\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\noindent{\bf A febru\'ar 25-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai.}  \medskip\noindent
{\it Feladatok:}
\medskip
\item{1.)} K\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} f\'ar\'ol leszednek 100
alm\'at, \'es beteszik k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o}
(meg\-k\"u\-l\"on\-b\"oz\-tet\-he\-tet\-len) l\'ad\'aba. Ez egyik
f\'ar\'ol szedett alm\'ak (egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul) $\dfrac14$
a m\'asik f\'ar\'ol szedett alm\'ak pedig (szint\'en egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul) $\dfrac1{10}$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
f\'ergesek. Kivesz\"unk az egyik (v\'eletlen\"ul kiv\'alasztott)
l\'ad\'ab\"ol k\'et alm\'at \'es mind a kett\H{o} f\'erges. Ezek
ut\'an kivesz\"unk a m\'asik l\'ad\'a\'ol egy alm\'at. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ez az alma m\'ar nem f\'erges?
\item{} {\it Megold\'as:} \'Erts\"uk meg el\H{o}sz\"or pontosabban a
feladatot. Jel\"olje $B$ azt az esem\'enyt, hogy els\H{o} alkalommal a
rosszabb f\'ar\'ol leszedett alm\'akat tartalmaz\'o l\'ad\'ahoz
ny\'u\-lunk. Ekkor egyr\'eszt $P(B)=\frac12$. M\'asr\'eszt, ha egym\'as
ut\'an, esetleg v\'altogatva a l\'ad\'akat kivesz\"unk egym\'as ut\'an
a l\'ad\'akb\'ol alm\'akat, defini\'aljuk a $j_1,\dots, j_k$
h\'u\-z\'as\-so\-ro\-za\-tot, ahol mindegyik $j_s=\pm1$, $j_1=1$,
$j_s=1$ azt jelenti, hogy a $s$-ik h\'uz\'as sor\'an az els\H{o}nek
kiv\'alasztott l\'ad\'ab\'ol, $j_s=-1$ pedig azt, hogy a m\'asik
l\'ad\'ab\'ol v\'alasztottunk alm\'at, akkor $A(j_1,\dots,j_n)$-nel
jel\"olve azt az esem\'enyt, hogy minden kiv\'alasztott alma f\'erges,
fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
\align
P(A(j_1,\dots,j_n)|B)&=\(\frac14\)^{u(j_1,\dots,j_n)}
\(\frac1{10}\)^{n-u(j_1,\dots,j_n)},\\
P(A(j_1,\dots,j_n)|\bar B)&=\(\frac1{10}\)^{u(j_1,\dots,j_n)}
\(\frac1{4}\)^{n-u(j_1,\dots,j_n)},
\endalign
$$
ahol $u(j_1,\dots,j_n)$ jel\"oli a $j_1,\dots,j_n$ sorozatban
szerepl\H{o} $+1$ jelek sz\'am\'at. Hasonl\'oan fel tudjuk \'{\i}rni
annak felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy egy
el\H{o}\'{\i}rt h\'uz\'assorozat eset\'en, amelyikben megmondjuk,
hogy mikor melyik l\'ad\'ab\'ol h\'uztunk alm\'at a f\'erges \'es j\'o
almah\'uz\'asoknak el\H{o}\'{\i}rt sorozata jelenik meg, felt\'eve
a $B$ esem\'enyt vagy annak komplementer\'et, a $\bar B$ esem\'enyt.
Jel\"olje $C$
azt az esem\'enyt, hogy az els\H{o} k\'et h\'uz\'asban f\'erges alm\'at
h\'{\i}zunk, $D$ pedig azt, hogy a harmadik h\'uz\'asban (a l\'ada
megv\'altoztat\'asa ut\'an) j\'o alm\'at h\'{\i}zunk. Ekkor a
$P(D|C)=\dfrac{P(C\cap D)}{P(D)}$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget akarjuk kisz\'amolni. Viszont,
$$
P(C)=P(C|B)P(B)+P(C|\bar B)P(\bar B)
=\dfrac12\(\(\dfrac14\)^2+\(\dfrac1{10}\)^2\)=\dfrac{29}{800},
$$
$$
\align
P(C\cap D)&=P(C\cap D|B)P(B)+P(C\cap D|\bar B)P(\bar B)\\
&=\dfrac12\(\(\dfrac14\)^2\dfrac9{10}+\(\dfrac1{10}\)^2\dfrac34\)
=\frac{51}{1600}.
\endalign
$$
Innen $P(D|C)=\dfrac{P(C\cap D)}{P(D)}=\dfrac{51}{58}$.
\medskip
\item{2.} Legyenek $A_1,A_2,\dots$, esem\'enyek egy $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. L\'assuk be, hogy
$\bigcupp_{n=1}^\infty\bigcapp_{k=n}^\infty A_k$ jel\"oli azt az
esem\'enyt, hogy az $A_1,A_2,\dots$, esem\'enyek k\"oz\"ul v\'eges sok
kiv\'etellel mindegyik bek\"ovetkezik.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az, hogy az $A_n$ esem\'enyek majdnem
mindegyike bek\"ovetkezik, azt jelenti, hogy van olyan $n$ sz\'am,
amelyre igaz, hogy minden $k\ge n$ indexre bek\"ovetkezik az $A_k$
esem\'eny, azaz a $B_n=\bigcapp_{k=n}^\infty A_k$ esem\'eny is
bek\"ovetkezik. Az, hogy a $B_n$ esem\'eny bek\"ovetkezik valamely $n$
sz\'amra azt jelenti, hogy bek\"ovetkezik az $\bigcupp_{n=1}^\infty
B_n= \bigcupp_{n=1}^\infty\bigcapp_{k=n}^\infty A_k$ esem\'eny.
\item{3.} Ha egy szab\'alyos p\'enzdarabot v\'egtelen sokszor
feldobunk egym\'as ut\'an, akkor egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel lesz
legal\'abb 50 fejdob\'as.
\item{} {\it Egy lehets\'eges megold\'as:}\/ Az is igaz egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, hogy a
$$
B_k=\{\text{azon $j$ indexekre,
amelyekre $50k\le j<50(k+1)$ minden dob\'as fej}\}
$$
esem\'enyek k\"oz\"ul v\'egtelen sok fog bek\"ovetkezni. Ugyanis
ezek a $B_k$ esem\'enyek f\"uggetlenek, $P(B_k)=2^{-50}$, teh\'at
$\summ_{k=1}^\infty P(B_k)=\infty$. Ez\'ert a Borel--Cantelli
lem\-m\'a\-b\'ol k\"ovetkezik a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'as,
s\H{o}t az is, hogy v\'egtelen sok $B_k$ esem\'eny k\"ovetkezik be
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Val\'oj\'aban a Borel--Cantelli
lemm\'ara nincs is sz\"uks\'eg. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy egyik $B_k$ esem\'eny sem k\"ovetkezik be
$\limm_{N\to\infty}\(1-2^{-50}\)^N=0$, teh\'at egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel valamelyik $B_k$ esem\'eny
bek\"ovetkezik.
\item{} Hogyan lehet egyszer\H{u}en l\'atni a Borel--Cantelli lemma
n\'elk\"ul, hogy v\'egtelen sok $B_k$ esem\'eny bek\"ovetkezik egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel? {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ El\'eg bel\'atni,
hogy b\'armilyen $L$ sz\'amra egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
legal\'abb $L$ $B_k$ esem\'eny bek\"ovetkezik. Viszont az
el\H{o}z\H{o} \'ervel\'eshez hasonl\'oan, annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy van egy legal\'abb $50L$ hossz\'u
tiszta fejdob\'as sorozat egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.
(Jegyezz\"uk meg, hogy ebben az \'ervel\'esben kihaszn\'altuk, hogy
megsz\'aml\'alhat\'o sok egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} halmaz
metszete is egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u}.)
\item{4.} Egy kaszin\'oban azt j\'atssz\'ak, hogy egym\'as ut\'an
feldobnak egy szab\'alyos p\'enz\-da\-ra\-bot, \'es akinek a
kaszin\'oban val\'o tartozk\'od\'asa alatt csupa fej-dob\'as
t\"ort\'ent, az nyer, akinek ott tartozk\'od\'asa alatt t\"ort\'ent
\'{\i}r\'as dob\'as is az vesz\'{\i}t. V\'egtelen sok ember egym\'ast
felv\'altva bet\'er a kaszin\'oba, \'es ott megfigyel $A_n$
p\'enzdob\'ast. L\'assuk be, hogy amennyiben $A_n=[\log n]$, ahol
$\log$ kettes alap\'u logaritmust jel\"ol, $[x]$ pedig a legnagyobb
$x$-n\'el kisebb eg\'esz sz\'am, akkor egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
v\'egtelen sok ember t\'avozik nyertesen. Ha
$A_n=\[\frac{101}{100}\log n\]$, akkor egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
csak v\'eges sok ember t\'avozik nyertesen. Mi a helyzet, ha $A_n=[\log
n+\log\log n]$, \'es ha $A_n=\[\log n+\frac{101}{100}\log\log n\]$?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az egyes emberek egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul t\'avoznak nyertesen vagy vesz\-te\-sen a
kaszin\'ob\'ol, \'es annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $n$-ik
ember nyertesen t\'avozik $2^{-A_n}$. A Borel--Cantelli lemma miatt
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel t\'avozik v\'egtelen sok
ember nyertesen, ha $\summ_{n=1}^\infty 2^{-A_n}=\infty$, \'es egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel csak v\'eges sok ember t\'avozik
nyertesen, ha $\summ_{n=1}^\infty 2^{-A_n}<\infty$. Ha
$A_n=[\log n]$, akkor $\dfrac1{n}\le 2^{-A_n}\le \dfrac2n$,
$\summ_{n=1}^\infty\dfrac1n=\infty$, ez\'ert
$\summ_{n=1}^\infty 2^{-A_n}=\infty$. Hasonl\'oan
$A_n=\[\frac{101}{100}\log n\]$ eset\'eben $\summ_{n=1}^\infty
2^{-A_n}<\infty$ a $\summ_{n=1}^\infty\dfrac1{n^{101/100}}<\infty$
rel\'aci\'o miatt. V\'eg\"ul $\summ_{n=1}^\infty 2^{-A_n}=\infty$, ha
$A_n=[\log n+\log\log n]$, \'es $\summ_{n=1}^\infty 2^{-A_n}<\infty$,
ha $A_n=\[\log n+\frac{101}{100}\log\log n\]$, a $\summ_n
\dfrac1{n\log n}=\infty$, \'es
$\summ_n\dfrac1{n(\log n)^{101/100}}<\infty$ rel\'aci\'ok miatt.
\medskip
\item{5.} L\'assunk p\'eld\'at arra, hogy a Borel--Cantelli lemma azon
fel\'eben, amikor teljes\"ul  a $\summ_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$
rel\'aci\'o, a f\"uggetlens\'eg felt\'etele nem hagyhat\'o el.
Mutassunk p\'eld\'at $(\Omega, \Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}re, azon $A_1,A_2,\dots$, esem\'enyekre, amelyekre
$\summ_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$, \'es
\itemitem{a)} Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy v\'egtelen sok
$A_n$ esem\'eny k\"ovetkezik be $\frac12$.
\itemitem{b)} Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy v\'egtelen sok
$A_n$ esem\'eny k\"ovetkezik be 0.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $(\Omega, \Cal A,P)$ az
$\Omega=[0,1]$ intervallum, azon $\Cal A$ a Borel m\'erhet\H{o}
halmazok $\sigma$-algebr\'aja, \'es $P$ a Lebesgue m\'ert\'ek. Az a)
esetre p\'elda az, ha $A_n=[0,\frac12]$ minden $n$-re. Ekkor
v\'egtelen sok $A_n$ k\"ovetkezik be egy $x\in\Omega$ pontban akkor
\'es csak akkor, ha $0\le x\le\frac12$, \'es ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac12$. A b) esetre p\'elda, ha
$A_n=(0,\frac1n]$, $n=1,2,\dots$. Ekkor ugyanis $\summ_{n=1}^\infty
P(A_n)=\summ_{n=1}^\infty\dfrac1n=\infty$, \'es minden
$x\in\Omega$ pontra csak v\'eges sok olyan $n$ index van, amelyre
$x\in A_n$. Ugyanis minden $x>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan $n_0$,
index, amelyre $x>\frac1n$, ha $n\ge n_0$, \'es $x\notin A_n$, ha
$n\ge n_0$.
\medskip
\item{6.} Adjunk p\'eld\'at egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}re azon h\'arom $A_1$, $A_2$ \'es
$A_3$ ese\-m\'eny\-re, amelyekre $P(A_1\cap A_2\cap A_3)=
P(A_1)P(A_2)P(A_3)$, de az $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ esem\'enyek
nem f\"uggetlenek.
\item{} {\it Egy lehets\'eges konstrukci\'o:}\/ Legyen
$\Omega=\{1,2,3,4,5\}$, $\Cal A$ az $\Omega$ halmaz \"osszes
r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\sigma$-algebra, $P(\{1\})=x$,
$P(\{2\})=P(\{3\})=P(\{4\})=y$, $P(\{5\})=1-x-3y$, alkalmas $x$ \'es
$y$ sz\'amokkal, $P(A)=\summ_{u\in A} P(\{u\})$ minden $A\in \Cal A$
halmazra. Defini\'aljuk az $A_1=\{1,2\}$, $A_2=\{1,3\}$ \'es
$A_3=\{1,4\}$ halmazokat. Ekkor $A_1\cap A_2\cap A_3=\{1\}$, ez\'ert
$P(A_1\cap A_2\cap A_3)=x$. M\'asr\'eszt $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=x+y$.
V\'alasszuk meg az $x$ \'es $y$ sz\'amokat \'ugy, hogy $x=(x+y)^3$.
Egy lehet\H{o}s\'eg erre, $x+y=\dfrac13$, \'es ekkor
$x=(x+y)^3=\dfrac1{27}$, $y=\dfrac8{27}$,  tov\'abb\'a
$P(\{5\})=\dfrac2{27}$. Ebben a p\'eld\'aban
$P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)$. Viszont $A_1\cap
A_2=\{1\}=A_1\cap A_2\cap A_3$, \'{\i}gy ny\'{\i}lv\'an
$P(A_1\cap A_2)\neq P(A_1)P(A_2)$. Teh\'at a f\"uggetlens\'eg nem
teljes\"ul.
\item{$6'$.} Adjunk p\'eld\'at minden $N>2$ sz\'am eset\'en egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}re azon $N$
$A_1,\dots, A_N$,  ese\-m\'eny\-re, amelyekre
$$
P(A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_N)= P(A_1)P(A_2)\cdots P(A_N),
$$
de az $A_1$, $A_2$,\dots, $A_N$ esem\'enyek nem f\"uggetlenek.
\item{} {\it Az el\H{o}z\H{o} konstrukci\'o m\'odos\'{\i}t\'asa:}\/
Legyen $\Omega=\{1,2,\dots,N+2\}$, $\Cal A$ az $\Omega$ halmaz \"osszes
r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\sigma$-algebra, $P(\{1\})=x$,
$P(\{j\})=y$, ha $2\le j\le N+1$, $P(\{N+2\})=1-x-Ny$, alkalmas $x$ \'es
$y$ sz\'amokkal, $P(A)=\summ_{u\in A} P(\{u\})$ minden $A\in \Cal A$
halmazra. Defini\'aljuk az $A_j=\{1,j+1\}$, $1\le j\le N$,
halmazokat. Ekkor $A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_N=\{1\}$, ez\'ert
$P(A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_N)=x$. M\'asr\'eszt  $P(A_j)=x+y$,
$1\le j\le N$. V\'alasszuk meg az $x$ \'es $y$ sz\'amokat
\'ugy, hogy $x=(x+y)^N$. Egy lehet\H{o}s\'eg erre, $x+y=\dfrac1N$,
\'es ekkor $x=(x+y)^N=\dfrac1{N}$, $y=\dfrac1N-\dfrac1{N^N}$,
tov\'abb\'a $P(\{N+2\})=1-x-Ny=\dfrac{N-1}{N^N}$. Ebben a p\'eld\'aban
$P(A_1\cap A_2\cap\cdots \cap A_N)=P(A_1)P(A_2)\dots P(A_N)$. Viszont
az $A_1$,\dots $A_N$, esem\'enyek nem f\"uggetlenek.
\item{7.} L\'assunk p\'eld\'at arra is, hogy esem\'enyek p\'aronk\'enti
f\"uggetlens\'eg\'eb\H{o}l nem k\"ovetkezik azok f\"uggetlens\'ege,
azaz defini\'alunk egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, azon h\'arom $A_1$, $A_2$,
$A_3$-mal jel\"olt esem\'enyt, amelyek p\'aronk\'ent f\"uggetlenek,
azaz $P(A_1\cap A_2)=P(A_1)P(A_2)$, $P(A_1\cap A_3)=P(A_1)P(A_3)$
\'es $P(A_2\cap A_3)=P(A_2)P(A_3)$, de nem teljes\"ul a $P(A_1\cap
A_2\cap A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)$ azonoss\'ag, teh\'at
ezek az esem\'enyek nem f\"uggetlenek.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ \'Alljon az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}ben $\Omega$ 4 pontb\'ol, a jobb
szem\-l\'el\-he\-t\H{o}\-s\'eg kedv\'e\'ert legyenek ezek az $(1,1)$,
$(1,2)$, $(2,1)$, $(2,2)$ pontok, \'alljon $\Cal A$ az $\Omega$ halmaz
\"osszes r\'eszhalmaz\'ab\'ol, \'es legyen
$P(\{(1,1)\})=P(\{(1,2)\})=P(\{(2,1)\})=P(\{(2,2)\})=\dfrac14$.
Tekints\"uk az $A_1=\{(1,1),(1,2)\}$ $A_2=\{(1,1),(2,1)\}$ \'es
$A_3=\{(1,1),(2,2)\}$ halmazokat. Ekkor teljes\"ulnek a $P(A_1\cap
A_2)=P(A_1)P(A_2)$, $P(A_1\cap A_3)=P(A_1)P(A_3)$ \'es $P(A_2\cap
A_3)=P(A_2)P(A_3)$ azonoss\'agok, mert $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=\dfrac12$,
\'es mivel $A_1\cap A_2=A_1\cap A_2=A_2\cap A_3=\{(1,1)\}$, $P(A_1\cap
A_2)=P(A_1\cap A_3)=P(A_2\cap A_3)=\dfrac14$. M\'asr\'eszt,
$P(A_1\cap A_2\cap A_3)\neq P(A_1)P(A_2)P(A_3)$, mert
 $P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(\{(1,1)\})=\dfrac14$, \'es
$P(A_1)P(A_2)P(A_3)=\dfrac18$.
\item{8.} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk $n\ge 5$ alkalommal.
Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy legal\'abb 5 fejdob\'as
t\"ort\'enik? Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy egy
szab\'alyos p\'enzdarab v\'egtelen sok dob\'asa sor\'an legfeljebb 5
fejdob\'as t\"ort\'enik? Tekints\"uk ennek az ut\'obbi feladatnak egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellj\'et \'es besz\'elj\"uk meg a
k\"ovetkez\H{o} k\'et tulajdons\'ag kapcsolat\'at:
\itemitem{a.} Egy $A$ esem\'eny nem k\"ovetkezhet be.
\itemitem{b.} Egy $A$ esem\'eny nulla val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
k\"ovetkezik be.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy
szab\'alyos p\'enzdarab $n$ egym\'ast\'ol f\"ug\-get\-len dob\'asa
sor\'an pontosan $j$ darab fejdob\'as t\"ort\'enik $\dbinom nj2^{-n}$,
mert \"osszesen $\dbinom nj$ ilyen dob\'assorozat van, \'es mindegyik
dob\'assorozat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $2^{-n}$. \'Igy annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legfeljebb 5 fejdob\'as t\"ort\'enik
$\summ_{j=0}^5 \dbinom nj2^{-n}$. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy v\'egtelen dob\'assorozat eset\'en legfeljebb 5 fejdob\'as
t\"ort\'enik $\limm_{n\to\infty}\summ_{j=0}^5 \dbinom nj2^{-n}=0$.
Mi\'ert szabad hat\'ar\'ert\'eket venni? Megbesz\'elend\H{o}, hogy
felhaszn\'altuk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek folytonoss\'agi
tulajdons\'ag\'at, amely a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\sigma$-additivit\'as\'ab\'ol k\"ovetkezik.
 
\item{9.} Egy 100 tag\'u t\'arsas\'ag minden egyes tagja egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul $\dfrac1{1000}$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
betegszik meg. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
t\'arsas\'agnak lesz beteg tagja? A kapott eredm\'enyr\H{o}l mit
mondhatunk? Az nagyon nagy, majdnem 1 vagy nagyon kicsi majdnem nulla?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_j$ azt az esem\'enyt, hogy a
t\'arsas\'ag $j$-ik megbetegszik meg. Ekkor a $P(A_j)=\dfrac1{1000}$,
\'es az $A_j$ esem\'enyek f\"uggetlenek. Sz\'amoljuk ki el\H{o}sz\"or a
minket \'erdekl\H{o} esem\'eny komplementer\'enek, azaz annak az
esem\'enynek a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et, hogy mindenki
eg\'eszs\'eges. Ez az $\bigcapp_{j=1}^{1000}(\Omega\setminus A_j)$
esem\'eny. Mivel $P(\Omega\setminus A_j)=1-\dfrac1{1000}$, \'es az
$A_j$ esem\'enyek f\"uggetlens\'eg\'eb\H{o}l k\"ovetkezik az
$\Omega\setminus A_j$ esem\'enyek f\"uggetlens\'ege is, ez\'ert
$P\(\bigcapp_{j=1}^{1000}(\Omega\setminus A_j)\)
=\(1-\dfrac1{1000}\)^{100}$. Innen a minket \'erdekl\H{o}
esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $1-\(1-\dfrac1{1000}\)^{100}$.
\item{} V\'eg\"ul jegyezz\"uk meg, hogy $\(1-\dfrac1{1000}\)^{100}=
\(\(1-\dfrac1{1000}\)^{1000}\)^{1/10}\sim e^{-1/10}$. Mi\'ert? Ez a
sz\'am nagyon k\"ozel van az egyhez, ez\'ert a minket \'erdekl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke kicsi.
\item{10.} Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}t. $\Omega=\{1,\dots, n\}$, ahol $n$ valamely pozit\'{\i}v
eg\'esz sz\'am, $\Cal A$ az $\Omega$ \"osszes r\'eszhalmazaib\'ol
\'all\'o $\sigma$-algebra,
$$
P(A)=\dfrac{\text{ az $A$ halmaz sz\'amoss\'aga}}n.
$$
Legyen $n=p_1^{r_1}\cdots p_k^{r_k}$ az $n$ sz\'am
pr\'{\i}mt\'enyez\H{o}s felbont\'asa, \'es defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H{o} $A_j$ esem\'enyeket: $A_j=\{m\: m\text{ oszthat\'o a
$p_j$ sz\'ammal}\}$, $1\le j\le k$. Legyen $B=\{m\: m\text{ relat\'{\i}v
prim az $n$ sz\'amhoz k\'epest}\}$. Mutassuk meg, hogy
\itemitem{a.} Az $A_1,\dots,A_k$ esem\'enyek f\"uggetlenek.
\itemitem{b.} $P(B)=\prodd_{j=1}^k\(1-\dfrac1{p_j}\)$, azaz \"osszesen
$n\cdot\prodd_{j=1}^k\(1-\dfrac1{p_j}\)$ $n$-n\'el kisebb \'es az
$n$-hez k\'epest relat\'{\i}v prim van.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ $A_j=\left\{p_j,2p_j,\dots,\dfrac
n{p_j}p_j\right\}$ egy $\dfrac n{p_j}$ sz\'amb\'ol \'all\'o halmaz,
ez\'ert $P(A_j)=\dfrac1{p_j}$, $1\le j\le k$. Az $A_{j_1}\cap
A_{j_2}\cap\cdots\cap A_{j_s}$ halmaz az $n$-n\'el kisebb $p_{j_1}\cdots
p_{j_s}$ sz\'ammal oszthat\'o sz\'amokb\'ol \'all minden $1\le
j_1<j_2<\cdots<j_s\le k$ sorozatra, ez\'ert sz\'amoss\'aga $\dfrac n
{p_{j_1}\cdots p_{j_s}}$, \'es $P(A_{j_1}\cap A_{j_2}\cap\cdots\cap
A_{j_s})=\dfrac 1 {p_{j_1}\cdots p_{j_s}}$. Ez azt jelenti, hogy
$P(A_{j_1}\cap A_{j_2}\cap\cdots\cap A_{j_s})=P(A_{j_1})
P(A_{j_2})\cdots P(A_{j_s})$ minden $1\le j_1<j_2<\cdots<j_s\le k$
sorozatra, ez\'ert az $A_1$, $A_2$, \dots $A_k$ halmazok f\"uggetlenek.
\item{} V\'eg\"ul $B=\Omega\setminus (A_1\cup\cdots\cup A_k)
=\bigcapp_{j=1}^k(\Omega\setminus A_j)$. Ez\'ert \'es az $A_j$
esem\'enyek f\"uggetlens\'ege miatt $P(B)=\prodd_{j=1}^k
P(\Omega\setminus A_j)=\prodd_{j=1}^k \(1-\dfrac1{p_j}\)$, ahonnan
k\"ovetkezik a $B$ halmaz sz\'amoss\'ag\'ara megadott k\'eplet.
 
\medskip
Az el\"oz\H{o} k\'et feladatban l\'attuk hogyan lehet egyszer\H{u}en
kisz\'am\'{\i}tani a $A_1\cup \cdots\cup A_n$ alak\'u esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, ha az $A_j$, $1\le j\le n$, esem\'enyek
f\"uggetlenek. Ezek a sz\'amol\'asok term\'eszetesen kihaszn\'alt\'ak
a tekintett esem\'enyek f\"uggetlens\'eg\'et. A k\"ovetkez\H{o}ben azt
t\'argyaljuk meg, hogy amennyiben nincs felt\'etlen\"ul
f\"uggetlens\'eg a tekintett esem\'enyek k\"oz\"ott, de ki tudjuk
sz\'amolni az $A_{j_1}\cap \cdots\cap A_{j_s}$ alak\'u esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, akkor egy \'ugynevezett szita formula
seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki tudjuk sz\'am\'{\i}tani az $A_1\cup \cdots\cup
A_n$ esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et is. Tov\'abb\'a
megmutatjuk, hogy ez lehet\H{o}v\'e teszi \'erdekes feladatok
megold\'as\'at. A k\"ovetkez\H{o} feladatot fogjuk t\'argyalni:
\medskip
\item{11.} Egy est\'elyen megjelenik $n$ h\'azasp\'ar. Egy
t\'ancmester, aki nem tudja, hogy kik h\'azast\'arsak \'es kik nem
v\'eletlen m\'odon p\'arba rendezi a f\'erfiakat \'es n\H{o}ket
a t\'anc el\H{o}tt. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
egyetlen h\'azasp\'ar sem t\'ancol egy\"utt? Mi ennek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek a hat\'ar\'ert\'eke, ha $n\to\infty$?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $A_j$
esem\'enyeket:
$$
A_j=\text{a $j$-ik h\'azasp\'ar eg\"utt t\'ancol,}\quad 1\le j\le n.
$$
Ekkor minket a $P(\overline{A_1\cup\dots\cup A_{n}})=
1-P(A_1\cup\dots\cup A_{n})$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel.
Vegy\"uk \'eszre, hogy a $P(A_{j_1}\cap \cdots
\cap A_{j_k})=\dfrac{(n-k)!}{n!}$ azonoss\'ag igaz. Ugyanis az
\"osszes lehets\'eges p\'arba\'all\'{\i}t\'asok sz\'ama $n!$, m\'{\i}g
az olyan p\'arba\'all\'{\i}t\'asok sz\'ama, amelyben a $j_1$-ik,
$j_2$-ik, \dots, $j_k$-ik h\'azasp\'ar egy p\'arba ker\"ul $(n-k)!$.
 Tov\'abb\'a \'erv\'enyes a k\"ovetkez\H{o} az irodalomban
szita-formul\'anak nevezett eredm\'eny, amely szerepelt az
el\H{o}ad\'ason is.
\medskip\noindent
{\bf Szita formula.} {\it Legyenek $A_1,\dots,A_n$ tetsz\H{o}leges
esem\'enyek egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Ekkor
$$
P(A_1\cup \cdots\cup A_n)=S_1-S_2+S_3-\cdots +(-1)^{n+1}S_n,
$$
ahol
$$
S_k=\sum_{1\le j_1<\cdots<j_k\le n} P(A_{j_1}\cap \cdots\cap  A_{j_k}).
$$
}\medskip
\item{} A szita-formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel kapjuk, hogy $n$
h\'azasp\'ar eset\'eben
$$
S_k=\dbinom nk\dfrac{(n-k)!}{n!}=\dfrac1{k!}.
$$
Innen ad\'odik, hogy a minket \'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$n$ h\'azasp\'ar eset\'en
$$
\align
P(\overline{A_1\cup \dots\cup A_{n}})&=1-P(A_1\cup\dots\cup A_{n}) \\
&=1-S_1+S_2+\cdots+(-1)^n S_n=\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k!},
\endalign
$$
\'es ez\'ert
$$
P(\overline{A_1\cup \dots\cup A_{n}})
=\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k!}\to \frac1e\quad \text{ ha } n\to\infty.
$$
 
\bye
 
\item{9.} Bizony\'{\i}tsuk be a szita formul\'at.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Adva egy $A$ esem\'eny vezess\"uk be az
$A^\e$ jel\"ol\'est,
ahol $\e=\pm1$, $\e=1$ est\'eben $A^1=A$, $\e=-1$ eset\'eben
$A^{-1}=\Omega\setminus A=\bar A$. De\-fi\-ni\'al\-juk tetsz\H{o}leges
$r_s=1$ vagy $r_s=-1$, $s=1,\dots,n$ sz\'amokra az
$$
A(r_1,\dots,r_n)=A^{r_1}\cap\cdots\cap A^{r_n}
$$
esem\'enyeket. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$$
A_1\cup\cdots\cup A_n=\bigcup_{(r_1,\dots,r_n)\:(r_1,\dots,r_n)\neq
(-1,\dots,-1)} A(r_1,\dots,r_n),
$$
\'es tetsz\H{o}leges $A_{j_1}\cap\cdots\cap A_{j_s}$, $1\le
j_1<j_2<\cdots<j_s\le n$ alak\'u halmazra
$$
A_{j_1}\cap\cdots\cap A_{j_s}
=\bigcup_{(r_1,\dots,r_n)\:r_{j_u}=1,\; 1\le u\le s} A(r_1,\dots,r_n).
$$
Tov\'abb\'a az $A(r_1,\dots,r_n)$ esem\'enyek k\"ul\"onb\"oz\H{o}
$(r_1,\dots,r_n)$ param\'eterek eset\'eben diszjunktak. Ez\'ert
$$
P(A_1\cup\cdots\cup A_n)=\sum_{(r_1,\dots,r_n)\:(r_1,\dots,r_n)\neq
(-1,\dots,-1)} P(A(r_1,\dots,r_n)),
$$
\'es tetsz\H{o}leges $A_{j_1}\cap\cdots\cap A_{j_s}$ alak\'u halmazra
$$
P(A_{j_1}\cap\cdots\cap A_{j_s})
=\sum_{(r_1,\dots,r_n)\:r_{j_u}=1,\; 1\le u\le s} P(A(r_1,\dots,r_n)).
$$
 
\item{} Ilyen m\'odon a az $A(r_1,\dots,r_n)$ halmazok
$P(A(r_1,\dots,r_n))$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeinek a li\-ne\-\'a\-ris
kombin\'aci\'ojak\'ent fejezhet\H{o} ki a szita-formula k\'et oldal\'an
szerepl\H{o} kifejez\'es. Azt kell be\-l\'at\-ni, hogy a
$P(A(r_1,\dots,r_n))$ sz\'am a szitaformula k\'et oldal\'an szerepl\H{o}
kifejez\'esben
ugyanazzal az egy\"utthat\'oval szerepel. Az azonoss\'ag baloldal\'an
ez az egy\"utthat\'o 1, ha $\{r_1,\dots,r_n\}\neq\{-1,\dots,-1\}$, \'es
nulla, ha $\{r_1,\dots,r_n\}=\{-1,\dots,-1\}$. Ha az $(r_1,\dots,r_s)$
halmaz $l$ darab 1 \'es $n-l$ darab $-1$ jegyet tartalmaz, akkor ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege a szitaformula jobboldal\'an ezt $\dbinom
l1- \dbinom l2+\cdots\pm\dbinom ll=\summ_{k=1}^l(-1)^{k+1}\dbinom lk$
egy\"utthat\'oval szerepel. Ugyanis az $S_k$ \"osszegben ez a
kifejez\'es $\dbinom lk$ egy\"utthat\'oval szerepel. Mi\'ert?
 
\item{} Innen a vizsg\'alt egy\"utthat\'o
$\summ_{k=1}^l(-1)^{k+1}\dbinom lk=1-
\summ_{k=0}^l(-1)^{k}\dbinom lk=1-(1-1)^k=1$, ha az
$A(r_1,\dots,r_n)$ halmaz $r_1,\dots,r_n$ indexei k\"oz\"ott
 $l\neq0$ 1-es van. A marad\'ek esetben pedig az egy\"utthat\'o nulla.
Ez azt jelenti, hogy a szita formula k\'et oldal]\'an szerepl\H{o}
egy\"uthat\'ok megegyeznek.
\medskip {\it Nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat:}
L\'assuk be, hogy a szitaformula jel\"ol\'eseit haszn\'alva
$$
S_1-S_2=\sum _{j=1}^nP(A_j)-\sum_{1\le j<k\le n}P(A_j\cap A_k)\le
P(A_1\cup \cdots\cup A_n)\le S_1=\sum_{j=1}^nP(A_j)
$$
\'es \'altal\'aban
$$
\sum_{k=1}^{2l}(-1)^{k+1}S_k\le
P(A_1\cup \cdots\cup A_n)\le \sum_{k=1}^{2l-1}(-1)^{k+1}S_k
$$
minden $l$ indexre. (Legyen $S_k=0$, ha $k>n$.)
\medskip
 
 
 
 
 
\bye
 
 
\medskip \noindent
A k\"ovetkez\H{o} feladat megfogalmaz\'asa el\H{o}tt felid\'ezz\"uk az
al\'abbi definici\'ot. \medskip \noindent
{\bf Halmaz indik\'atorf\"uggv\'eny\'enek a definici\'oja.} {\it
Legyen adva egy $A\in \Cal A$ esem\'eny egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Az $A$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'eny\'en azt a $\chi_A(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot \'ertj\"uk, amelyre
$\chi_A(\oo)=1$, ha $\oo\in A$, \'es $\chi_A(\oo)=0$, ha $\oo\notin
A$.} \medskip
\item{5.}  Legyenek  $A_1$,\dots, $A_k$ esem\'enyek egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n.
Az $A_1,\dots,A_k$ esem\'enyek akkor \'es csak akkor f\"uggetlenek,
ha azok $\chi_{A_1}(\oo),\dots,\chi_{A_k}(\oo)$
in\-di\-k\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-nyei f\"uggetlenek.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ha a $\chi_{A_1}(\oo),\dots,\chi_{A_k}(\oo)$
in\-di\-k\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-nyek f\"uggetlenek, akkor ezek
tetsz\H{o}leges r\'eszhalmaza is f\"uggetlen az el\H{o}z\H{o} feladat
eredm\'enye szerint. Ez\'ert minden $\{j_1,\dots,j_s\}
\subset\{1,\dots,k\}$ indexhalmazra
$$
\align
P\(A_{j_1}\cap\cdots\cap
A_{j_s}\)&=P\(\chi_{A_{j_1}}=1,\dots,\chi_{A_{j_s}}=1\)\\
&=P\(\chi_{A_{j_1}}=1\)\cdots P\(\chi_{A_{j_s}}=1\)=P\(A_{j_1}\)\cdots
P\(A_{j_s}\).
\endalign
$$
\item{} Ha az $A_1,\dots, A_k$ esem\'enyek f\"uggetlenek, akkor egyes
$A_j$ esem\'enyeket azok komplementer\'evel helyettes\'{\i}tve ism\'et
f\"uggetlen esem\'enyeket kapunk. Fel\'{\i}rva az \"osszes ilyen
rel\'aci\'ot, megkapjuk azokat az azonoss\'agokat, amelyek a
$\chi_{A_1}(\oo),\dots,\chi_{A_k}(\oo)$
in\-di\-k\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-nyek f\"uggetlens\'eg\'et jelentik.
 
\item{6.} V\'eletlen\"ul megh\'{\i}vunk 30 embert. Tegy\"uk fel, hogy
az egyes embereknek egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul van
sz\"ulet\'esnapjuk, \'es minden ember eset\'eben $\dfrac1{365}$ annak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy az \'ev valamely napj\'an
sz\"uletett. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy van k\'et
ember a t\'arsas\'agban, akiknek ugyanaznap van a sz\"ulet\'esnapjuk?
\item{} \'Altal\'anosabban, van $n$ urna, amelyekbe bedobunk
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $k$ goly\'ot \'ugy, hogy mindegyik
goly\'o egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik az egyes urn\'akba.
Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy van olyan urna amelybe
legal\'abb k\'et goly\'o esik? \'Erdekel minket tov\'abb\'a ennek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek a viselked\'ese, ha mind az $n$ mind a
$k$ sz\'am nagy, \'es a $k=k(n)$ sz\'amnak megfelel\H{o} a
nagys\'agrendje. L\'assuk be, hogy a fenti
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek van hat\'ar\'ert\'eke,
ha $n\to \infty$, $\dfrac k{\sqrt n}\to\alpha$ valamilyen
$0\le \alpha<\infty$ sz\'ammal, \'es hat\'arozzuk meg ezt a
hat\'ar\'ert\'eket.
\item{}{\it Megold\'as:} Jel\"olje $\xi_j$ azt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, hogy a $j$-ik embernek az
\'ev hanyadik napj\'an van a sz\"ulet\'esnapja. Ekkor
a $\xi_j$, $1\le j\le 30$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, $P\(\xi_j=l\)=\dfrac1{365}$, $1\le j\le 30$, $1\le l\le
365$, \'es $P(\xi_j\neq \xi_j'\;\text{ha }j\neq j')$
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mindenkinek
k\"ul\"onb\"oz\H{o} nap van a sz\"ulet\'esnapja.
Ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg viszont
$$
\dfrac{365\cdot 364\cdots(365-30+1)}{365^k}
=\prod_{j=1}^{29}\(1-\dfrac j{365}\),
$$
mert annak val\'osz\'{\i}n\H{u}l\'ege, hogy az els\H{o} ember
sz\"ulet\'esnapja az $l_1$-ik, a m\'asodik\'e az $l_2$-ik \'es
\'{\i}gy tov\'abb a $k$-ik ember sz\"ulet\'esnapja az $l_k$-ik napon
van $\dfrac1{365^k}$, tetsz\H{o}leges $1\le l_j\le 365$, $1\le j\le 30$
sz\'amok eset\'en, \'es ezeket a sz\'amokat $\prodd_{j=0}^{k-1}(365-j)$
m\'odon v\'alaszthatjuk \'ugy, hogy mindegyik $l_j$ sz\'am
k\"ul\"onb\"oz\H{o} legyen. \'Igy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy van k\'et ember akinek ugyanazon a napon van a sz\"ulet\'esnapja
$1-\prodd_{j=1}^{29}\(1-\dfrac j{365}\)$.
\item{} Hasonl\'oan, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ha $k$
goly\'ot dobunk $n$ urn\'aba az adott m\'odon, akkor van olyan urna,
amelyikbe legal\'abb k\'et goly\'o esik $1-\prodd_{j=1}^{k-1}\(1-\dfrac
jn\)$. Adjunk j\'o k\"ozel\'{\i}t\'est a
$\log\prodd_{j=1}^{k-1}\(1-\dfrac jn\)=\summ_{j=1}^{k-1}\log\(1-\dfrac
jn\)$ kifejez\'esre, ha $n\to\infty$, $\dfrac{k(n)}{\sqrt n}\to\alpha$.
Heurisztikus \'ervel\'es szerint mivel $\log\(1-\dfrac jn\)\sim-\dfrac
jn$ a $\log(1+x)$ f\"uggv\'eny Taylor sorfejt\'ese szerint, ez\'ert
$\summ_{j=1}^{k-1}\log\(1-\dfrac jn\)\sim -\summ_{j=1}^{k-1}\dfrac
jn=-\dfrac{(k-1)k}{2n}$, ahonnan $\log\prodd_{j=1}^{k(n)-1}\(1-\dfrac
jn\)\to-\dfrac{\alpha^2}2$, ha $n\to\infty$, \'es $\dfrac
{k(n)}{\sqrt n}\to\alpha$. Ez a sz\'amol\'as precizz\'e tehet\H{o}, ha
felhaszn\'aljuk p\'eld\'aul azt az egyenl\H{o}tlens\'eget, amely
szerint
$$
\left|\log\(1-\dfrac jn\)+\dfrac jn\right|\le
\dfrac{2j^2}{n^2}\le\frac{\const}n,\quad\text{ha
} n \text{ el\'eg nagy \'es }\dfrac j{\sqrt n}\le\alpha+1,
$$
ami szint\'en k\"ovetkezik a $\log(1+x)$ Taylor sorfejt\'es\'eb\H{o}l.
Mi\'ert? Innen kapjuk, hogy $1-\prodd_{j=1}^{k(n)-1}\(1-\dfrac jn\)\to
1-e^{-\alpha^2/2}$, ha $n\to\infty$, \'es $\dfrac {k(n)}{\sqrt n}
\to\alpha$.
\item{7.} Egy urn\'aban $F$ feh\'er \'es $P$ piros goly\'o van.
Kih\'uzunk v\'eletlen\"ul egy goly\'ot, majd visszadobunk $R$, $R\ge0$
ugyanolyan sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot az urn\'aba. Minden h\'uz\'as
sor\'an a kor\'abbiakt\'ol f\"uggetlen\"ul az urn\'aban lev\H{o} egyes
goly\'okat egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel h\'uzzuk ki. L\'assuk
be, hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik
h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uzunk megegyezik annak
 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o} h\'uz\'asban
h\'uzunk piros goly\'ot. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
$j$-ik \'es $k$-ik h\'uz\'asban h\'uzunk piros goly\'ot, $j\neq k$,
megegyezik annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy
az els\H{o} \'es m\'asodik h\'uz\'asban h\'uzok piros goly\'ot.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy egy olyan
h\'uz\'assorozatnak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, amely $N$ piros \'es
$M$ feh\'er goly\'ot tartalmaz csak az $N$ \'es $M$ sz\'amt\'ol f\"ugg,
nem f\"ugg a k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'{\i}n\H{u} goly\'ok
h\'uz\'as\'anak a sorrendj\'et\H{o}l. Val\'oban, egy ilyen
h\'uz\'assorozat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et fel tudjuk \'{\i}rni. Ez
$$
\align
P(N,M)&=\dfrac{P (P+R-1)\cdots (P+(N-1)(R-1))}
{\prodd_{k=0}^{N+M-1} (P+P-k(R-1))}\\
&\qquad\qquad\cdot  F(F+R-1)\cdots (F+(M-1)(R-1))
\endalign
$$
(Mi\'ert?), \'es innen k\"ovetkezik az \'all\'{\i}t\'as. Innen
l\'athat\'o, hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy pontosan $N$
piros \'es $M$ feh\'er goly\'ot h\'uzunk \'es az els\H{o} h\'uz\'as
eredm\'enye piros megegyezik annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel,
hogy pontosan $N$ piros \'es $M$ feh\'er goly\'ot h\'uzunk \'es a $j$-ik
h\'uz\'as eredm\'enye piros. Ugyanis mind a k\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$$
\dbinom{N+M-1}M P(N,M).
$$
Innen k\"ovetkezik,
hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} h\'uz\'as
piros megegyezik annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy a $j$-ik
h\'uz\'as piros. Hasonl\'oan l\'athat\'o, hogy annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik \'es $k$-ik h\'uz\'as piros
megegyezik annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o}
\'es a m\'asodik h\'uz\'as eredm\'enye piros. Ezut\'an a keresett
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge\-ket k\"onnyen
kisz\'am\'{\i}thatjuk. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik
h\'uz\'as piros $\dfrac P{P+F}$, \'es
$\dfrac{P(P+R-1)}{(F+P)(F+P+R-1)}$ annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy a $j$-ik \'es $k$-ik h\'uz\'as piros, $j\neq k$,
\medskip
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ A most vizs\'alt modell $R=0$ eset\'en a
visszatev\'es n\'elk\"uli, $R=1$ eset\'en a visszatev\'eses urnamodellt
adja mint speci\'alis esetet.
\item{8.} Egy urn\'aban $z$ z\"old \'es $s$ s\'arga goly\'o van.
Egym\'as ut\'an kih\'uzunk n\'egy goly\'ot \'ugy, hogy minden h\'uz\'as
ut\'an a goly\'ot visszadobjuk az urn\'aba, \'es vele egy\"utt az
urn\'aba dobunk 2 ellenkez\H{o} sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot. Mi a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege egy z\"old, z\"old, z\"old, s\'arga
h\'uz\'assorozatnak?
\medskip
\item{}{\it Megold\'as:}\/  Sz\'amoljuk ki annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'es\'eg\'et, hogy az els\H{o}
h\'uz\'as eredm\'enye $Z$=(z\"old), annak felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a m\'asodik h\'uz\'as $Z$,
felt\'eve, hogy az els\H{o} h\'uz\'as $Z$, annak a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a  harmadik h\'uz\'as
eredm\'enye $Z$ felt\'eve, hogy el\'otte $Z,Z$ \'es annak felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a negyedik h\'uz\'as eredm\'enye
$S$ felt\'eve, hogy el\H{o}tte $Z,Z,Z$ h\'uz\'as volt. Ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg, illetve felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek $\dfrac{z}{z+s}$, $\dfrac z{z+s+2}$,
$\dfrac z{z+s+4}$, $\dfrac{s+6}{z+s+6}$. A keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\dfrac{z}{z+s}\cdot\dfrac z{z+s+2}\cdot\dfrac z{z+s+4}\cdot
\dfrac{s+6}{z+s+6}$.
\item{9.} Tekints\"uk az el\H{o}z\H{o} feladatban bevezetett
urnamodellt. Sz\'am\'{\i}tsuk ki annak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et, hogy az els\H{o} h\'uz\'as
eredm\'enye z\"old, \'es annak, hogy a m\'asodik h\'uz\'as eredm\'enye
z\"old.
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az
els\H{o} h\'uz\'as eredm\'enye z\"old $\dfrac{z}{z+s}$. Az az
esem\'eny, hogy a m\'asodik h\'uz\'as z\"old \'ugy fordulhat
el\H{o} hogy vagy egy z\"old, z\"old vagy egy s\'arga, z\"old
h\'uz\'assorozat jelenik meg. A m\'asodik keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg ezen k\'et h\'uz\'assorozat
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek az \"osszege, teh\'at
$\dfrac z{z+s}\cdot\dfrac z{z+s+2}+
\dfrac s{z+s}\cdot\dfrac {z+2}{z+s+2}=
\dfrac{z^2+s(z+2)}{(z+s)(z+s+2)}$.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Ebben a feladatban olyan urnamodellt
tekintett\"unk, amelyben elt\'er annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az els\H{o} h\'uz\'asban illetve annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a m\'asodik h\'uz\'asban h\'uzunk
z\"old goly\'ot.
\item{10.)} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enzdarabot 100-szor egym\'as
ut\'an. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a fejdob\'asok sz\'am\'anak v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A fejdob\'asok sz\'ama 0 \'es
100 k\"oz\"ott van. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $k$
fejdob\'as k\"ovetkezik be, $0\le k\le 100$, $p_k=\dbinom {100}k
2^{-100}$. Ez\'ert a dob\'asok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\dbinom {100}k 2^{-100}$, ahol $\xi$
jel\H{o}li a fejdob\'asok sz\'am\'at megad\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot.
Ezt az \"osszeget
k\"ozvetlen\"ul kisz\'am\'{\i}thatjuk. Val\'oban, mivel
$k\dbinom{100}k=100\dbinom{99}{k-1}$, ez\'ert
$$
E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\dbinom {100}k 2^{-100}=
50\summ_{k=0}^{99}k\dbinom {99}k
2^{-99}=50\(\dfrac12+\dfrac12\)^{99}=50.
$$
\item{} Val\'oj\'aban a vizsg\'alt v\'arhat\'o \'ert\'eket
egysze\H{u}bben is ki\-sz\'a\-m\'{\i}t\-hat\-juk.
Vezess\"uk be a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat, $\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as, $1\le j\le100$.
Ekkor a fejdob\'asok sz\'ama $\xi=\summ_{j=1}^{100}\xi_j$,
$E\xi=\summ_{j=1}^{100}E\xi_j$. Mivel $E\xi_j=\frac12$, $1\le
j\le100$, ez\'ert $E\xi=\frac12\cdot100=50$,
\item{11.)} Feldobunk egy szab\'alyos dob\'okock\'at 100-szor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk a dob\'asok eredm\'enyeinek \"osszeg\'et.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek az \"osszegnek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
Legyenek $\eta_1,\dots,\eta_{100}$ {\it f\"uggetlen}\/
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre
$P(\eta_j=k)=\frac16$, $1\le j\le 100$, $1\le k\le6$. Ekkor a
kisz\'am\'{\i}tand\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek
$E\xi=E\summ_{j=1}^{100}\eta_j=\summ_{j=1}^{100}E\eta_j$.
$E\eta_j=\frac16(1+2+3+4+5+6)=3.5$. Innen $E\xi=350$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Feldobunk egy szab\'alyos dob\'okock\'at 100-szor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk a  p\'aros \'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'enyeinek
\"osszeg\'et. Sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek az \"osszegnek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
 
 
\item{4.}  Legyenek  $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen, diszkr\'et
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n,
amelyek valamilyen $x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekeket vesznek fel. Legyenek
$A_1\subset \{x_1,x_2,\dots\},A_2\subset \{x_1,x_2,\dots\},\dots,
A_k\subset \{x_1,x_2,\dots\}$ tetsz\H{o}leges halmazok. Ekkor
$$
P\(\xi_1\in A_1,\xi_2\in A_2,\dots,\xi_k\in A_k\)=
P\(\xi_1\in A_1\)P\(\xi_2\in A_2\)\cdots P\(\xi_k\in A_k\).
$$
Tov\'abb\'a mutassuk meg, hogy tetsz\H{o}leges $\{j_1,\dots,
j_s\}\subset\{1,\dots,k\}$ indexhalmazra a $\xi_{j_1},\dots,\xi_{j_s}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A f\"uggetlens\'eg miatt
$$
\align
&P\(\xi_1\in A_1,\xi_2\in A_2,\dots,\xi_k\in A_k\)\\
&\qquad=\summ_{x_1\in A_1}\summ_{x_2\in A_2}\cdots\summ_{x_k\in A_k}
P\(\xi_1=x_1,\xi_2= x_2,\dots,\xi_k=x_k\)\\
&\qquad=\summ_{x_1\in A_1}\summ_{x_2\in A_2}\cdots\summ_{x_k\in A_k}
P\(\xi_1=x_1)P(\xi_2=x_2)\cdots P(\xi_k=x_k\).
\endalign
$$
M\'asr\'eszt
$$
\align
&P\(\xi_1\in A_1\)P\(\xi_2\in A_2\)\cdots P\(\xi_k\in A_k\)\\
&\qquad=\summ_{x_1\in A_1} P\(\xi_1=x_1\) \summ_{x_2\in A_2}
P\(\xi_2=x_2\) \cdots\summ_{x_k\in A_k} P\(\xi_k=x_k\).
\endalign
$$
Elv\'egezve a beszorz\'asokat kapjuk a feladat els\H{o}
\'all\'{\i}t\'as\'at.
\item{} A m\'asodik \'all\'{\i}t\'ast megkapjuk az els\H{o} speci\'alis
esetek\'ent $A_{j_u}=\{x_{j_u}\}$, $1\le u\le s$ \'es
$A_j=\{x_1,x_2,\dots\}$, $u\in \{1,\dots,k\}\setminus \{j_1,\dots,
j_s\}$ v\'alaszt\'assal.
 
 
\item{5.} Ha $A_1,\dots, A_n$ f\"uggetlen esem\'enyek, \'es
bevezetj\"uk az $A_j^{1}=A_j$ \'es $A_j^{-1}=\Omega\setminus A_j$
jel\"ol\'eseket, akkor tetsz\H{o}leges $\e_j=\pm$, $1\le j\le n$
sorozatra az $A_1^{\e_1},\dots,A_n^{\e_n}$ esem\'enyek f\"uggetlenek.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ El\'eg bel\'atni, hogy egy $A_j$ halmaz
kicser\'el\'ese az $A_j^{-1}$ halmazra nem v\'altoztatja meg a
halmazrendszer f\"uggetlens\'eg\'et. Tov\'abb\'a az indexek szimmetria
tulajdons\'aga miatt el\'eg a $j=1$ esettel foglalkozni. Ezut\'an a
f\"uggetlens\'eget defini\'al\'o rel\'aci\'ok k\"oz\"ul el\'eg azokat
ellen\H{o}rizni, amelyekben az 1 index szerepel. Azt kell megmutatni.
hogy az $A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek f\"uggetlens\'ege eset\'en
teljes\"ul az
$$
P((\Omega\setminus A_1)\cap A_{l_1}\cap\cdots\cap A_{l_s})=
P(\Omega\setminus A_1)P( A_{l_1})\cdots P(A_{l_s})
$$
azonoss\'ag minden $2\le l_1<\cdots<l_s$ indexre. Viszont ekkor
$$
\align
P((\Omega\setminus A_1)\cap A_{l_1}\cap\cdots\cap A_{l_s})&=
P(A_{l_1}\cap\cdots\cap A_{l_s})-
P(A_1\cap A_{l_1}\cap\cdots\cap A_{l_s})\\
&=P(A_{l_1})\cdots P(A_{l_s})-
P(A_1)P(A_{l_1})\cdots P(A_{l_s})\\
&=(1-P(A_1))P(A_{l_1})\cdots P(A_{l_s})\\
&=P(\Omega\setminus A_1)P(A_{l_1})\cdots P(A_{l_s}).
\endalign
$$
\item{6.} Legyenek $A_1,\dots,A_n, B_1,\dots, B_m$ esem\'enyek
f\"uggetlenek egym\'ast\'ol. L\'assuk be, hogy tetsz\H{o}leges olyan
$C$ esem\'enyre, amelyik el\H{o}\'all\'{\i}that\'o az $A_1,\dots,
A_k$ halmazokb\'ol metszet, uni\'o \'es komplementerk\'epz\'es
seg\'{\i}ts\'eg\'evel igaz, hogy a $B_1,\dots,B_m$ \'es $C$
halmazok f\"uggetlenek.
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ L\'assuk be, hogy minden ilyen $C$
helmaz fel\'{\i}rhat\'o az el\H{o}z\H{u} feladat jel\"ol\'es\'et
haszn\'alva $C=\bigcupp_{(j_1,\dots,j_n)\in J}
A^{\e_{j_1}}\cap\cdots\cap A^{\e_{j_n}}$ alakban, ahol $J$ egy $n$
hossz\'us\'ag\'u $\pm1$ sorozatokb\'ol \'all\'o halmaz. Tov\'abb\'a az
ebben a kifejez\'esben szerepl\H{o} $A^{\e_{j_1}}\cap\cdots\cap
A^{\e_{j_n}}$ esem\'enyek diszjunktak, \'es f\"uggetlenek a
$B_1$,\dots, $B_n$ esem\'enyekt\H{o}l.
\item{} {\it Javaslat:} Besz\'elj\'ek meg e feladat kapcs\'an a
konjunktiv \'es diszjunktiv norm\'alforma jelent\'es\'et \'es
haszn\'at.
 
 
\bye
