Az október 29.-i előadáshoz kapcsolódó gyakorlat feladatai

1. Legyen η_{1} és η_{2} két független normális eloszlású valószínűségi változó m_{1} illetve m_{2} várható értékkel, σ_{1}^{2} és σ_{2}^{2} szórásnégyzettel. Lássuk be, hogy η_{1} + η_{2} m_{1} + m_{2} várható értékú és σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2} szórásnégyzetű normális eloszlású valószínűségi változó.

Megoldás: Az η_{1} + η_{2} valószínűségi változó sűrűségfüggvénye

f(x) = ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{2πσ_{1}σ_{2}} e^{−(u−m_{1})^{2}/2σ_{1}^{2}}e^{−(x−u−m_{2})^{2}/2σ_{2}^{2}} du

= ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{2πσ_{1}σ_{2}} exp\{−u^{2} (\frac{1}{2σ_{1}^{2}} + \frac{1}{2σ_{2}^{2}} ) + u (\frac{m_{1}}{σ_{1}^{2}} + \frac{x − m_{2}}{σ_{2}^{2}} )

− \frac{m_{1}^{2}}{2σ_{1}^{2}} − \frac{(x − m_{2})^{2}}{2σ_{2}^{2}} \} du

= ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{2πσ_{1}σ_{2}} exp\{−\frac{σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}}{2σ_{1}^{2}σ_{2}^{2}} (u − \frac{m_{1}σ_{2}^{2} + (x − m_{2})σ_{1}^{2}}{σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}} )^{2}

+ \frac{(m_{1}σ_{2}^{2} + (x − m_{2})σ_{1}^{2})^{2}}{2σ_{1}^{2}σ_{2}^{2}(σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2})} − \frac{m_{1}^{2}}{2σ_{1}^{2}} − \frac{(x − m_{2})^{2}}{2σ_{2}^{2}} \} du

= \frac{1}{\sqrt{2π(σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}}} exp \{\frac{(m_{1}σ_{2}^{2} + (x − m_{2})σ_{1}^{2})^{2}}{2σ_{1}^{2}σ_{2}^{2}(σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2})} − \frac{m_{1}^{2}}{2σ_{1}^{2}} − \frac{(x − m_{2})^{2}}{2σ_{2}^{2}} \}

= \frac{1}{\sqrt{2π(σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}}} exp \{−\frac{(x − m_{1} − m_{2})^{2}}{2(σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2})} \} .

Jegyezzük meg, hogy a fenti számolásban megjelenő egyszerűsítések megjelenésének mélyebb oka van. Ha tudjuk, hogy a vizsgált integrál értéke olyan alakú, melyben konstansszor egy kvadratikus alak szerepel, akkor mivel a konvolució eredménye egy sűrűségfüggvény, ezért a végeredmény szükségszerűen normális sűrűségfüggvény. Továbbá, tudjuk, hogy a sűrűségfüggvény egy olyan valószínűségi változó sűrűségfüggvénye, amelyik várható értéke m_{1} + m_{2} szórásnégyzete pedig σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}.

2. Bizonyítsuk be az előző feladat állítását a karakterisztikus függvény módszerrel. Megoldás: Tudjuk, hogy egy eloszlásfüggvényt meghatároz a karakerisztikus függvénye, ezért elég megmutatni, hogy a feladat feltételeinek teljesülése esetén η_{1} + η_{2} φ(t)_{η_{1}+η_{2}}(t) karakterisztikus függvénye megegyezik egy m_{1} + m_{2} várható értékú és σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2} szórásnégyzetű normális eloszlású valószínűségi változó karakterisztikus függvényével. Másrészt azt is tudjuk, hogy φ(t)_{η_{1}+η_{2}}(t0 = φ_{η_{1}}(t)φ_{η_{2}}(t) η_{1} és η_{2} függetlensége miatt. Továbbá tanultuk, hogy egy ζ standard normális eloszlású valószínűségi változó karakterisztikus függvénye φ_{ζ}(t) = e^{−t^{2}/2}, ahonnan egy m várható értékű és σ^{2} szórásnégyzetű normális eloszlású valószínűségi változó karakterisztikus függvénye e^{imt−σ^{2}t^{2}/2}. Miért? (Vegyük észre, hogy egy ilyen valószínűségi változó σζ +m alakban írható, ahol ζ standard normális eloszlású valószínűségi változó.) Ezért

φ(t)_{η_{1}+η_{2}}(t0 = φ_{η_{1}}(t)φ_{η_{2}}(t) = e^{itm_{1}−σ_{1}^{2}t^{2}/2}e^{itm_{2}−σ_{2}^{2}t^{2}/2} = e^{it(m_{1}+m_{2})−(σ_{1}^{2}+σ_{2}^{2})t^{2}/2}.

Innen látható a feladat állítása.

3. Ledobunk egymástól függetlenül 24 000 pontot a [0, 2] intervalumra egyenletes eloszlással, (azaz annak a valószínűsége, hogy egy ledobott pont értéke x-nél kisebb \frac{x}{2}-vel egyenlő, ha 0 ≤ x ≤ 2, eggyel egyenlő, ha x ≥ 2, és nulla, ha x ≤ 0.) Őrizzük meg azokat a ledobott pontokat, melyek értéke 1-nél kisebb, és hagyjuk el azokat, melyek értéke, nagyobb mint egy. Mi annak a valószínűsége, hogy a megörzött pontok értékeinek az összege 5900 és 6075 közé esik? Adjunk erre a valószínűségre jó közelítő becslést a centrális határeloszlástétel segítségével. Megoldás: Vezessük be a következő ξ_{j} valószínűségi változókat: ξ_{j} = x, ha a j-ik dobás értéke x, és 0 ≤ x ≤ 1, és ξ_{j} = 0, ha a j-ik dobás értéke x, 1 ≤ x ≤ 2. Ekkor ξ_{j} azt méri, hogy mekkora a hozadéka a j-ik dobásnak a vizsgált

összeghez, és ha bevezetjük az S = ∑_{j=1}^{24000} ξ_{j} valósz1nűségi változókat, akkor min-

ket a P (5900 < S < 6075) valószínűség érdekel. Ennek a valószínűségnek a kiszámításához számoljuk ki először a ξ_{j} valószínűségi változók várható értékét és szórásnégyzetét. A ξ_{j} valószínűségi változó F (·) eloszlásfüggvényét F (x) = F_{1}(x) + F_{2}(x) alakban írhatjuk, ahol F_{1}(x) = ∫_{−∞}^{x} f_{1}(u) du, ahol f_{1}(x) = \frac{1}{2}, ha 0 ≤ x ≤ 1, és f(x) = 0 egyébként. Az F_{2}(x) egy olyan mértéket határoz meg, amelyik a nulla pontba \frac{1}{2} súlyt tartalmaz, a maradék rész súlya pedig nulla. Az F_{1} és F_{2} függvények nem eloszlásfüggvények, (nem egyre normált valószínűségi mértéket határoznak meg), de ugyanúgy számolhatunk vele, mint az eloszládfüggvényekkel.

Ezért Eξ_{j} = ∫ xF ( dx) = ∫ xF_{1}( dx) + ∫ xF_{2}(dx) = ∫0^{\frac{1}{2}} x dx + 0 = \frac{1}{4}, Eξ_{j}^{2} =

∫ x^{2}F ( dx) = ∫ x^{2}F_{1}( dx)+∫ x^{2}F_{2}(dx) = ∫0^{\frac{1}{2}} x^{2} dx+0 = \frac{1}{6}. Innen Var ξ_{j} = \frac{1}{6} − \frac{1}{6} =

\frac{5}{48}, ES = 6000, Var S = 2500 = 50^{2}. Ezért a centrális határeloszlástétel alapján

P (5900 < S < 6075) = P (\frac{S−ES}{−2<\sqrt{Var S}} < 1.5) ∼ Φ(1.5) − Φ(−2) = Φ(2) + Φ(1.5) − 1, ahol Φ(·) a normális eloszlástáblázatban kikereshető normális eloszlásfüggvény.

4. Ha ξ és η két független, λ illetve μ paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi

változó, azaz P (ξ = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ}, P (η = k) = \frac{μ^{k}}{k!} e^{−μ}, k = 0, 1, 2, …, akkor ξ + η λ + μ paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó. Megoldás:

P (ξ + η = k) = ∑_{j=0}^{k} P (ξ = j, η = k − j) = ∑_{j=0}^{k} P (ξ = j)P (η = k − j)

= ∑_{j=0}^{k} \frac{λ^{j}}{j!} e^{−λ} \frac{μ^{k−j}}{(k − j)!}e^{−μ} = \frac{e^{−(λ+μ)}}{k!} ∑_{j=0}^{k} \frac{k!}{j!(k − j)!}λ^{j}μ^{(k−j)}

= \frac{e^{−(λ+μ)}}{k!} (λ + μ)^{k}.

5. Legyen adva k darab urna, és ezekbe dobjunk be véletlen ξ számú golyót, ahol ξ Poisson eloszlású valószínűségi változó λ > 0 paraméterrel. Legyenek az egyes dobások eredményei egymástól és a ξ valószínűségi változótól függetlenek. Tegyük fel továbbá, hogy minden egyes dobásnál a golyó az j-ik urnába p_{j} ≥ 0 valószínű-

séggel esik, j = 1, …, k, ∑_{j=1}^{k} p_{j} = 1. Jelölje η_{j} a j-ik urnába eső golyók számát.

Ekkor az η_{j}, j = 1, …, k valószínűségi változók függetlenek, és η_{j} Poisson eloszlású λp_{j} paraméterrel, j = 1, …, k. Megoldás:

P (η_{1} = l_{1}, …, η_{k} = l_{k}) = P (ξ = l_{1} + ⋯ + l_{k})\frac{(l_{1} + ⋯ + l_{k})!}{l_{1}! ⋯ l_{k}!}p_{1}^{l_{1}} ⋯ p_{k}^{l_{k}}

= \frac{λ^{(l_{1}+···+l_{k})}}{l_{1}! ⋯ l_{k}!} p_{1}^{l_{1}} ⋯ p_{k}^{l_{k}}e^{−λ}

= \frac{λ^{l_{1}} ⋯ λ^{l_{k}}}{l_{1}! ⋯ l_{k}!} p_{1}^{l_{1}} ⋯ p_{k}^{l_{k}}e^{−λ(p_{1}+···+p_{k})} = ∏_{j=1}^{k} \frac{(λp_{j})^{l_{j}}}{l_{j}!} e^{−λp_{j}}

tetszőleges l_{1} ≥ 0, …, l_{k} ≥ 0 egész számokra. Innen adódik az állítás.

Házi feladat:

Ha ξ és η két független, (n, p) illetve (m, p) paraméterű binomiális eloszlású való-

színűségi változó, azaz P (ξ = k) = \binom{n}{k}p^{k}(1 − p)^{n−k}, k = 0, 1, …, n, P (η = k) =

\binom{m}{k}p^{k}(1 − p)^{m−k}, k = 0, 1, …, m, akkor ξ + η (n + m.p) paraméterű binomiális

eloszlású valószínűségi változó.

6. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független, a [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változók. Definiáljuk az η_{1} = min_{1≤k≤n} ξ_{k} és η_{2} = max_{1≤k≤n} ξ_{k} valószínűségi

változókat. Számoljuk ki az (η_{1}, η_{2}) véletlen vektor eloszlás és sűrűségfüggvényét. Megoldás: Vizsgáljuk az F (x, y) = P (η_{1} < x, η_{2} < y) eloszlásfüggvényt. A kívánt valószínűség helyett az alábbi hasonló valószínűséget tudjuk egyszerűen kiszámolni: P (η_{1} ≥ x, η_{2} < y) = (y − x)^{n}, ha −\frac{1}{2} ≤ x ≤ y ≤ \frac{1}{2}, és P (η_{1} ≥ x, η_{2} < y) = 0 egyébként. Ugyanis, {ω: η_{1}(ω) ≥ x, η_{2}(ω) < y} = {ω: x ≤ ξ_{j}(ω) < y minden 1 ≤ j ≤ n indexre . Vegyük továbbra észre, hogy P (η_{1} < x, η_{2} < y) = P (η_{2} < y) − P (η_{1} ≥ x, η_{2} < y) = (y −x)^{n}, és P (η_{2} < y) = y^{n}, ha −\frac{1}{2} ≤ x ≤ \frac{1}{2}, és P (η_{2} < y) = 0 egyébként. Innen

F (x, y) = P (η_{1} < x, η_{2} < y) = \{ \begin{matrix}y^{n} − (y − x)^{n},  ha − \frac{1}{2} ≤ x ≤ y \frac{1}{2}, \\ y^{n}  ha − \frac{1}{2} < y < frac12, és x > y \\ 0  egyébként. \end{matrix}

Innen az (η_{1}, η_{2}) véletlen vektor sűrűségfüggvénye f(x, y) = \frac{∂^{2}F (x, y)}{∂x∂y}(x, y), ahon-

nan f(x, y) = n(n − 1)(y − x)^{n−2}, ha −\frac{1}{2} ≤ x ≤ y ≤ \frac{1}{2}, és f(x, y) = 0 egyébként.

Megjegyzés: Gyakorlati szempontból (a különbüző momentumok kiszámítása érdekében) a sűrűségfüggvény kiszámítása a fontos. Ezt személeletesen egyszerűen lehet látni. Ugyanis f(x, y) dx dy annak a valószínűsége, hogy létezik olyan j index, melyre ξ_{j} ∈ [x, x + dx], ξ_{k} ∈ [y, y + dy], és az összes többi ξ_{l} valószínűségi változó az [x, y] intervallumba esik. Rögzített h és k indexre ennek valószínűsége (y − x)^{n−2} dx dy, ha −\frac{1}{2} < x < y < \frac{1}{2}, és nulla különben. Másrészt a (j, k) indexpárt n(n − 1) féleképpen választhatjuk, ezért jelenik meg az n(n − 1) faktor. A fenti érvelés precízzé tehető. Segítségével ugyanis megmutatható, hogy P ((η_{1}, η_{2}) ∈ A) = ∫ ∫_{A} f(u, v) du dv a sík minden ,,szép” részhalmazára, és innen következik az állítás.