\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\define\minn{\min\limits}
\define\maxx{\max\limits}
\font\script=cmcsc10
 
\medskip\noindent
\noindent{\bf A november 26.-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai}
\medskip\noindent
\item{1.} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\lambda>0$
param\'eterrel, azaz $f(y)=\lambda e^{-\lambda y}$, ha $y\ge0$,
$f(y)=0$, ha $y<0$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Legyen
$S_k=\summ_{j=1}^k\xi_j$, $1\le k\le n$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a
$$
\(S_1,\dots, S_{n-1},S_n\)\quad\text{\'es}\quad
\(\dfrac{S_1}{S_n},\dots, \dfrac{S_{n-1}}{S_n}, S_n\)
$$
v\'eletlen vektorok s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. Ezen
eredm\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel mutassuk meg, hogy az
$\(\dfrac{S_1}{S_n},\dots,\dfrac{S_{n-1}}{S_n}\)$ v\'eletlen
vektor f\"uggetlen az $S_n$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'al\-to\-z\'o\-t\'ol, \'es e vektor elemei a $[0,1]$
intervallumban f\"uggetlen, egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok\-b\'ol
\'all\'o rendezett mint\'at alkotnak.
\medskip
Ezt a feladatot \'ugy fogjuk megoldani, hogy kisz\'amoljuk a
defini\'alt v\'e\-let\-len vektor
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et,
\'es ellen\H{o}rizz\"uk, hogy ez olyan tulajdons\'ag\'u,
mint ahogy azt \'all\'{\i}tottuk. Ahhoz, hogy ezt a programot
v\'egrehajtsuk sz\"uks\'eg\"unk van arra, hogy tudjuk bizonyos
transzform\'aci\'ok sor\'an hogyan v\'altozik egy integr\'al.
Felid\'ezem azt az eredm\'enyt, amelyikre sz\"uks\'eg\"unk
van. Ezt a sz\"uks\'egesn\'el \'altal\'anosabb form\'aban
fogalmazom meg. A most vizsg\'alt probl\'em\'aban elegend\H{o}
lenne invert\'alhat\'o lek\'epez\'eseket vizsg\'alni, ahol minden
pontnak egyetlen \H{o}sk\'epe van. A sz\"uks\'eges eredm\'eny
megfogalmaz\'asa \'erdek\'eben el\H{o}sz\"or felid\'ezem a Jacobian
foglm\'at.
\medskip\noindent
{\bf Jacobian definici\'oja.} {\it Legyen $y_k=T_k(x_1,\dots,x_n)$,
$1\le k\le n$, az $n$-dimenzi\'os t\'er egy tartom\'any\'anak
s\'{\i}ma transzform\'altja az $n$-dimenzi\'os t\'er egy m\'asik
tartom\'any\'aba. E transzform\'aci\'o $\Cal J(\bold T(x_1,\dots,x_n))$
Jakobi\'anja  egy $(x_1,\dots,x_n)$ pontban a
$$
\(\dfrac {\partial
T_k(x_1,\dots,x_k)}{\partial x_n}\),  \quad 1\le l,k\le n,
$$
$n\times n$-es (az $(x_1,\dots,x_n)$ pontban vett deriv\'alt)
m\'atrix determin\'ans\'anak az abszolut \'ert\'eke.
 
(A Jacobian szeml\'eletes tartalma: Ez adja meg, hogy az
$(x_1,\dots,x_n)$ pont kis k\"ornyezet\'enek a t\'erfogat\'at a
$\bold T=(T_1,\dots,T_n)$ transzform\'aci\'o h\'anyszoros\'ara
nagy\'{\i}tja ki.)}
\medskip\noindent
{\bf Integr\'altranszform\'aci\'or\'ol sz\'ol\'o k\'eplet.} {\it
Legyen adva az $n$-dimenzi\'os t\'er egy $A$ tartom\'any\'anak egy
s\'{\i}ma $y_k=T_k(x_1,\dots,x_n)$, $1\le k\le n$,
transzform\'altja az $n$-dimenzi\'os t\'er egy m\'asik $B$
tartom\'any\'aba. Legyen tov\'abb\'a adva a $B$ tartom\'anyon egy
$f(y_1,\dots,y_n)$ f\"uggv\'eny. Ezen $f(y_1,\dots,y_n)$
f\"uggv\'enynek a $\bold T=(T_1,\dots,T_n)$ transzform\'aci\'o \'altal
meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott \H{o}sk\'ep\'en azt az $A$ tartom\'anyon
\'ertelmezett $g(x_1,\dots,x_n)=\bold T^{-1}f(x_1,\dots,x_n)$
f\"uggv\'enyt \'ertj\"uk az $A$ tartom\'anyon, melyre
$$
g(x_1,\dots,x_n)=f(T_1(x_1,\dots,x_n),\dots,T_n(x_1,\dots,x_n))
$$
minden $(x_1,\dots,x_n)\in A$ pontban. Ekkor
$$
\align
&\int _{B} f(y_1,\dots,y_n)\,dy_1\dots\,dy_n \\
&\qquad=\int_{A}\dfrac {\bold T^{-1}f(x_1,\dots,x_n)}
{\summ \Sb \text{olyan } (z_1,\dots,z_n)\in A \text{ pontok}\\
\text{melyekre }T_k(z_1,\dots,z_n)=T_k(x_1,\dots,x_n)\\
k=1,\dots,n\endSb\dfrac1{\Cal J(\bold T(z_1,\dots,z_k))}} \bold
\,dx_1\dots\,dx_n.
\endalign
$$
}\medskip
\item{} {Megold\'as:}\/ Sz\'amoljuk ki az
$(S_1,\dots,S_n)$ vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. Ezt a
k\"o\-vet\-ke\-z\H{o}\-k\'epp tessz\"uk. Mivel az
$\{\oo\:S_1(\oo)<u_1,\dots,S_n(\oo)<u_n)\}$ esem\'eny
kifejezhet\H{o}, mint egy $\{\oo\:(\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo))\in
B\}$ alak\'u esem\'eny, \'es a $(\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo))$
v\'e\-let\-len vektornak ismerj\"uk a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et,
a keresett esem\'enyt ki tudjuk fejezni, mint egy alkalmas
integr\'alt. Term\'eszetes integr\'altranszform\'aci\'oval ezt az
integr\'alt \'at tudjuk \'{\i}rni, mint egy olyan integr\'alt,
melyben az integr\'al\'asi tartom\'any az
$\{(x_1,\dots,x_n)\:x_1<u_1,\dots,x_n<u_n\}$ halmaz, \'es a
transzform\'aci\'o szerkezet\'eb\H{o}l fogva az integrandus nem
f\"ugg az $u_1,\dots,u_n$ sz\'amokt\'ol, \'{\i}gy megkapjuk a
keresett s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyt. Konkr\'etan a
k\"ovetkez\H{o} sz\'amol\'ast v\'egezz\"uk el:
$$
P(S_1<u_1,\dots,S_n<u_n)=P((\xi_1,\dots,\xi_n)\in B)=\int_B
f(y_1)\cdots f(y_n)\,dy_1\,\dots\,dy_n,
$$
ahol $B=B(u_1,\dots,u_n)=\{(y_1,\dots,y_n)\:
y_1+y_2+\cdots+y_j<u_j,\;j=1,\dots,n\}$.
 
\item{} \'Irjuk \'at a fenti integr\'alt a
$T(y_1,\dots,y_n)=(x_1,\dots,x_n)$, $x_j=y_1+\cdots+y_j$,
$j=1,2,\dots, n$ transzform\'aci\'oval. E transzform\'aci\'o
invert\'alhat\'o, \'es Jacobi\'anja 1, a $B$ halmazt az
$\{(x_1,\dots,x_n)\: x_j<u_j,\; j=1,\dots,n\}$ halmazba k\'epezi.
(A lek\'epez\'es inverze: $y_1=x_1$, $y_j=x_j-x_{j-1}$, $j=2,\dots,n$.
Ez\'ert
$$
P(S_1<u_1,\dots,S_n<u_n)=\int_{x_1\le u_1, x_2\le u_2,\dots x_n\le u_n}
g(x_1,\dots,x_n) \,dx_1\,\dots\,dx_n,
$$
ahol $g(x_1,\dots,x_n)=\lambda^ne^{-\lambda x_n}$, ha $0\le x_1\le
x_2\le\cdots\le x_n$, \'es nulla egy\'ebk\'ent. (Ugyanis $f(y_1)\cdots
f(y_n)=f(x_1)f(x_2-x_1)\cdots f(x_n-x_{n-1})=\lambda^n e^{-\lambda
x_n}$, ha $0\le x_1\le\cdots\le x_n$, \'es nulla egy\'ebk\'ent.
Innen az $(S_1,\dots,S_n)$ vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x_1,\dots,x_n)=\lambda^n e^{-\lambda x_n}$, ha $0\le x_1\le x_2\le
\cdots\le x_n$, \'es $f(x_1,\dots,x_n)=0$ egy\'ebk\'ent. Ez\'ert
speci\'alisan $S_n$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$
f_n(x_n)=\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty
g(x_1,\dots,x_n)\,dx_1\dots \,dx_{n-1}=\dfrac{\lambda^n}{(n-1)!}x^{n-1}
e^{-\lambda x_n},
$$
ha $x_n\ge 0$, $f_n(x_n)=0$, ha $x_n<0$.
\item{} Sz\'am\'{\i}tsuk ki az $\(\dfrac {S_1}{S_n},\dots,\dfrac
{S_{n-1}}{S_n},S_n\)$ vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et
az $(S_1,\dots, S_n)$  v\'eletlen vektor $f(x_1,\dots,x_n)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'enek ismeret\'eben hasonl\'o m\'odon.
Je\-gyez\-z\"uk meg el\H{o}\-sz\"or, hogy az $(S_1,\dots,S_n)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'enek speci\'alis alakja miatt, (annak
k\"ovetkezt\'eben, hogy az bizonyos helyeken
nulla) $P((S_1,\dots,S_n)\in D)=1$,
$P\(\(\frac{S_1}{S_n},\dots,\frac{S_{n-1}}{S_n},S_n\)\in
E\)=1$, a $D=((z_1,\dots,z_n)\:0\le z_1\le z_2\cdots\le z_n)$ \'es
$E=\{(y_1,\dots,y_n)\:0\le y_1\le y_2\le \cdots\le y_{n-1}\le
1,0<y_n\}$ halmazokra. Ez\'ert
$$
\align
&P\(\dfrac {S_1}{S_n}<u_1,\dots,\dfrac {S_{n-1}}{S_n}<u_{n-1},S_n<x\)\\
&\qquad =P((S_1<S_n u_1,\dots, S_{n-1}<S_nu_{n-1},S_n<x)\cap
(S_1,\dots,S_n)\in D))\\
&\qquad =\int_{K\cap D} g(y_1,\dots,y_n)\,dy_1\dots dy_n.
\endalign
$$
ahol $K=\{(y_1,\dots,y_n)\: 0\le y_j< u_j y_n,\, j=1,\dots,n-1,\,
0\le y_n<x\}$. Defini\'aljuk a $T(x_1,\dots,x_n)=(y_1,\dots,y_n)$,
$y_1=\frac{x_1}{x_n}$, $y_2=\frac{x_2}{x_n}$,
$y_{n-1}=\frac{x_{n-1}}{x_n}$, $y_n=x_n$ transz\-for\-m\'a\-ci\'ot
az $D$ halmazon. Ez invert\'alhat\'o transzform\'aci\'o az $D$
halmazr\'ol a $E$ halmazra, melynek Jacobi\'anja az $x_n^{-(n-1)}$
f\"uggv\'eny. (A f\"uggv\'eny inverze, $x_n=y_n$, $x_k=y_ky_n$, $1\le
k\le n-1$. Ezen lek\'epez\'es szerint a $K\cap D$ halmaz
\H{o}sk\'epe az $\{(x_1,\dots,x_n)\:x_1<u_1,\dots,x_{n-1}<u_{n-1},
x_n<x\}\cap E$ halmaz. Ez\'ert
$$
\align
&P\(\dfrac {S_1}{S_n}<u_1,\dots,\dfrac {S_{n-1}}{S_n}<u_{n-1},S_n<x\)\\
&\qquad =\int_{\{ 0\le x_j< u_j,\,j=1,\dots,n-1,\,0\le x_n<x\}\cap E}
x_n^{n-1}f\(\frac{x_1}{x_n},\dots,\frac{x_{n_1}}{x_n},x_n\)\,dx_1\dots
dx_n.
\endalign
$$
Innen a keresett s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny $f(x_1,\dots,
x_{n-1},x_n)=\lambda^n e^{-\lambda x_n} x^{n-1}_n$, ha $0\le
x_1<x_1<\cdots< x_{n-1}\le 1$, \'es $x_n\ge 0$, azaz
$(x_1,\dots,x_n)\in E$, \'es $f(x_1,\dots,x_{n-1},x_n)=0$,
egy\'ebk\'ent. Ez azt jelenti, hogy
$f(x_1,\dots,x_{n-1},x_n)=g(x_1,\dots,x_{n-1}) h(x_n)$, ahol
$g(x_1,\dots,x_{n-1})=(n-1)!$, ha $0\le x_1\le\cdots\le x_{n-1}\le1$,
$g(x_1,\dots,x_{n-1})=0$, egy\'ebk\'ent,
$h(x_n)=\dfrac{x_n^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda x_n}$, ha $x_n\ge 0$,
$h(x_n)=0$, ha $x_n<0$. Ez azt jelenti, hogy az $\(\dfrac
{S_1}{S_n},\dots,\dfrac {S_{n-1}}{S_n}\)$ vektor \'es $S_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, a
tekintett vektor eloszl\'asa megegyezik $n-1$ f\"uggetlen, a $[0,1]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ob\'ol k\'esz\'{\i}tett rendezett minta eloszl\'as\'aval,
az $S_n$ vektor eloszl\'asa pedig $n$ f\"uggetlen $\lambda$
param\'eter\H{u} exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek az eloszl\'asa.
(Azt, hogy $h(x_1,\dots,x_{n-1})$ egy $n-1$ elem\H{u} egyenletes
eloszl\'as\'u minta s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye megbesz\'elt\"uk
egy kor\'abbi gyakorlaton.)
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, exponenci\'alis
eloszl\'as\'u eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok $\lambda$ param\'eterrel, azaz legyen
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$,
ha $x\ge0$, $f(x)=0$, ha $x\le0$. Sz\'amtsuk ki k\"ozvetlen\"ul
(konvol\'ucu\'o) seg\'{\i}ts\'eg\'evel a $\xi_1+\cdots+\xi_n$
\"osszeg s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\medskip
\item{2.} Van n\'egy urna, mindegyikben 10 feh\'er \'es 10 piros
goly\'o. Elv\'egez\"unk 5 h\'u\-z\'as\-so\-ro\-za\-tot, mindegyik
h\'uz\'askor mindegyik urn\'ab\'ol kivesz\"unk egy goly\'ot
visszatev\'es n\'elk\"ul. Az egyes h\'uz\'asok alkalm\'aval k\'et
forintot nyer\"unk, ha ugyanannyi piros goly\'ot h\'uzunk mint
feh\'eret, \'es egy forintot vesz\'{\i}t\"unk, ha ezek sz\'ama
elt\'er\H{o}. Sz\'amoljuk ki nyerem\'eny\"unk v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $Z_j$ a $j$-ik h\'uz\'as
sor\'an szerzett nyerem\'eny\"unket. Sz\'amoljuk ki a $Z_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et, illetve a $\Cov(Z_j,Z_k)$
covarianci\'akat. Ennek \'erdek\'eben tekints\"uk a $Z_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, illetve a
$(Z_j,Z_k)$ v\'eletlen vektorok eloszl\'as\'at.
$P(Z_j=2)=P(Z_1=2=6\cdots\frac1{16}$. (Hat m\'odon v\'alaszthatom ki
azt az k\'et urn\'at, ahonnan piros goly\'ot h\'uzok, \'es $\frac16$
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mindegyik urn\'aban az
el\H{o}irt goly\'ot h\'uzom. $P(Z_j=-1)=\frac58$. Ha $j\neq k$,
akkor $P(Z_j=2,Z_k=2)=\frac38\(\frac{9^4\cdot+10^4+4\cdot 9^2\cdot
10^2}{19^4}\)$, (annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et sz\'amoltuk ki,
hogy el\H{o}sz\"or k\'et feh\'eret \'es k\'et pirosat h\'uzunk,
azt\'an vagy minden urn\'ab\'ol ugyanolyan sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot
h\'uzunk vagy minden urn\'ab\'ol ellenkez\H{o} sz\'{\i}n\H{u}t,
azut\'an azt, hogy mind a feh\'er mind a piros h\'{\i}z\'asok
k\"oz\"ul egyben megv\'altozott a h\'uz\'as sz\'{\i}ne, egyben pedig
nem.) $P(Z_j=2,Z_k=1)=P(Z_j=1,Z_k=2)=P(Z_j=2)-P(Z_j=2,Z_k=2$,
$P(Z_j=1,Z_k=1)=P(Z_j=1)-P(Z_j=1,Z_k=2)$.
\item{} Innen k\"ovetkezik, hogy $EZ_j=2P(Z_j=2)-P(Z_j=-1)=\frac18$,
ez\'ert a keresett v\'arhat\'o \'ert\'ek az egyes h\'uz\'asokb\'ol
sz\'armaz\'o nyerem\'enyeinek v\'arhat\'o \'ert\'ek \"osszege
$\frac58$. $EZ_j^2=\frac{4\cdot 3+5}8=\frac{17}8$,
$\Var Z_j=\frac{17}8-\frac1{64}$. Ki lehet sz\'amolni az
$EZ_jZ_k=4P(Z_j=2,Z_k=2)+P(Z_j=-1,Z_k=-1)-2P(Z_j=2,Z_k=-1)
-2P(Z_j=2,Z_k=-1)$ \'es $\Cov(Z_j,Z_k)=EZ_jZ_k-EZ_jEZ_k$
mennyis\'egeket. V\'eg\"ul a keresett sz\'or\'asn\'egyzet
$5EZ_1^2+20\Cov (Z_1,Z_2)$. Ezt ki lehet sz\'amolni
behelyettes\'{\i}tve a megfelel\H{o} formul\'akba,
de ezeket az \'erdektelen sz\'amol\'asokat elhagyom.
\medskip
\medskip\noindent
\item{3.} Tegy\"uk fel, hogy a k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot
j\'atszhatjuk: Feldobnak egy szab\'alyos p\'enz\-da\-ra\-bot
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul egym\'as ut\'an. Amennyiben fej a
dob\'as eredm\'enye, akkor a feltett t\'et dupl\'aj\'at kapjuk, ha
\'{\i}r\'as, akkor a t\'et $\frac23$ r\'esz\'et elvesz\'{\i}tj\"uk,
\'es csak $\frac13$ r\'esz\'et \H{o}rizhetj\"uk meg.  Mivel ez a
j\'at\'ek el\H{o}ny\"os, ez\'ert feltessz\"uk minden j\'at\'ekban
minden p\'enz\"unket. L\'assuk be, hogy amennyiben $A$ volt a
vagyonunk a j\'at\'ek kezdete el\H{o}tt, \'es $Z_n$ jel\"oli
vagyonunkat az $n$-ik j\'at\'ek ut\'an, akkor
\itemitem{a)} $EZ_n=A\(\dfrac76\)^n$, azaz
vagyonunk v\'arhat\'o \'ert\'eke exponenci\'alisan n\H{o}.
\itemitem{b)}
$Z_n$ nyerem\'eny\"unk egy va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
tart null\'ahoz.
\itemitem{c)} \'Erts\"uk meg, hogy ez a k\'et \'all\'{\i}t\'as nem
mond egym\'asnak ellent.
\medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=\dfrac13$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye \'{\i}r\'as. Ekkor $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$P(\xi_j=2)=P\(\xi_j=\dfrac13\)=\dfrac12$, \'es ezenk\'{\i}v\"ul
$Z_n=A\xi_1\xi_2\cdots\xi_n$. Ez\'ert
$E\xi_j=\dfrac12\(2+\dfrac13\)=\dfrac76$, \'es
$EZ_n=EA\xi_1\xi_2\cdots\xi_n =AE\xi_1 E\xi_2\cdots
E\xi_n=A\(\dfrac76\)^n$. Ez a feladat a) \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip
\item{} A $Z_n=A\xi_1\xi_2\cdots\xi_n$ rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik,
hogy $\dfrac1n\log Z_n=\dfrac{\log A}n+\dfrac1n \summ_{j=1}^n\log
\xi_j$. To\-v\'ab\-b\'a, $E\log\xi_j=\dfrac12\(\log2+\log\dfrac13\)
=-\dfrac12\log\dfrac32$. Ez\'ert a nagy sz\'amok
t\"orv\'enye szerint $\dfrac1n\log Z_n$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
konverg\'al a negat\'{\i}v $-\dfrac12\log\dfrac32$ sz\'amhoz.
V\'a\-lasszunk  olyan $c$ sz\'amot, melyre $0<c<\dfrac12\log\dfrac32$.
Az el\H{o}z\'o \'all\'{\i}t\'asb\'ol k\"ovekezik, hogy
$Z_n(\oo)<e^{-cn}$ minden el\'eg nagy $n\ge n_0(\oo)$
indexre a a nagy sz\'amok t\"orv\'enye alapj\'an.
Innen k\"ovetkezik a feladat b) \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip
\item{} Az a) r\'esz bizony\'{\i}t\'asa azon alapult, hogy $E\xi_j>1$,
a b) r\'esz\'e pedig azon, hogy $E\log \xi_j<0$. Ez a k\'et
egyenl\H{o}tlens\'eg teljes\"ulhet egyszerre, mert a v\'arhat\'o
\'ert\'ek \'es a logaritmus egym\'assal nem felcser\'elhet\H{o}. Igaz
az $E e^\eta\ge e^{E\eta}$ egyenl\H{o}tlens\'eg (ez a konvex
f\"uggv\'enyekre vonatkoz\'o \'ugynevezett Jensen egyenl\H{o}tlens\'eg
speci\'alis esete), ahonnan $\xi=\log\eta$ v\'alaszt\'assal $E\xi\ge
e^{\log E\xi}$, de egyenl\H{o}s\'eg nem \'{\i}rhat\'o a fenti
egyenl\H{o}tlens\'eg helyett. Jegyezz\"uk meg, hogy hasonl\'o, de
egyszer\H{u}bben \'erthet\H{o} p\'eld\'at mutat a feladat a) \'es
b) \'all\'{\i}t\'as\'anak egyszerre val\'o teljes\"ul\'es\'ere a
k\"ovetkez\H{o} modell. Olyan j\'at\'ekot j\'atszunk, melyben
$\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel elvesz\'{\i}tj\"uk,
$\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel pedig megh\'aromszorozzuk
a p\'enz\"unket. Az egyes j\'at\'ekok egym\'ast\'ol f\"uggetlenek,
\'es minden id\H{o}pontban minden p\'enz\"unket feltessz\"uk. Ekkor
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $n$-ik j\'at\'ek ut\'an
minden p\'enz\"unket elvesz\'{\i}tj\"uk, $1-\(\frac12\)^n$, ami
rendk\'{\i}v\"ul gyorsan tart egyhez, \'es p\'enz\"unk v\'arhat\'o
\'ert\'eke $3^n\(\frac12\)^n$, ami exponenci\'alisan gyorsan n\H{o}
az $n$ f\"uggv\'eny\'eben. Hasonl\'o, csak kiss\'e rejtettebb eset
t\"ort\'enik az \'altalunk t\'argyalt feladatban is. Tekints\"uk a
feladatban tekintett j\'at\'ek nyerem\'eny\'et sok j\'at\'ek
ut\'an. Azt \'all\'{\i}thatjuk, hogy nagy $n$ indexre az $n$-ik
j\'at\'ek ut\'an nagy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel alig marad
p\'enz\"unk. Viszont kis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nagyon sok
p\'enzt nyer\"unk, \'es ez\'ert nyerem\'eny\"unk v\'arhat\'o
\'ert\'eke nagy. Ez az oka annak, hogy nemcsak a b), hanem az a)
\'all\'{\i}t\'as is teljes\"ul.
 
 
 
\bye
