv\'enyhez konverg\'al,
mint az eredeti sorozat. Megford\'{\i}tva, ha egy
eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy sorozata relat\'{\i}v kompakt, \'es
minden konvergens r\'eszsorozat\'anak ugyanaz a hat\'ar\'ert\'eke,
akkor v\'alasszuk ki egy konvergens r\'eszsorozat\'at \'es annak
hat\'ar\'ert\'ek\'et, melyet jel\"olj\"unk $G(\cdot)$-szel. Azt
\'all\'{\i}tjuk, hogy az eloszl\'asf\"uggv\'enyek sorozata
konverg\'al ehhez a $G(\cdot)$ el\'asf\"uggv\'enyhez. Val\'oban,
ellenkez\H{o} esetben a $G(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek
l\'etezne olyan $x$ folytonoss\'agi pontja, melyre az $F_n(x)$
sz\'amsorozat nem konverg\'al a $G(x)$ sz\'amhoz. Ekkor
kiv\'alaszthat\'o az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek egy olyan
$F_{n_k}$ r\'eszsorozata, melyre l\'etezik
$\limm_{k\to\infty}F_{n_k}(x)\neq G(x)$ hat\'ar\'ert\'eke.
Kiv\'alasztva ennek az $F_{n_k}$ sorozatnak egy konvergens
r\'eszsorozat\'at, az eredeti eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek egy olyan
r\'eszsorozat\'at kapjuk, amelyiknek hat\'ar\'ert\'eke k\"ul\"onb\"ozik
a $G(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt\H{o}l, \'es ez ellentmond\'as.
\medskip
Az alapt\'etelt bizony\'{\i}t\'as\'aban nagyon hasznos az al\'abbi
lemma, mely felt\'etelt ad a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
nyelv\'en arra, hogy eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy sorozata feszes
legyen.
\medskip\noindent
{\bf 2. Lemma.} {\it Tekints\"uk $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy
sorozat\'anak $\varphi_n(t)=\int e^{itu}F_n(du)$ karakterisztikus
f\"uggv\'enyeit, $n=1,2,\dots$. Tegy\"uk fel, hogy van a null\'anak
egy olyan $(-\delta,\delta)$ kis k\"ornyezete, melyre a
$\varphi_n(t)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyek konverg\'alnak egy
$\varphi_0(t)$, $-\delta\le t\le \delta$ f\"uggv\'enyhez, \'es a
$\varphi_0(\cdot)$ f\"uggv\'eny folytonos az orig\'oban. Ekkor az
$F_n$ eloszl\'asok csal\'adja feszes.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
\'Irjuk fel a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agot:
$$
\aligned
&\frac1{2\delta}\int_{-\delta}^\delta
\Re[1-\varphi_n(t)]\,dt=\int_{-\delta}^\delta\frac1{2\delta}
\int_{-\infty}^\infty \[1-\cos tx\]\,dF_n(x)\,dt\\
&\qquad=\int_{-\infty}^\infty\frac1{2\delta}\int_{-\delta}^\delta
[1-\cos tx]\,dt\,dF_n(x)
=\int_{-\infty}^\infty\[\frac t{2\delta}-\dfrac{\sin tx}{2\delta
x}\]_{t=-\delta}^{t=\delta}\,dF_n(x)\\
&\qquad=\int_{-\infty}^\infty\(1-\frac{\sin\delta x}{\delta
x}\)\,dF_n(x) =\int_{-K}^K\(1-\frac{\sin\delta x}{\delta x}\)\,dF_n(x)
\\ &\qquad\qquad+\int_{|x|>K}\(1-\frac{\sin\delta x}{\delta x}\)
\,dF_n(x)=I^{\delta}_{1,n}(K)+I^{\delta}_{2,n}(K),
\endaligned \tag c1
$$
ahol $\Re z$ a $z$ sz\'am val\'os r\'esz\'et jel\"oli.
Bel\'atjuk a (c1) formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a 2.~lemma
felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese eset\'en az $F_n$ m\'ert\'ekek
feszesek. Mivel $\(1-\dfrac{\sin\delta x}{\delta x}\)\ge0$ minden
$x$-re \'es $\delta$-ra, ez\'ert a formula baloldala fels\H{o}
becsl\'est ad az $I^{\delta}_{2,n}(K)$ kifejez\'esre tetsz\H{o}leges
$\delta>0$ $n\ge1$ \'es $K>0$ sz\'amokra. Tov\'abb\'a azt
\'all\'{\i}tjuk, hogy tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$\delta>0$ sz\'am \'es $n_0=n_0(\e,\delta)$ eg\'esz sz\'am, hogy
$$
\frac1{2\delta}\int_{-\delta}^\delta
\Re[1-\varphi_n(t)]\,dt\le \e,\qquad\text{ha } n\ge n_0. \tag c2
$$
Val\'oban, mivel $\Re (1-\varphi_0(0))= \limm_{n\to\infty}\Re
(1-\varphi_n(0))=0$, \'es a $\varphi_0(t)$ f\"uggv\'eny feltev\'es\"unk
szerint folytonos az orig\'oban, ez\'ert l\'etezik olyan $\delta>0$
sz\'am, melyre $0\le \Re (1-\varphi_0(t))\le\dfrac \e2$, ha $|t|\le
\delta$. Ez\'ert ny\'{\i}lv\'an
$0\le\dsize\dfrac1{2\delta} \int_{-\delta}^\delta\Re (1-\varphi_0(t))\le
\frac\e2$. Innen viszont azt kapjuk, a Lebesgue f\'ele domin\'alt
konvergencia t\'etelb\H{o}l, hogy igaz a (c2) formula. A (c1) \'es (c2)
formul\'b\'ol valamint a (c1) formula ut\'an tett megjegyz\'esb\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy
$$
\e\ge \int_{|x|\ge K}\(1-\frac{\sin\delta x}{\delta x}\)\,dF_n(x),
\qquad\text {ha $\delta=\delta(\e)>0$ el\'eg kicsi, \'es $n\ge
n_0(\delta,\e)$.} \tag c3
$$
V\'alasszunk $K=\dfrac1{2\delta}$-t. Ekkor a (c3) formula
integr\'alj\'aban az integrandus nagyobb, mint $\dfrac12$, ez\'ert a
(c3) formula azt adja, hogy tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik
olyan $K=K(\e)$ \'es $n_0=n_0$ sz\'am, hogy
$$
\e\ge\frac12 \(F_n(-K)+(1-F_n(K))\),\qquad \text{ha } n\ge
n_0.
$$
Tov\'abb n\"ovelve a $K$ sz\'amot el\'erhetj\"uk, hogy ez az
egyenl\H{o}tlens\'eg minden $n$ indexre igaz legyen. Az, hogy ez az
egyenl\H{o}tlens\'eg minden $\e>0$ sz\'amra \'es alkalmas $K=K(\e)$
sz\'amra teljes\"ul azt jelenti,hogy az $F_n$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek feszesek.
\medskip
A bebizony\'{\i}tott eredm\'enyek alapj\'an m\'ar nem neh\'ez
bebizony\'{\i}tani az alapt\'etelt.
\medskip\noindent
{\it Az eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o alapt\'etel
bizony\'{\i}t\'asa.} Bizony\'{\i}tsuk be el\H{o}sz\"or a T\'etel azon
\'all\'{\i}t\'as\'at, amelyik szerint abb\'ol a t\'enyb\H{o}l, hogy
az $F_n(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek $\varphi_n(\cdot)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyei egy az orig\'oban folytonos
f\"uggv\'enyhez konverg\'alnak k\"ovetkezik az $F_n$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban val\'o konvergenci\'aja.
 
A 2.~Lemma alapj\'an abb\'ol, hogy az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nyei egy az orig\'oban folytonos
f\"uggv\'enyhez konverg\'alnak k\"ovetkezik, hogy
az $F_n$  el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek feszesek. Ez\'ert az
eloszl\'asf\"uggv\'enyek relat\'{\i}v kompakts\'ag\'ar\'ol
bizony\'{\i}tott t\'etel alapj\'an az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
relat\'{\i}v kompaktak. Az el\H{o}ad\'asban \'All\'{\i}t\'ask\'ent
megfogalmazott eredm\'eny alapj\'an ahhoz, hogy bel\'assuk azt, hogy
az $F_n$ eloszl\'asok konverg\'alnak egy eloszl\'asf\"uggv\'enyhez,
el\'eg megmutatni, hogy az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
tetsz\H{o}leges konvergens $F_{n_k}$ sorozat\'anak a hat\'ar\'ert\'eke
ugyanaz az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny. Viszont az el\H{o}z\H{o}
el\H{o}ad\'as elej\'en 1.~T\'etel n\'even felid\'ezett eredm\'eny
szerint egy konvergens $F_{n_k}$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-so\-ro\-zat limesz\'enek a
karakterisztikus f\"uggv\'enye a
$\varphi_0(t)=\limm_{k\to\infty}\varphi_{n_k}(t)$
f\"uggv\'eny, ami f\"uggetlen a r\'eszsorozatt\'ol. Viszont az
el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'ason szerepl\H{o}
2.~T\'etel alapj\'an a $\varphi_0(t)$ f\"uggv\'eny meghat\'arozza az
$F$ hat\'areloszl\'ast. Az elmondottakb\'ol a T\'etel azon
\'all\'{\i}t\'asa is k\"ovetkezik, hogy a
ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny karakterisztikus f\"uggv\'enye
a $\varphi_0(t)=\limm_{k\to\infty}\varphi_{n_k}(t)$ f\"uggv\'eny.
(Mellesleg az is kider\"ult ebb\H{o}l a bizony\'{\i}t\'asb\'ol, hogy
karakterisztikus f\"uggv\'enyek hat\'ar\'ert\'eke is karakterisztikus
f\"uggv\'eny. Ez kor\'antsem ny\'{\i}lv\'anval\'o \'all\'{\i}t\'as,
\'es az anal\'{\i}zis bizonyos vizsg\'alataiban hasz\-nos. Err\H{o}l a
Kieg\'esz\'{\i}t\'esben teszek n\'eh\'any megjegyz\'est.)
 
Ezut\'an m\'ar csak az Alapt\'etel m\'asodik paragrafus\'aban
megfogalmazott \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'asa van h\'atra.
S\H{o}t, azt m\'ar bel\'attuk a T\'etel~A \'es az 1.~Lemma
eredm\'eny\'eben, hogy ha az eloszl\'asf\"uggv\'enyek
hat\'areloszl\'asa l\'etezik, akkor azok karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-nyei is konverg\'alnak, s\H{o}t azt is tudjuk, hogy egy
folytonos f\"uggv\'enyhez konverg\'alnak. Azt kell m\'eg
megindokolni, hogy ebben az esetben a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
egyenletesen konverg\'alnak minden v\'eges intervallumon. Ez viszont
bel\'athat\'o, ha el\H{o}sz\"or felhaszn\'aljuk, hogy konvergens
$F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek sorozata egyenletesen feszes, \'es
\'eszrevessz\"uk, hogy ebb\H{o}l a t\'enyb\H{o}l az 1.~Lemma
bizony\'{\i}t\'as\'anak m\'odos\'{\i}t\'as\'aval az is l\'athat\'o,
hogy az $F_n$ eloszl\'asok $\varphi_n(\cdot)$ karakterisztikus
f\"uggv\'enyei egyenl\H{o} m\'ert\'ekben egyaenletesenfolytonosak,
azaz minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$\delta=\delta(\e$ sz\'am, melyre
$|\varphi_n(t)-\varphi_n(s)|\le\e$, ha $|s-t|\le\delta$.
(A l\'enyeg az, hogy a $\delta$ k\"usz\"obindex nem
f\"ugg az $n$, $s$ \'es $t$ sz\'amokt\'ol, ha $|t-s|\le \delta$ \'es
az egyenl\H{o}tlens\'eg minden $n$ \'esilyen $s$ \'es $t$ sz\'amokra
teljes\"ul. Val\'oban, ha $|t-s|\le \delta$, akkor
$$
\align
&|\varphi_n(t)-\varphi_n(s)|\le \int|e^{iut}-e^{ius}|
F_n(\,du)\le \int_{u\:|u|\le K}\supp_{u\:|u|\le K}
|e^{iut}-e^{ius}| F_n(\,du)\\
&\qquad+\int_{u\:|u|>K}2 F_n(\,du)\le\supp_{(s,t)\:|t-s|\le\delta}
|e^{iu (t-s)}-1|+F_n(-K)+(1-F_n(K))
\endalign
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg. Az $F_n$ eloszl\'asok feszess\'ege
miatt tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amhoz v\'a\-lasz\-tha\-tunk olyan
$K=K(\e)$ sz\'amot, melyre $F_n(-K)+(1-F_n(K))\le \dfrac\e2$ minden
$n=1,2,\dots$ sz\'amra. Ezut\'an el\'eg kis
$\delta=\delta(\e,K)>0$ v\'alaszt\'assal el\'erhetj\"uk, hogy
$\supp_{u\:|u|\le K} |e^{i ut}-e^{ius}1|=
\supp_{u\:|u|\le K} |e^{i u(t-s)}-1|\le \dfrac\e2$, ha
$|t-s|\le\delta$. Innen k\"ovetkezik, hogy
$|\varphi_n(t+\delta)-\varphi_n(t)|\le \e$, ha $|t-s|<\delta_0$, azaz a
$\varphi_n(\cdot)$ f\"uggv\'enyek egyenl\H{o} m\'ert\'ekben folytonosak.
 
Ahhoz, hogy megmutassuk, hogy a $\varphi_n(\cdot)$ karakterisztikus
f\"uggv\'enyek egyenletesen konverg\'alnak egy $[a,b]$ intervallumban,
el\'eg bel\'ani, hogy minden $\e>0$ sz\'amra, l\'etezik olyan $n_0$
sz\'am, hogy $|\varphi_n(t)-\varphi_m(t)|\le\e$, ha $t\in[a,b]$, \'es
$n\ge n)$, $m\ge n_0$. Ennek bel\'at\'asa \'erdek\'eben v\'alasszunk
olyan $\delta>0$ sz\'amot, melyre
$|\varphi_n(t)-\varphi_n(s)|\le\frac\e3$ minden $n=1,2,\dots$
indexre \'es olyan $(s,t)$ sz\'amp\'arra, melyre $|t-s|\le \delta$.
V\'alasszuk az $[a,b]$ intervallumnak egy olyan $t_0<t_1<\cdots<t_L=b$
v\'eges feloszt\'as\'at, melyre $t_{l+1}-t_l\le\delta$,
$l=1,2,\dots,L-1$. Ezut\'an v\'alasszunk olyan $n_0$ sz\'amot, melyre
igaz, hogy $|\varphi_n(t_l)-\varphi_n(t_l)|\le\frac\e3$, ha $n\ge n_0$,
$m\ge n_0$, \'es $l=1,\dots,L-1$. Ez lehets\'eges, mert a
$\varphi_n(t)$ sz\'amsorozat minden $t$ sz\'amra konvergens. Ezut\'an
tetsz\H{o}leges $t\in [a,b]$ sz\'amra tal\'alhatunk olyan $l$ indexet,
melyre $|t-t_l|\le\delta$, \'es fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$|\varphi_n(t)-\varphi_m(t)|\le  |\varphi_n(t)-\varphi_n(t_l)|+
|\varphi_m(t)-\varphi_m(t_l)|+|\varphi_n(t_l)-\varphi_m(t_l)|\le\e$,
ha $n\ge n_0$ \'es $m\ge n_0$. Az alapt\'etelt bebizony\'{\i}tottuk.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}  A bizony\'{\i}tott eredm\'eny speci\'alisan azt
is mondja, hogy karakterisztikus f\"uggv\'enyek konvergens
sorozat\'anak a hat\'ar\'ert\'eke is karakterisztikus f\"uggv\'eny.
Fel\-me\-r\"ul\-het egyben az ig\'eny, hogy jellemezz\"uk
azokat a f\"uggv\'enyeket, melyek egy alkalmas
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek karakterisztikus f\"uggv\'enyei.
Ezt megfogalmazt\'ak egy kor\'antsem k\"onny\H{u} eredm\'enyben,
amelyiket az irodalomban  Bochner t\'etelnek h\'{\i}vnak. Mivel ez az
eredm\'eny els\H{o}sorban az anal\'{\i}zisben \'es nem a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban fontosak, ezt
\'altal\'aban val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi
tank\"onyvekben bizony\'{\i}t\'as n\'el\"ul szokt\'ak ismertetni.
A Kieg\'esz\'{\i}t\'esben fogok \'{\i}rni r\'ola, \'es r\"oviden
ismertetem a probl\'ema h\'atter\'et.
 
\medskip \noindent
{\script Kieg\'esz\'{\i}t\'es:} A.) {\it A m\'ert\'ekelm\'elet
legfontosabb eredm\'enyei konvergens f\"uggv\'enysorok
integr\'aljair\'ol.}
\medskip\noindent
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as eredm\'enyeinek
bizony\'{\i}t\'as\'aban gyakran van sz\"uks\'eg\"unk olyan
eredm\'enyekre, melyek azt mondj\'ak ki, hogy konvergens
f\"uggv\'enyek sorozat\'anak az integr\'alja valamely m\'ert\'ek
szerint konverg\'al a hat\'arf\"uggv\'eny integr\'alj\'ahoz eme
m\'ert\'ek szerint. Az ilyen eredm\'enyek vizsg\'alata a
m\'ert\'ekelm\'elet t\'emak\"orbe tartozik. M\'egis,
hasznosnak l\'atszik a legfontosabb eredm\'enyek ismertet\'ese.
Ezek az \'ugynevezett Le\-besgue (dominated convergence) t\'etel, a
Beppo--Levy t\'etel \'es a Fatou lemma. Le\'{\i}rok n\'eh\'any
egyszer\H{u} p\'eld\'at is, melyek seg\'{\i}thetnek ezen eredm\'enyek
tartalm\'at jobban meg\-\'er\-te\-ni.
\medskip\noindent
{\bf Lebesgue t\'etel.} {\it Legyen $f_n$, $n=1,2,\dots$,
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'enyek sorozata egy $(X,\Cal X,\mu)$
m\'ert\'ekt\'eren. Tegy\"uk fel, hogy $\limm_{n\to\infty}f_n(x)=f_0(x)$
a $\mu$ m\'ert\'ek szerint majdnem minden $x\in X$ pontban, \'es
l\'etezik olyan ``domin\'ans'' $g$ f\"uggv\'eny az $(X,\Cal X,\mu)$
t\'eren, melyre $|f_n(x)|\le g(x)$ a $\mu$ m\'ert\'ek szerint majdnem
minden $x\in X$ pontban minden $n=1,2,\dots,$ indexre, \'es $\int
g(x)\,d\mu(x)<\infty$.
Ekkor $\limm_{n\to\infty}\int f_n(x)\,d\mu(x)=\int f_0(x)\,d\mu(x)$.}
\medskip\noindent
{\bf Beppo-Levy t\'etel.} {\it Legyen $f_n$, $n=1,2,\dots$,
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'enyek sorozata egy $(X,\Cal X,\mu)$
m\'ert\'ekt\'eren. Tegy\"uk fel, hogy az $f_n(x)$ sorozat monoton
n\"ovekszik, azaz $f_1(x)\le f_2(x)\le f_3(x)\le\cdots$ majdnem minden
$x\in X$ pontban. Legyen $\limm_{n\to\infty}f_n(x)=f_0(x)$ az $f_n$
f\"uggv\'enyek limesze. Tegy\"uk fel, hogy teljes\"ul az
$\int f_1(x)\,d\mu(x)>-\infty$ felt\'etel. Ekkor
$\limm_{n\to\infty}\int f_n(x)\,d\mu(x)=\int f_0(x)\,d\mu(x)$. Ez \'ugy
\'ertend\H{o}, hogy amennyiben $\limm_{n\to\infty}\int f_n(x)=\infty$,
akkor $\int f_0(x)\,d\mu(x)=\infty$. } \medskip \noindent
{\bf Fatou lemma.} {\it Legyen $f_n$, $n=1,2,\dots$, m\'erhet\H{o}
f\"uggv\'enyek sorozata egy $(X,\Cal X,\mu)$ m\'ert\'ekt\'eren.
Tegy\"uk fel, hogy $\limm_{n\to\infty}f_n(x)=f_0(x)$ a $\mu$
m\'ert\'ek szerint majdnem minden $x\in X$ pontban, \'es l\'etezik
olyan ``als\'o korl\'at'' $g$ f\"uggv\'eny az $(X,\Cal X,\mu)$ t\'eren,
melyre $f_n(x)\ge g(x)$ a $\mu$ m\'ert\'ek szerint majdnem minden $x\in
X$ pontban minden $n=1,2,\dots$ indexre, \'es $\int
g(x)\,d\mu(x)>-\infty$. Ekkor $\liminff_{n\to\infty}\int
f_n(x)\,d\mu(x)\ge\int f_0(x)\,d\mu(x)$.} \medskip
A fenti t\'etelekben szerepl\H{o} felt\'etelek jobb meg\'ert\'ese
\'erdek\'eben tekints\"uk a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} p\'eld\'at. Legyen
$(X,\Cal X,\mu)$ a $(0,1]$ intervallum, rajta a Borel $\sigma$-algebra,
\'es Lebesgue m\'ert\'ek a $\mu$ m\'ert\'ek. Defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H{o} $f_n(x)$, $n=1,2,\dots$, f\"uggv\'enyeket
ezen a t\'eren. $f_n(x)=n$, ha $0<x\le \dfrac1n$, $f_n(x)=0$, ha
$\dfrac1n\le x\le 1$. Ekkor $\limm_{n\to\infty}f_n(x)=f_0(x)$ minden
$x\in(0,1]$ pontban, ahol $f_0(x)\equiv0$. Ekkor $\int
f_n(x)\,d\mu(x)=1$ minden $n=1,2,\dots$, sz\'amra, \'es $\int
f_0(x)\,d\mu(x)=0$. Ekkor a Lebesgue t\'etel \'es a Beppo--Levy
t\'etel nem felt\'etelei teljes\"ulnek, a Fatou lemma felt\'etelei
pedig teljes\"ulnek.
 
Legyen $f_n(x)=-\dfrac1x$, ha $0<x\le \dfrac1n$, \'es $f_n(x)=0$, ha
$\dfrac1n< x\le1$, $n=1,2,\dots$. Ekkor ez egy monoton
f\"uggv\'enysorozat, melyre $\limm_{n\to \infty}f_n(x)=f_0(x)$,
$f_0(x)\equiv0$. Ekkor $\int f_n(x)\,dx=-\infty$ minden $n=1,2,\dots$,
sz\'amra, \'es $\int f_0(x)\,dx=0$. Ekkor a Beppo--Levy t\'etelben
szerepl\H{o} felt\'etelek k\"oz\"ul az $\int f_1(x)\,d\mu(x)>-\infty$
nem teljes\"ul.
 
\medskip \noindent
{\script Kieg\'esz\'{\i}t\'es:} B.) {\it Karakterisztikus
f\"uggv\'enyek jellemz\'ese.}
\medskip \noindent
A karakterisztikus f\"uggv\'enyek jellemz\'ese term\'eszetes
probl\'em\'aja a Fourier anal\'{\i}zisben. Eml\'ekeztettek arra, hogy
egy integr\'alhat\'o $f(x)$ f\"uggv\'eny Fourier transzform\'altj\'at az
$$
\tilde f(t)=\int_{-\infty}^\infty e^{itx}f(x)\,dx, \quad
-\infty<t<\infty,
$$
k\'eplettel szok\'as defini\'alni, egy $\mu$ el\H{o}jeles
m\'ert\'eknek, amely $\mu+\mu_1-\mu_2$ alakban
el\H{o}\-\'al\-l\'{\i}t\-ha\-t\'o, ahol $\mu_1$ \'es $\mu_2$ v\'eges
m\'ert\'ek szint\'en szok\'as defini\'alni a Fourier
transzform\'altj\'at az
$$
\varphi_\mu(t)=\int e^{itx}\mu(dx)=\int e^{itx}\mu_1(dx)-
\int e^{itx}\mu_2(dx)
$$
alakban. (A m\'ert\'ekelm\'elet egyik fontos eredm\'enye, az
\'ugynevezett Hahn--f\'ele felbont\'asi t\'etel szerint minden
\'ugynevezett korl\'atos v\'altoz\'us\'u el\H{o}jeles m\'ert\'ek
el\H{o}\'all\'{\i}that\'o ilyen alakban). Mint az ebben az
el\H{o}ad\'asban t\'argyalt eredm\'eny is mutatja gyakran \'erdemes
bizonyos probl\'em\'ak vizsg\'alat\'aban \'att\'erni a f\"uggv\'enyek
vagy m\'ert\'eket Fourier transz\-for\-m\'alt\-j\'at tekinteni, \'es
azok seg\'{\i}ts\'eg\'evel vizsg\'alni a minket \'erdekl\H{o}
eredm\'enyeket. Jegyezz\"uk meg, hogy egy karakterisztikus f\"uggv\'eny
nem m\'as, mint egy (pozit\'{\i}v) egyre norm\'alt m\'ert\'ek Fourier
transz\-for\-m\'alt\-ja. Ahhoz azonban, hogy a Fourier
transz\-for\-m\'al\-tak\-kal j\'ol tudjunk dolgozni sz\"uks\'eges,
hogy l\'assuk, hogyan t\"ukr\"oz\H{o}dnek az eredeti f\"uggv\'enyek
vagy el\H{o}jeles m\'ert\'ekek tulajdons\'agai azok Fourier
transzform\'altj\'aban.
 
Az ilyen jelleg\H{u} k\'erd\'esek k\"oz\"ott az egyik term\'eszetes
probl\'ema az, hogy l\'assuk a pozit\'{\i}v f\"uggv\'enyek vagy
\'altal\'anosabban pozit\'{\i}v m\'ert\'ekek (azaz olyan $\mu$
$\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'enyek a sz\'amegyenes Borel
$\sigma$-algebr\'ajan, melyekre $\infty>\mu(A)\ge0$ minden
Borel-m\'erhet\H{o} $A$ halmazra) pozit\'{\i}vit\'asa, hogyan
t\"ukr\"oz\H{o}dik annak Fourier transzform\'altj\'aban. Ezt a
k\'erd\'est v\'alaszolja meg az al\'abb ismertetett Bochner-t\'etel.
Ennek megfogalmaz\'asa el\H{o}tt azonban bevezetem a k\"ovetkez\H{o}
a T\'etel megfogalmaz\'as\'aban fontos szerepet j\'atsz\'o fogalmat.
\medskip\noindent
{\bf Pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it Egy a
sz\'amegyenesen \'ertelmezett $f(x)$, $-\infty<x<\infty$, f\"uggv\'eny
pozit\'{\i}v definit, ha tetsz\H{o}leges $x_1,\dots,x_n$ val\'os \'es
$z_1,\dots,z_n$ komplex sz\'amokra $\summ_{j=1}^n\summ_{k=1}^b z_j\bar
z_kf(x_j-x_k)\ge0$. (Ez term\'eszetesen azt is jelenti, hogy a
tekintett kifejez\'es a lehets\'eges komplex sz\'am egy\"utthat\'ok
ellen\'ere mindig val\'os.}
\medskip
Most megfogalmazom a Bochner t\'etelt.
\medskip\noindent
{\bf Bochner t\'etel.} {\it Egy $f(x)$ f\"uggv\'eny akkor \'es csak
akkor Fourier transzform\'altja egy (pozit\'{\i}v, v\'eges)
m\'ert\'eknek, ha pozit\'{\i}v definit \'es folytonos f\"uggv\'eny.
Speci\'alisan akkor \'es csak akkor karakterisztikus f\"uggv\'enye egy
alkalmas val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eknek, ha pozit\'{\i}v
definit, folytonos f\"uggv\'eny, \'es ezenk\'{\i}v\"ul $f(0)=1$.}
\medskip
Annak bizony\'{\i}t\'asa, hogy egy m\'ert\'ek Fourier
transzform\'altja pozit\'{\i}v definit \'es folytonos f\"uggv\'eny
viszonylag egyszer\H{u}en bizony\'{\i}that\'o. Azt kell el\H{o}sz\"or
ellen\H{o}rizni, hogy ez a tulajdons\'ag \'erv\'enyes az
$e_x(t)=e^{itx}$ alak\'u f\"uggv\'enyekre, \'es ez \"or\"okl\H{o}dik
az $\int e^{itx}\mu(\,dx)$ alak\'u f\"uggv\'enyekre is. Az
\'all\'{\i}t\'as m\'asik fel\'enek a bizony\'{\i}t\'asa l\'enyegesen
nehezebb.
 
A bizony\'{\i}t\'ast nem ismertetem, de \'erdemes n\'eh\'any sz\'ot
sz\'olni a neh\'ezs\'eg ok\'ar\'ol. Annak bizony\'{\i}t\'asa, hogy egy
m\'ert\'ek Fourier transzform\'altja folytonos, pozit\'{\i}v definit
f\"uggv\'eny az\'ert viszonylag egyszer\H{u}, mert explicit m\'odon
fel\'{\i}rt f\"uggv\'eny tulajdons\'agait kell ellen\H{o}rizni.
Viszont, amikor egy f\"uggv\'eny van adva, nem l\'etezik egyszer\H{u}
inverzi\'os formula, melynek seg\'{\i}ts\'eg\'evel ,,vissza lehet
keresni'' az eredeti el\H{o}jeles m\'ert\'eket, aminek ez a
f\"uggv\'eny a Fourier transzform\'altja. A term\'eszetes
bizony\'{\i}t\'as \'ugy t\"ort\'enhet, hogy el\H{o}sz\"or csak olyan
f\"uggv\'enyeket vizsg\'alunk, melyekre van viszonylag egyszer\H{u}
inverzi\'os formula, majd ilyenekkel pr\'ob\'alunk k\"ozel\'{\i}teni
az \'altal\'anos esetben. E program  v\'egrehajt\'as\'aban hasznos
lehet az Alapt\'etel, amely seg\'{\i}t a bonyolultabb esetek
vizsg\'alat\'aban sz\"uks\'eges hat\'ar\'atmenet v\'egrehajt\'as\'aban.
 
V\'eg\"ul m\'eg egy megjegyz\'est teszek. Elvileg a Bochner t\'etel
lehet\H{o}s\'eget ad annak eld\"ont\'es\'ere, hogy egy f\"uggv\'eny
karakterisztikus f\"uggv\'eny-e. De a sz\"uks\'eges felt\'etelek
ellen\H{o}rz\'ese neh\'ez, ez\'ert ez az eredm\'eny nem igaz\'an
alkalmas e probl\'ema vizsg\'alat\'aban.
 
 
 
 
 
 \bye
 
 
 
 
