\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=2pt plus 0.5pt
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\font\script=cmcsc10
 
\medskip\noindent
\noindent{\bf Az okt\'ober 15.-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai}
\medskip\noindent
Az el\H{o}z\'o gyakorlaton szerepl\H{o} egyik feladatban (mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy szab\'alyos dob\'okocka
dob\'as\'aban pontosan k\'et \"ot\"os dob\'as k\"ovetkezik be az
els\H{o} hatos dob\'as el\H{o}tt) felhaszn\'altunk egy
heurisztikus gondolatot, mely szerint bizonyos ese\-m\'e\-nyek
bek\"ovetkez\'ese ut\'an t\"ort\'en\H{o} esem\'enyek ugyanolyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi t\"orv\'enyeknek tesz\-nek ele\-get,
mintha kezdett\H{o}l fogva n\'ezn\'enk a folyamatot. A k\"ovetkez\H{o}
k\'et feladat c\'elja ennek az elvnek egy lehets\'eges pontos
megfogalmaz\'asa \'es bebizony\'{\i}t\'asa.
\medskip\noindent
\medskip
\item{1.} Legyen $\xi_1,\xi_2,\dots$ f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, \'es
tegy\"uk fel (az egyszer\H{u}s\'eg kedv\'e\'ert), hogy eg\'esz
\'ert\'ekeket vesznek fel. Tekints\"uk az eg\'esz sz\'amok
k\'et $A$ \'es $B$, $A\subset B$, r\'esz\-hal\-ma\-z\'at, \'es legyen
a $\tau$ (val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o) a legkisebb, $k$
sz\'am, melyre $\xi_k\subset A$. Tegy\"uk fel, hogy $P(\tau<\infty)=1$.
Defini\'aljuk az $\eta_n=\xi_{\tau+n}$, $n=1,2,\dots$, valamint a
k\"ovetkez\H{o} $\zeta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot:
$\zeta=1$, ha $\xi_\tau\in A$, $\zeta=0$, ha
$\xi_\tau\in B\setminus A$. L\'assuk be, hogy $\zeta$, $\eta_1$,
$\eta_2$,\dots f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
tov\'abb\'a az $\eta_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'asa megegyezik a $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'as\'aval, \'es
$P(\zeta=1)=1-P(\zeta=0)=\dfrac{P(\xi_1\in A)}{P(\xi_1\in B)}$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ El\'eg megmutatni, hogy tetsz\H{o}leges
$\tau=n$ esem\'enyre, $m$ indexre, $k_1$,\dots, $k_m$ eg\'esz
sz\'a\-mok\-ra valamint $\e=0$ vagy $\e=1$ sz\'amra
$$
P(\eta_l=k_l|\tau=n)=P(\xi_l=k_l), \quad 1\le l\le m, \quad
P(\zeta=\e|\tau=n)=P(\bar\zeta=\e), \tag a
$$
\'es
$$
P(\eta_1=k_1,\dots,\eta_m=k_m,\zeta=\e|\tau=n)=
P(\xi_1=k_1),\dots,P(\xi_m=k_m)P(\bar\zeta=\e), \tag b
$$
ahol $\bar\zeta$ olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melyre
$P(\bar\zeta=1)=1-P(\bar\zeta=0)=\dfrac{P(\xi_1\in A)}{P(\xi_1\in B)}$.
\medskip{}
Val\'oban, egyr\'eszt a m\'asodik rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik, hogy
$$
P(\eta_1=k_1,\dots,\eta_m=k_m,\zeta=\e)=
P(\xi_1=k_1),\dots,P(\xi_m=k_m)P(\bar\zeta=\e),
$$
mert
$$
\align
&P(\eta_1=k_1,\dots,\eta_m=k_m,\zeta=\e)=\summ_{n=1}^\infty
P(\eta_1=k_1,\dots,\eta_m=k_m,\zeta=\e|\tau=n)P(\tau=n)\\
&\qquad=\summ_{n=1}^\infty
P(\xi_1=k_1),\dots,P(\xi_n=k_m)P(\bar\zeta=\e) P(\tau=n)\\
&\qquad=P(\xi_1=k_1),\dots,P(\xi_m=k_m)P(\bar\zeta=\e)\sum_{n=1}^\infty
P(\tau=n)\\
&\qquad=P(\xi_1=k_1),\dots,P(\xi_m=k_m)P(\bar\zeta=\e),
\endalign
$$
m\'asr\'eszt
$$
\align
&P(\eta_1=k_1)\cdots P(\eta_m=k_m)P(\zeta=\e)\\
&\quad=\(\summ_{n_1=1}^\infty
P(\eta_1=k_1|\tau=n_1) P(\tau=n_1)\)\cdots\( \summ_{n_m=1}^\infty
P(\eta_m=k_m|\tau=n_m)P(\tau=n_m)\)\\
&\qquad\qquad\(\summ_{n_{m+1}=1}^\infty
P(\zeta=\e|\tau=n_{m+1})P(\tau=n_{m+1})\)\\
&\quad=\(\summ_{n_1=1}^\infty
P(\xi_1=k_1) P(\tau=n_1)\)\cdots\( \summ_{n_m=1}^\infty
P(\xi_m=k_m)P(\tau=n_m)\)\\
&\qquad\qquad\(\summ_{n_{m+1}=1}^\infty
P(\bar\zeta=\e)P(\tau=n_{m+1})\)\\
&\quad=P(\xi_1=k_1) \cdots P(\xi_m=k_m)P(\bar\zeta=\e)
\(\summ_{n_1=1}^\infty  P(\tau=n_1)\)\cdots \( \summ_{n_m=1}^\infty
P(\tau=n_m)\)\\
&\qquad\qquad\(\summ_{n_{m+1}=1}^\infty
P(\tau=n_{m+1})\)=P(\xi_1=k_1) \cdots P(\xi_m=k_m)P(\bar\zeta=\e)
\endalign
$$
\medskip
\item{} A (b) \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben
vegy\"uk \'eszre, hogy
$$
\align
&P(\eta_1=k_1,\dots,\eta_m=k_m,\zeta=1,\tau=m)\\
&\qquad =P(\xi_1\notin B,\xi_2\notin B, \xi_{n-1}\notin
B,\xi_n\in A,\xi_{n+1}=k_1,\dots,\xi_{n+m}=k_m)\\
&\qquad =P(\xi_1\notin B,\xi_2\notin B, \xi_{n-1}\notin
B,\xi_n\in A)P(\xi_{n+1}=k_1)\cdots P(\xi_{n+m}=k_m)\\
&\qquad =P(\tau=n)\frac{P(\xi_n\in A)}{P(\xi_n\in B)}
P(\xi_{n+1}=k_1)\cdots P(\xi_{n+m}=k_m)\\
&\qquad=P(\tau=n)P(\bar\zeta=1)
P(\xi_{n+1}=k_1)\cdots P(\xi_{n+m}=k_m)
\endalign
$$
A (b) azonoss\'ag bizony\'{\i}t\'asa $\zeta=0$ esetben, illetve az
(a) azonoss\'ag bizony\'{\i}t\'asa hasonl\'o.
 
\medskip
\item{2.} Legyenek $\zeta_1,\dots, \zeta_l, \xi_1,\xi_2,\dots$
f\"uggetlen, eg\'esz \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, \'es de\-fi\-ni\-\'al\-junk egy $\zeta_{l+1}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot illetve
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy $\eta_1,\eta_2,\dots$,
so\-ro\-za\-t\'at csak a $\xi_1,\xi_2,\dots$ sorozat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel,
ami azt jelenti, hogy
$$
\zeta_{l+1}=g(\xi_1,\xi_2,\dots),\qquad
\eta_{k}=f_k(\xi_1,\xi_2,\dots), \quad k=1,2,\dots
$$
bizonyos
(m\'erhet\H{o}) $g$ \'es $f_k$ f\"uggv\'enyekkel. (Az
egy\-sze\-r\H{u}\-s\'eg kedv\'e\'eet feltessz\"uk, hogy az \'uj
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok is eg\'esz \'ert\'ek\H{u}ek. A jel\"ol\'est kiss\'e
elbonyol\'{\i}tottam. Az\'ert besz\'elek k\"ul\"on egy $\zeta_{l+1}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'or\'ol, ahelyett, hogy
p\'eld\'aul $\eta_0$-lal jel\"oltem volna azt, mert ez a
bonyolultabb jel\"ol\'es jobban illeszkedik ahhoz a fel\-adat\-hoz,
melyben alkalmazni k\'{\i}v\'anjuk.) Tegy\"uk fel tov\'abb\'a azt is,
hogy l\'eteznek olyan $N$-v\'altoz\'os eg\'esz \'ert\'ek\H{u}
$g_N(x_1,\dots,x_N)$, \'es $f_{k,N}(x_1,\dots,x_N)$ f\"uggv\'enyek,
$N=1,2,\dots$, $k=1,2,\dots$, melyekre
$\limm_{N\to\infty}g_N(\xi_1,\dots,\xi_N)=
g(\xi_1,\xi_2,\dots)=\zeta_{l+1}$,
$\limm_{N\to\infty}f_{k,_N}(\xi_1,\dots,\xi_N)=
f_k(\xi_1,\xi_2,\dots)=\eta_k$, $k=1,2,\dots$
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. (Az, hogy ez a tulajdons\'ag a
minket \'erdekl\H{o} esetben teljes\"ul k\"onnyen l\'athat\'o.
Egy\'ebk\'ent val\'oj\'aban ez a felt\'etel nem jelent
megszor\'{\i}t\'ast, mindig teljes\"ul. De ennek indokl\'asa
nem-trivi\'alis m\'ert\'ekelm\'eleti meggondol\'asokat ig\'enyel,
ez\'ert ett\H{o}l eltekint\"unk.) L\'assuk be, hogy a
$$
\zeta_1,\dots,\zeta_l\text{ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'es a } (\zeta_{l+1}, \eta_1,\eta_2,\dots,\eta_m)\text{ v\'eletlen
vektor}
$$
(az $m$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'am tetsz\H{o}leges) f\"uggetlenek.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tekints\"uk el\H{o}sz\"or azt a
speci\'alis esetet, amikor a $\zeta_{l+1}$ \'es $\eta_1,\eta_2,\dots$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat defini\'al\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok csak $N$ v\'altoz\'ot\'ol
f\"uggnek, azaz a $\zeta_{l+1}^{(N)}=g_N(\xi_1,\dots,\xi_N)$
$\eta_k^{(n)}=f_{k,_N}(\xi_1,\dots,\xi_N)$, $k=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat tekintj\"uk. Ebben az esetben
a feladat \'all\'{\i}t\'asa a f\"uggetlens\'egr\H{o}l tanult
tulajdons\'agok k\"oz\"ott szerepelt, egy\'ebk\'ent a
Fubini t\'etelb\H{o}l, illetve a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'eg\'et az eloszl\'asf\"uggv\'enyek
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel kifejez\H{o} formula
fel\-hasz\-n\'a\-s\'a\-val k\"onnyen bizony\'{\i}that\'o. Az
\'altal\'anos eset $n\to\infty$
hat\'ar\'atmenettel (p\'eld\'aul a Lebesgue t\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel) ad\'odik. Ugyanis
$$
\align
&P(\zeta_1\in A_1,\dots,\zeta_l\in A_l,
(\zeta_{l+1}, \eta_1,\eta_2,\dots,\eta_m)\in B)\\
&\qquad=\lim_{N\to\infty}P(\zeta_1\in A_1,\dots,\zeta_l\in A_l,
(\zeta^{(N)}_{l+1}, \eta^{(N)}_1,\eta^{(N)}_2,\dots,\eta^{(N)}_m)\in B)
\endalign
$$
\'es
$$
\align
&P(\zeta_1\in A_1)\cdots P(\zeta_l\in A_l,
(\zeta_{l+1}, \eta_1,\eta_2,\dots,\eta_m)\in B)\\
&\quad \!=\lim_{N\to\infty}P(\zeta_1\in A_1)\cdots\lim_{N\to\infty}
P(\zeta_l\in A_l) \lim_{N\to\infty}P((\zeta^{(N)}_{l+1},
\eta^{(N)}_1,\eta^{(N)}_2,\dots,\eta^{(N)}_m)\in B)
\endalign
$$
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
Legyenek a $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
valamint az $(\eta_1,\dots,\eta_m)$ v\'eletlen vektor f\"uggetlenek.
Legyenek ezenk\'{\i}v\"ul az $(\eta_1,\dots,\eta_m)$ v\'eletlen vektor
$\eta_1,\dots,\eta_m$ koordin\'at\'ai is f\"uggetlenek egym\'ast\'ol.
Mutassuk meg, hogy ekkor a $\xi_1,\dots,\xi_n,\eta_1,\dots,\eta_m$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok is f\"uggetlenek.
\medskip
\item{3.} L\'attuk, hogy egy $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o momentumaira, $E\xi^{2k+1}=0$,
$E\xi^{2k}=1\cdot 3\cdot 5\cdot\cdots\cdot(2k-1)$. Ugyancsak szerepelt
az el\H{o}ad\'ason, hogy egy $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o momentumai az $\eta$ $\varphi(t)=Ee^{it\eta}$
seg\'{\i}ts\'eg\'evel
$E\eta^{k}=i^k\left.\dfrac{d^k\varphi(t)}{dt^k}\right|_{t=0}$.
Hasonl\'oan l\'athat\'o, hogy $\eta$ $R(t)=Ee^{t\eta}$
momentumgener\'al\'o f\"uggv\'eny\'ere $E\eta^{k}=\left.\dfrac{d^k
R(t)}{dt^k}\right|_{t=0}$. Felhaszn\'alva, hogy a standard norm\'alis
eloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'enye \'es momentumgener\'al\'o
f\"uggv\'enye megegyezik a f\"uggv\'eny hatv\'anysor\'aval (ez is
indokl\'asra szorul) mutassuk meg, hogy $Ee^{it\xi}=e^{t^2/2}$,
$Ee^{t\xi}=e^{t^2/2}$.
\item{}{\it Megold\'as:}\/
$$
Ee^{it\xi}=\sum_{k=0}^\infty \frac{i^k E\xi^k} {k! t^k}
=\sum_{k=0}^\infty \frac{i^{2k}1\cdot 3\cdots\cdot
(2k-1)}{(2k)!}t^{2k}.
$$
Viszont
$$
\frac{i^{2k} 1\cdot 3\cdots\cdot
(2k-1)}{(2k)!}=(-1)^k\frac{(2k)!}{2\cdot4\cdot\cdots\cdot2k}
\frac1{(2k)!}= (-1)^k\frac1{2^kk!}
$$
Innen
$$
Ee^{it\xi}
=\sum_{k=0}^\infty \frac1{2^k k!}(-t^2)^k
=\sum_{k=0}^\infty \frac1{k!}\(-\frac{t^2}2\)^k=e^{-t^2/2}.
$$
Hasonl\'oan,
$$
Ee^{t\xi}=\sum_{k=0}^\infty \frac{ E\xi^k} {k! t^k}
=\sum_{k=0}^\infty \frac{1\cdot 3\cdots\cdot
(2k-1)}{(2k)!}t^{2k}
=\sum_{k=0}^\infty \frac1{2^k k!}t^{2k}
=\sum_{k=0}^\infty \frac1{k!}\(\frac{t^2}2\)^k=e^{t^2/2}.
$$
\medskip
\item{4}
Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, $\lambda$
illetve $\mu$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz
$P(\xi=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$,
$P(\eta=k)=\dfrac{\mu^k}{k!}e^{-\mu}$, $k=0,1,2,\dots$,  akkor
$\xi+\eta$ $\lambda+\mu$
param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o.
\item{}  {\it Megold\'as}
$$
\align
P(\xi+\eta=k)&=\sum_{j=0}^kP(\xi=j,\eta=k-j)=
\sum_{j=0}^kP(\xi=j)P(\eta=k-j) \\
&=\sum_{j=0}^k \frac{\lambda^j}{j!}e^{-\lambda}
\frac{\mu^{k-j}}{(k-j)!}e^{-\mu}=
\frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}
\sum_{j=0}^k \frac{k!}{j!(k-j)!} \lambda^j \mu^{(k-j)} \\
&=\frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}(\lambda+\mu)^k.
\endalign
$$
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, $(n,p)$
illetve $(m,p)$ param\'eter\H{u} binomi\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, azaz
$P(\xi=k)=\dbinom nk p^k(1-p)^{n-k}$, $k=0,1,\dots,n$,
$P(\eta=k)=\dbinom mk p^k(1-p)^{m-k}$, $k=0,1,\dots,m$,
akkor $\xi+\eta$ $(n+m.p)$ param\'eter\H{u} binomi\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
 
 
 
\bye
