\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf Az \'aprilis 1-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai}
\medskip \noindent
{\it Feladatok:}
\item{1.} \'Altal\'anos val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eset\'eben is \'erv\'enyes a
$$
\inf_{-\infty<M<\infty} E(\xi-M)^2=\Var\xi
$$
azonoss\'ag.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
A diszkr\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'ehez
hasonl\'oan \'ervelhet\"unk.
$$
E(\xi-M)^2=E(\xi-E\xi+(E\xi_M))^2=E(\xi-E\xi)^2+(E\xi-M)^2\ge\Var\xi,
$$
\'es $M=E\xi$ eset\'eben azonoss\'ag \'erv\'enyes.
\item{2.} Legyen $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(u)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel, $a$ \'es $b$ val\'os sz\'amok.
Ha\-t\'a\-roz\-zuk meg az $\eta=a\xi+b$ \'es $\zeta=\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $F(x)=P(\xi<x)=\int_{-\infty}^x
f(u)\,du$ a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Ekkor az $\eta=a\xi+b$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye a
$G(x)=P(\eta<x)=P\(\xi<\dfrac{x-b}a\)=F\(\dfrac{x-b}a\)$ f\"uggv\'eny,
ha $a>0$, \'es
$G(x)=P(\eta<x)=P\(\xi>\dfrac{x-b}a\)=1-F\(\dfrac{x-b}a\)$, ha $a<0$.
Innen $\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$g(x)=\dfrac{dG(x)}{dx}=\dfrac1{|a|}f\(\dfrac{x-b}a\)$.
\item{} A $\zeta=\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye
$$
G(x)=P(\xi^2<x)=P\(-\sqrt x<\xi<\sqrt x\)=F\(\sqrt x\)-F\(-\sqrt x\),
$$
ha $x\ge 0$, \'es $G(x)=0$, ha $x<0$. Innen deriv\'al\'assal $\zeta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=\dfrac1{2\sqrt x}\(f\(\sqrt
x\)+f\(-\sqrt x\)\)$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Legyen egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi  v\'altoz\'onak
$f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi^3$
\'es $\xi^4$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\medskip
\item{3.} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $m$, $\sigma$ val\'os
sz\'amok, akkor az $\sigma\xi+m$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke $m$ sz\'or\'asn\'egyzete
$\sigma^2$, s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye pedig
$g(u)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}|\sigma|}e^{-(u-m)^2/2\sigma^2}$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$E(\sigma\xi+m)=\sigma E\xi+m=m$, \'es
$\Var(\sigma\xi+m)=\sigma^2 \Var\xi=\sigma^2$. Tov\'abb\'a, az
el\H{o}z\H{o} feladat eredm\'enye alapj\'an a $\sigma\xi+m$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
az $f(x)=\dfrac1{|\sigma|}\varphi\(\dfrac{x-m}\sigma\)$, ahol
$\varphi(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, a standard norm\'alis
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny. Innen k\"ovetkezik a feladat
\'all\'{\i}t\'asa.
\item{4.} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor$E\xi^{2k-1}=0$,
$E\xi^{2k}=1\cdot3\cdots (2k-1)$ minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra.
\item{} Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
momentumait.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
E\xi^{2k-1}=\int_{-\infty}^\infty x^{2k-1}
\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=0,
$$
mert az integrandus p\'aratlan f\"uggv\'eny. M\'asr\'eszt
parci\'alis integr\'al\'assal $f(x)=x^{2k-1}$ \'es $g(x)=
x\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}= \dfrac d{dx}\(-
\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\)$  kapjuk, hogy
$$
\align
E\xi^{2k}&=\int_{-\infty}^\infty x^{2k}
\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=
\int_{-\infty}^\infty (2k-1) x^{2k-2}
\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx\\
&=(2k-1)E\xi^{2k-2}.
\endalign
$$
Innen $k$ szerinti indukci\'oval kapjuk a feladat m\'asodik
\'all\'{\i}t\'as\'at.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
momentumait, azaz egy olyam val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
momentumait adjuk meg, mely\-nek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, ha
$x\ge0$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$. \medskip
\item{5.} Mutassuk meg, hogy egy exponenci\'alis eloszl\'as\'u $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o teljes\'{\i}ti a
k\"ovetkez\H{o} \'ugynevezett \"or\"okifj\'u tulajdons\'agot:
$$
P(\xi>x+y|\xi>y)=P(\xi>x)
$$
minden $x\ge0$ \'es $y\ge0$ sz\'amra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Mivel $P(\xi>u)=e^{-\lambda u}$ minden
$u\ge 0$ sz\'amra, ez\'ert
$P(\xi>x+y|\xi>y)=\dfrac{e^{-\lambda(x+y)}}{e^{-\lambda y}}
=e^{-\lambda x}=P(\xi>x)$.
\medskip
{\it Nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Ha egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
teljes\H{u}ti az \"or\"okifj\'u tulajdons\'agot, akkor az
exponenci\'alis eloszl\'as\'u.
\medskip
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Azt kell bel\'atni, hogy amennyiben
$P(\xi> x+y)=P(\xi> x)P(\xi> y)$ minden $x\ge0$ \'es $y\ge0$
sz\'amra, akkor $P(\xi> x)=e^{-\lambda x}$ minden $x\ge0$ sz\'amra.
Legyen $P(\xi> x)=e^{-\lambda(x) x}$ valamely $x>0$ sz\'amra.
L\'assuk be el\H{o}sz\"or az $y=\frac pq x$ alak\'u sz\'amokra,
ahol $p$ \'es $q$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amok, hogy
$P(\xi> y)=e^{-\lambda(x)y}$. V\'eg\"ul, mivel $P(\xi> x)$ monoton
cs\"okken\H{o} f\"uggv\'eny, ez\'ert $\lambda(x)=\lambda$. \medskip
\item{6.} Mutassuk meg, hogy l\'etezik olyan $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o teljes\'{\i}ti a
k\"ovetkez\H{o} szuper \"or\"okifj\'u tulajdons\'agot:
$$
P(\xi>x+y|\xi>y)>P(\xi>x)
$$
minden $x>0$ \'es $y>0$ sz\'amra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o olyan, hogy $P(\xi>x)=e^{-\sqrt x}$, ha $x\ge0$ \'es
$P(\xi>x)=1$, ha $x<0$. Ekkor $P(\xi>x+y|x>y)=e^{-\sqrt{x+y}+\sqrt y}$,
ha $x>0$, $y>0$. Ez\'ert el\'eg megmuatatni, hogy
$e^{-\sqrt{x+y}+\sqrt y}>e^{-\sqrt y}$, illetve hogy
$\sqrt{x+y}<\sqrt x+\sqrt y$, ha $x>0$ \'es $y>0$. Ez az
egyenl\H{o}tlens\'eg viszont (n\'egyzetre emel\'es ut\'an)
k\"onnyen l\'athat\'o.
\item{7.} Adjuk meg a $[0,1\times\cdots\times[0,1]$ $k$-dimenzi\'os
egys\'egkock\'an egyenletes eloszl\'as
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et.
\item{b.)} Tekints\"uk a s\'{\i}kon a $(0,0)$, $(0,1)$ \'es
$(1,0)$ cs\'ucspontok \'altal meghat\'arozott $\bold K$
h\'a\-rom\-sz\"o\-g\"on az egyenletes eloszl\'ast. Adjuk meg ennek
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}
A $[0,1\times\cdots\times[0,1]$ $k$-dimenzi\'os egys\'egkock\'an
egyenletes eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o eloszl\'asa az $F(x_1,\dots,x_k)=G(x_1)\cdots G(x_k$
f\"uggv\'eny, ahol $G(x)=0$, ha $x\le0$, $G(x)=x$, ha $0\le x\le 1$,
\'es $G(x)=1$, ha $x\ge1$.
\item{} A tekintett h\'aromsz\"og\"on defini\'alt egyenletes
eloszl\'as $H(x,y)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye, $H(x,y)=0$, ha $x\le0$
vagy $y\le0$. $H(x,y)=1$, ha $\ge1$ \'es $y\ge1$. Defini\'alni kell
m\'eg a $H(x,y)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt abban az esetben, ha $0\le
x\le1$ \'es $0\le y\le1$. Ebben az esetben
$H(x,y)=2\lambda([0,x]\times[0,y]\cap\bold K)$. innen $H(x,y)=xy$,
ha $0\le x\le1$ \'es $0\le y\le1$, \'es $x+y\le1$. Ha $0\le x\le1$
\'es $0\le y\le1$, \'es $x+y\ge1$, akkor
$H(x,y)=xy-\dfrac12(x+y-1)^2$.
 
 
\item{8.} Legyen egy $(\xi_1,\xi_2)$ v\'eletlen vektor eloszl\'asa
az $F(x_1,x_2)=P(\xi_1<x_1,\xi_2<x_2)$ f\"uggv\'eny,
$-\infty<a_1<b_1<\infty$, $-\infty<a_2<b_2<\infty$ val\'os sz\'amok.
Fejezz\"uk ki az $F(x_1,x_2)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a $P(a_1\le\xi_1<b_1,a_2\le\xi_2<b_2)$,
$P(a_1\le\xi_1\le b_1,a_2\le\xi_2\le b_2)$ \'es
$P(a_1<\xi_1<b_1,a_2<\xi_2<b_2)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
El\H{o}sz\"or azt megmutatjuk meg, hogy $P(a_1\le \xi_1<b_1,
a_2\le\xi_2<b_2) =F(b_1,b_2)-F(b_1,a_2)-F(a_1,b_2)+F(a_1,a_2)$.
Val\'oban, $F(b_1,b_2)-F(b_1,a_2)=P(\xi_1<b_1, a_2\le \xi_2<b_2)$,
\'es $F(a_1,b_2)-F(a_1,a_2)=P(\xi_1<a_1, a_2\le \xi_2<b_2)$. Ezt a
k\'et azonoss\'agot kivonva egym\'asb\'ol megkapjuk a k\'{\i}v\'ant
\'all\'{\i}t\'ast.
$$
\align
&P(a_1\le\xi_1\le b_1,a_2\le\xi_2\le b_2)=\limm_{n\to\infty}
P\(a_1\le\xi_1< b_1+\frac1n,a_2\le\xi_2< b_2+\frac1n\)\\
&\quad= \!\limm_{n\to\infty}\! \(F\(b_1+\frac1n,b_2+\frac1n\)
-F\(b_1+\frac1n,a_2\)-F\(a_1,b_2+\frac1n\) +F(a_1,a_2)\)\\
&\quad=\limm_{n\to\infty} F\(b_1+\frac1n,b_2+\frac1n\)-
\limm_{n\to\infty} F\(b_1+\frac1n,a_2\)\\
&\qquad\qquad -\limm_{n\to\infty}
F\(a_1,b_2+\frac1n\)+F(a_1,a_2).
\endalign
$$
Jegyezz\"uk meg, hogy az eloszl\'asf\"uggv\'eny
tulajdons\'agaib\'ol k\"ovetkezik, hogy a fel\'{\i}rt
hat\'ar\'ert\'ekek, p\'eld\'aul a $\limm_{n\to\infty}
F\(b_1+\frac1n,b_2+\frac1n\)$ kifejez\'es val\'oban l\'etezik.
 
Hasonl\'an,
$$ \allowdisplaybreaks
\align
&P(a_1<\xi_1< b_1,a_2<\xi_2< b_2)=\limm_{n\to\infty}
P\(a_1+\frac1n\le \xi_1< b_1,a_2+\frac1n\le \xi_2< b_2\)\\
&\quad=\limm_{n\to\infty} F(b_1,b_2)-F\(b_1,a_2+\frac1n\)\\
&\qquad\qquad -\limm_{n\to\infty}
F\(a_1+\frac1n,b_2\)+\limm_{n\to\infty}F\(a_1+\frac1n,a_2+\frac1n\).
\endalign
$$
\item{9.} Legyen az $F(x_1,\dots,x_k)=P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_k<x_k)$
f\"uggv\'eny a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Mutassuk meg a v\'arhat\'o \'ert\'ek
additivit\'as\'anak fel\-hasz\-n\'a\-l\'a\-s\'a\-val (\'es alkalmas
halmazok indik\'atorf\"uggv\'eny\'enek a bevezet\'es\'evel), hogy
$$
P((a_j\le \xi_j<b_j,\; 1\le j\le k)=\sum\Sb u_j=\;a_j\text{ vagy }
b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\psi(u_1,\dots,u_k)} F(u_1,\dots,u_k),
$$
ahol $\psi(u_1,\dots, u_k)$ jel\"oli az $a_j$-k sz\'am\'at az
$u_1,\dots,u_k$ sorozatban.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
Adva valamely $u_1,\dots,u_k$ sz\'amok, defini\'aljuk a
$$
B(u_1,\dots,u_k)=\{(t_1,\dots,t_k)\: t_j<u_j,\, 1\le j\le k\}
$$
halmazt, \'es legyen $\chi_{B(u_1,\dots,u_k)}(\oo)$ az
$\{\oo\:(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in B(u_1,\dots,u_k)\}$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'enye. Legyen tov\'abb\'a $\chi_{\bold K}(\oo)$
az $\{\oo\: a_j\le \xi_j<b_j,\,1\le j\le k\}$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'enye. El\'eg megmutatni, hogy
$$
\chi_{\bold K}(\oo)=\sum\Sb u_j=\;a_j\text{ vagy }
b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\psi(u_1,\dots,u_k)}
\chi_{B(u_1,\dots,u_k)}(\oo),
$$
mert v\'eve ezut\'an mind a k\'et oldal v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
megkapjuk a k\'{\i}v\'ant azonoss\'agot.
\item{} Az is vil\'agos, hogy $\{\oo\: a_j\le \xi_j<b_j,\,1\le j\le
k\}$ eset\'eben a bizony\'{\i}tand\'o azonoss\'ag mind a k\'et oldala
1-gyel egyenl\H{o}. Azt kell \'eszrevenni, hogy ekkor a jobboldalon a
$\chi_{B(b_1,\dots,b_k)}(\oo)$ tag 1, \'es az \"osszes t\"obbi tag
a jobboldalon nulla.
\item{} Ha $\oo\in\Omega$ olyan, hogy az  $a_j\le \xi_j<b_j$
egyenl\H{o}tlens\'egek nem teljes\"ulnek minden $1\le j\le k$
indexre, akkor a baloldal nulla. Azt kell bel\'atni, hogy ugyanez
\'erv\'enyes a jobboldalon. Vil\'agos, hogy a jobboldal nulla, ha
$\xi_j(\oo)\ge b_j$ valamilyen $j$ indexre. Azt az esetet kell m\'eg
n\'ezni, amikor $\xi_j(\oo)<b_j$ minden $1\le j\le k$ indexre,
bizonyos $j$ indexekre $a_j\le \xi_j<b_j$, de l\'etezik legal\'abb
egy olyan $l$ index, melyre $\xi_j<a_j$. Legyen $L$ a legkisebb
ilyen index. Ha p\'aros\'{\i}tjuk az olyan
$(-1)^{\psi(u_1,\dots,u_k)}\chi_{B(u_1,\dots,u_k)}(\oo)$
kifejez\'eseket, melyeknek az $u_j$ koordin\'at\'at\'ai megegyeznek
$j\neq L$ esetben, de $u_L=a_L$ a p\'ar egyik \'es $u_L=b_L$ a p\'ar
m\'asik tagj\'ara, akkor az \"osszes ilyen p\'ar hozad\'eka
z\'er\'o. Ez\'ert az azonoss\'ag ekkor is \'erv\'enyes,
mert mind a bal mind a jobboldal z\'er\'o ebben az esetben.
 
\bye
 
\item{10$^*$.} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n,\xi_{n+1},\dots,\xi_{n+m}$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$g(x_1,\dots,x_n)$ $n$-v\'altoz\'os (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny,
$\eta=g(\xi_1,\dots,\xi_n)$. Mutassuk meg a Fubini t\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy $\eta,\xi_{n+1},\dots,\xi_{n+m}$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.
\item{} {\it Megold\'as:}
R\"ogz\'{\i}ts\"unk valamilyen $x_0,x_1,\dots, x_m$ sz\'amokat.
Defini\'aljuk ezek se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel a $h_j(u)=1$, ha
$u<x_j$, $h_j(u)=0$, ha $u\ge x$, $1\le j\le m$, f\"uggv\'enyeket,
valamint legyen $h_0(u_1,\dots,u_n)=1$, ha $g(u_1,\dots,u_n)<x_0$,
$h_0(u_1,\dots,u_n)=0$, ha $g(u_1,\dots,u_n)\ge x_0$. Jel\"olje
$F_j(\cdot)$ a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Ekkor a Fubini t\'etel alapj\'an
$$  \allowdisplaybreaks
\align
&P(\eta<x_0,\xi_{n+1}<x_{n+1},\dots,\xi_{n+m}<x_{n+m}) \\
&\qquad=\int h_0(u_1,\dots,u_n)h_1(u_{n+1})\dots h_{n+m}(u_{n+m})
F(\,du_1)\dots F_{n+m}(\,du_{n+m})\\
&\qquad =\int h_0(u_1,\dots,u_n) F(\,du_1)\dots F_{n+m}(\,du_{n}) \\
&\qquad \qquad\int h_1(u_{n+1})F(\,du_1) \cdots\int h_{n+m}(u_{n+m})
F_{n+m}(\,du_{n+m}) \\
&\qquad =P(\eta<x_0)P(\xi_{n+1}<x_{n+1})\cdots P(\xi_{n+m}<x_{n+m}),
\endalign
$$
ahonnan k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\item{11.} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es legyen a $\xi_j$,
$1\le j\le n$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es jel\"olj\"uk az
$f_j(\cdot)$-vel. L\'assuk be a Fubini t\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ v\'eletlen
vektornak is van s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye, \'es az
az $f(u_1,\dots,u_n)=f_1(u_1)\cdots f_n(u_n)$ f\"uggv\'eny.
\item{} {\it Megold\'as:}
R\"ogz\'{\i}ts\"unk valamilyen $x_0,x_1,\dots, x_n$ sz\'amokat, \'es
defini\'aljuk ezek se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel a $h_j(u)=1$, ha
$u<x_j$, $h_j(u)=0$, ha $u\ge x$ $1\le j\le n$, f\"uggv\'enyeket.
Ekkor
$$
\align
P(\xi_1<x_1,\cdots,\xi_{n}<x_{n}) &=P(\xi_1<x_1) \cdots
P(\xi_{n}<x_{n})\\
&=\int h_1(u)f_1(u)\,du\cdots  \int h_n(u)f_n(u)\,du\\
&=\int\cdots\int h_1(u_1)f_1(u_1)\cdots h_n(u_n)f_n(u_n)\,du_1\dots
\,du_n\\
&=\int_{-\infty}^{x_1}\cdots\int_{-\infty}^{x_n}
f_1(u_1)\cdots f_n(u_n)\,du_1\dots\,du_n
\endalign
$$
ahonnan k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\item{12.} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, a
$\[-\dfrac12,\dfrac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, azaz legyen $\xi$
\'es $\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1$, ha $-\dfrac12\le
x\le\dfrac12$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Sz\'amoljuk ki
$\xi+\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a $g(x)=\int f(y)f(x-y)\,dy$
f\"uggv\'eny, ahol $f(x)$ a $\[-\dfrac12,\dfrac12\]$ intervallumban
egyenletes eloszl\'as s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Ez\'ert
$f(y)f(x-y)=1$, ha $-\dfrac12\le y\le\dfrac12$, \'es $-\dfrac12\le
x-y\le\dfrac12$, azaz $-\dfrac12+x\le y\le\dfrac12+x$, \'es nulla
egy\'ebk\'ent. Ez azt jelenti, hogy a $\xi+\eta$ \"osszeg $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az $x$ pontban megegyezik a
$\[-\dfrac12,\dfrac12\]\cap \[-\dfrac12+x,\le\dfrac12+x\]$
intervallum hossz\'aval. Ha $|x|>1$, akkor a fenti metszet \"ures,
ez\'ert ebben az eset\-ben $g(x)=$. Ha $0\le x\le 1$, akkor ez a
metszet a $\[-\dfrac12+x,\dfrac12\]$ intervallum, \'es ennek hossza
$1-x$, azaz ebben az eset\-ben $g(x)=1-x$. Ha $-1\le x\le0$, akkor ez
a metszet a $\[-\dfrac12,\dfrac12+x\]$ intervallum melynek hossza
$1+x=1-|x|$, azaz $g(x)=1+x=1-|x|$ ebben az eset\-ben. Ez azt jelenti,
hogy $g(x)=1-|x|$, ha $|x|\le 1$, \'es $g(x)=0$, ha $x>1$.
\medskip
\item{} Megadunk egy m\'asik geometriai \'ervel\'esen alapul\'o
megold\'ast is, amelyik a kor\'abban t\'argyalt geometriai
\'ervel\'esen alapul. \medskip
\item{} Sz\'am\'{\i}tsuk ki el\H{o}sz\"or a $\xi+\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $G(x)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. De\-fi\-ni\'al\-juk a
$K=\[-\dfrac12,\dfrac12\]\times\[-\dfrac12,\dfrac12\]$ n\'egyzetet,
\'es jel\"olje $\lambda$ a Lebesgue m\'ert\'eket, azaz a ter\"uletet
a s\'{\i}kon. Ekkor a s\'{\i}k tetsz\H{o}leges $A\subset R^2$
m\'erhet\H{o} r\'eszhalmaz\'ara igaz az, hogy $P((\xi,\eta)\in
A)=\lambda(A\cap K)$. Speci\'alisan, $G(x)=P(\xi+\eta<x)=
\lambda(K\cap\{(u,v)\:u+v<x\})$. Ha $x\le-1$, akkor $G(x)=0$, ha
$-1\le x\le0$, akkor $G(x)$ a $\(-\frac12,-\frac12\)$,
$\(-\frac12,\frac12+x\)$ \'es $\(\frac12+x,-\frac12\)$ pontok \'altal
meghat\'arozott h\'aromsz\"og ter\"ulete $\frac12(1+x)^2$.
Hasonl\'oan, ha $x\ge1$, akkor $G(x)=1$. Ha $0\le x\le1$, akkor a
$G(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny megegyezik annak a poligonnak
ter\"ulet\'evel, melyet \'ugy kapunk, hogy a $K$ n\'egyzetb\H{o}l
kihagyjuk a $\(\frac12,\frac12\)$, $\(\frac12,-\frac12+x\)$
\'es $\(-\frac12+x,\frac12\)$ pontok \'altal meghat\'arozott
h\'aromsz\"oget. Ez\'ert $G(x)=1-\frac12(1-x)^2$ ebben az eset\-ben.
A $G(x)$ f\"uggv\'enyt deriv\'alva kapjuk, hogy $g(x)=0$, ha
$|x|\le1$, $g(x)=1+x$, ha $-1\le x\le0$, \'es $g(x)=1-x$, ha $0\le
x\le1$.
\medskip
Tekints\"unk k\'et a m\'asodik el\H{o}ad\'ason t\'argyalt feladatot,
melyet annak idej\'en geometriai meggondol\'asok alapj\'an oldottunk
meg. Megmutatjuk, hogy ezek a feladatok megoldhat\'oak a most
t\'argyalt konvoluci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel is.
\medskip
\item{13.} K\'et ember 8 \'es 9 \'ora k\"oz\"ott megjelenik egy
t\'eren egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul \'es egyenletes eloszl\'asal.
Mind a kett\H{o} f\'el\'or\'at v\'ar a m\'asikra, \'es ha az addig
nem j\"on, akkor hazamegy. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak,
hogy tal\'alkoznak?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi_j$,
$j=1,2$, azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, mely azt adja
meg, hogy h\'any (0 \'es 1 k\"oz\"otti sz\'ammal kifejezhet\H{o})
\'or\'aval 8 \'ora ut\'an jelent meg a $j$-ik ember a helysz\'{\i}nen.
Ekkor $\xi_1$ \'es $\xi_2$ f\"uggetlen a $[0,1]$ intervallumban
egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.
Minket a $-\frac12\le \xi_1-\xi_2\le \frac 12$ esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege \'erdekel. Az $F(u)=P(\xi_1-\xi_2<u)$
eloszl\'as s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a $g(u)=f_1*f_2(u)$
konvol\'uci\'o, ahol $f_1(u)=1$, ha $0\le u\le 1$, $f_1(u)=0$,
k\"ul\"onben, $f_2(u)=1$, ha $-1\le u\le0$, $f_2(u)=0$ k\"ul\"onben.
Ekkor a minket \'erdekl\H{o} mennyis\'eg az $F\(\frac12\)
-F\(-\frac12\)=\dsize\int_{-1/2}^{1/2}g(u)\,du$ integr\'al.
Tov\'abb\'a,
$$
g(x)=f_1*f_2(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(u)f_2(x-u)\,du
=\int_{-\infty}^{\infty} f(u)f(x-u)\,du, \;\; -\infty<x<\infty,
$$
ahol $f(u)=1$, ha $\frac12\le  u\le \frac12$, $f(u)=0$, ha
$u\ge\frac12$.
\item{} Az \"ot\"odik feladat megold\'as\'aban l\'attuk, hogy
$g(u)=1-u$, ha $0<u<1$ $g(u)=1+u$, ha $-1<u<0$. Innen $F\(\frac12\)
-F\(-\frac12\)=\dsize\int_{-1/2}^{1/2}(1-|u|)\,du=\dfrac34$.
\item{14.} K\'et botot v\'eletlenszer\H{u}en, egyenletes
eloszl\'assal elt\"or\"unk. A k\'et r\"ovidebb darabot
\"osszeragasztjuk. Mi az \'{\i}gy kapott \'uj bot hossz\'anak az
$F(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye? \medskip
\item{}{\it Negold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi_j$,
$j=1,2$, azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, mely azt
adja meg, hogy a $j$-ik bot r\"ovidebb v\'eg\'enek mi a hossza.
Ekkor $\xi_1$, \'es $\xi_2$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, melyek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az az $f(\cdot)$
f\"uggv\'eny, melyre $f(x)=2$, ha $0\le x\le\frac12$, \'es $f(x)=0$
egy\'ebk\'ent. Minket a $\xi_1+\xi_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asa \'erdekel. Viszont $\xi_1+\xi_2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=f*f(x)$, ahonnan $g(x)=2-|2-4x|$,
ha $0\le x\le 1$, $g(x)=0$ k\"ul\"onben. Ezt kiintegr\'alva megkapjuk
az eredm\'enyt, melyet a a k\"ovetkez\H{o} k\'epletek adnak meg:
$F(u)=0$, ha $u\le 0$, $F(u)=1-2u^2$, ha $0\le u\le \frac12$,
$F(u)=1-2(1-u)^2=4u-2u^2-1$, ha $\frac12\le u\le 1$. Ha $u\ge1$,
akkor $F(u)=1$.
 
 \bye
 
 
 
 
