\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\noindent{\bf A febru\'ar 25-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai.}  \medskip\noindent
{\it Feladatok:}
\medskip
\item{1.)} K\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} f\'ar\'ol leszednek 100
alm\'at, \'es beteszik k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o}
(meg\-k\"u\-l\"on\-b\"oz\-tet\-he\-tet\-len) l\'ad\'aba. Ez egyik
f\'ar\'ol szedett alm\'ak (egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul) $\dfrac14$
a m\'asik f\'ar\'ol szedett alm\'ak pedig (szint\'en egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul) $\dfrac1{10}$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
f\'ergesek. Kivesz\"unk az egyik (v\'eletlen\"ul kiv\'alasztott)
l\'ad\'ab\"ol k\'et alm\'at \'es mind a kett\H{o} f\'erges. Ezek
ut\'an kivesz\"unk a m\'asik l\'ad\'a\'ol egy alm\'at. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ez az alma m\'ar nem f\'erges?
\item{} {\it Megold\'as:} \'Erts\"uk meg el\H{o}sz\"or pontosabban a
feladatot. Jel\"olje $B$ azt az esem\'enyt, hogy els\H{o} alkalommal a
rosszabb f\'ar\'ol leszedett alm\'akat tartalmaz\'o l\'ad\'ahoz
ny\'u\-lunk. Ekkor egyr\'eszt $P(B)=\frac12$. M\'asr\'eszt, ha egym\'as
ut\'an, esetleg v\'altogatva a l\'ad\'akat kivesz\"unk egym\'as ut\'an
a l\'ad\'akb\'ol alm\'akat, defini\'aljuk a $j_1,\dots, j_k$
h\'u\-z\'as\-so\-ro\-za\-tot, ahol mindegyik $j_s=\pm1$, $j_1=1$,
$j_s=1$ azt jelenti, hogy a $s$-ik h\'uz\'as sor\'an az els\H{o}nek
kiv\'alasztott l\'ad\'ab\'ol, $j_s=-1$ pedig azt, hogy a m\'asik
l\'ad\'ab\'ol v\'alasztottunk alm\'at, akkor $A(j_1,\dots,j_n)$-nel
jel\"olve azt az esem\'enyt, hogy minden kiv\'alasztott alma f\'erges,
fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
\align
P(A(j_1,\dots,j_n)|B)&=\(\frac14\)^{u(j_1,\dots,j_n)}
\(\frac1{10}\)^{n-u(j_1,\dots,j_n)},\\
P(A(j_1,\dots,j_n)|\bar B)&=\(\frac1{10}\)^{u(j_1,\dots,j_n)}
\(\frac1{4}\)^{n-u(j_1,\dots,j_n)},
\endalign
$$
ahol $u(j_1,\dots,j_n)$ jel\"oli a $j_1,\dots,j_n$ sorozatban
szerepl\H{o} $+1$ jelek sz\'am\'at. Hasonl\'oan fel tudjuk \'{\i}rni
annak felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy egy
el\H{o}\'{\i}rt h\'uz\'assorozat eset\'en, amelyikben megmondjuk,
hogy mikor melyik l\'ad\'ab\'ol h\'uztunk alm\'at a f\'erges \'es j\'o
almah\'uz\'asoknak el\H{o}\'{\i}rt sorozata jelenik meg, felt\'eve
a $B$ esem\'enyt vagy annak komplementer\'et, a $\bar B$ esem\'enyt.
Jel\"olje $C$
azt az esem\'enyt, hogy az els\H{o} k\'et h\'uz\'asban f\'erges alm\'at
h\'{\i}zunk, $D$ pedig azt, hogy a harmadik h\'uz\'asban (a l\'ada
megv\'altoztat\'asa ut\'an) j\'o alm\'at h\'{\i}zunk. Ekkor a
$P(D|C)=\dfrac{P(C\cap D)}{P(D)}$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget akarjuk kisz\'amolni. Viszont,
$$
P(C)=P(C|B)P(B)+P(C|\bar B)P(\bar B)
=\dfrac12\(\(\dfrac14\)^2+\(\dfrac1{10}\)^2\)=\dfrac{29}{800},
$$
$$
\align
P(C\cap D)&=P(C\cap D|B)P(B)+P(C\cap D|\bar B)P(\bar B)\\
&=\dfrac12\(\(\dfrac14\)^2\dfrac9{10}+\(\dfrac1{10}\)^2\dfrac34\)
=\frac{51}{1600}.
\endalign
$$
Innen $P(D|C)=\dfrac{P(C\cap D)}{P(D)}=\dfrac{51}{58}$.
\medskip
\item{2.} Legyenek $A_1,A_2,\dots$, esem\'enyek egy $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. L\'assuk be, hogy
$\bigcupp_{n=1}^\infty\bigcapp_{k=n}^\infty A_k$ jel\"oli azt az
esem\'enyt, hogy az $A_1,A_2,\dots$, esem\'enyek k\"oz\"ul v\'eges sok
kiv\'etellel mindegyik bek\"ovetkezik.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az, hogy az $A_n$ esem\'enyek majdnem
mindegyike bek\"ovetkezik, azt jelenti, hogy van olyan $n$ sz\'am,
amelyre igaz, hogy minden $k\ge n$ indexre bek\"ovetkezik az $A_k$
esem\'eny, azaz a $B_n=\bigcapp_{k=n}^\infty A_k$ esem\'eny is
bek\"ovetkezik. Az, hogy a $B_n$ esem\'eny bek\"ovetkezik valamely $n$
sz\'amra azt jelenti, hogy bek\"ovetkezik az $\bigcupp_{n=1}^\infty
B_n= \bigcupp_{n=1}^\infty\bigcapp_{k=n}^\infty A_k$ esem\'eny.
\item{3.} Ha egy szab\'alyos p\'enzdarabot v\'egtelen sokszor
feldobunk egym\'as ut\'an, akkor egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel lesz
legal\'abb 50 fejdob\'as.
\item{} {\it Egy lehets\'eges megold\'as:}\/ Az is igaz egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, hogy a
$$
B_k=\{\text{azon $j$ indexekre,
amelyekre $50k\le j<50(k+1)$ minden dob\'as fej}\}
$$
esem\'enyek k\"oz\"ul v\'egtelen sok fog bek\"ovetkezni. Ugyanis
ezek a $B_k$ esem\'enyek f\"uggetlenek, $P(B_k)=2^{-50}$, teh\'at
$\summ_{k=1}^\infty P(B_k)=\infty$. Ez\'ert a Borel--Cantelli
lem\-m\'a\-b\'ol k\"ovetkezik a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'as,
s\H{o}t az is, hogy v\'egtelen sok $B_k$ esem\'eny k\"ovetkezik be
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Val\'oj\'aban a Borel--Cantelli
lemm\'ara nincs is sz\"uks\'eg. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy egyik $B_k$ esem\'eny sem k\"ovetkezik be
$\limm_{N\to\infty}\(1-2^{-50}\)^N=0$, teh\'at egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel valamelyik $B_k$ esem\'eny
bek\"ovetkezik.
\item{} Hogyan lehet egyszer\H{u}en l\'atni a Borel--Cantelli lemma
n\'elk\"ul, hogy v\'egtelen sok $B_k$ esem\'eny bek\"ovetkezik egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel? {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ El\'eg bel\'atni,
hogy b\'armilyen $L$ sz\'amra egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
legal\'abb $L$ $B_k$ esem\'eny bek\"ovetkezik. Viszont az
el\H{o}z\H{o} \'ervel\'eshez hasonl\'oan, annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy van egy legal\'abb $50L$ hossz\'u
tiszta fejdob\'as sorozat egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.
(Jegyezz\"uk meg, hogy ebben az \'ervel\'esben kihaszn\'altuk, hogy
megsz\'aml\'alhat\'o sok egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} halmaz
metszete is egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u}.)
\item{4.} Egy kaszin\'oban azt j\'atssz\'ak, hogy egym\'as ut\'an
feldobnak egy szab\'alyos p\'enz\-da\-ra\-bot, \'es akinek a
kaszin\'oban val\'o tartozk\'od\'asa alatt csupa fej-dob\'as
t\"ort\'ent, az nyer, akinek ott tartozk\'od\'asa alatt t\"ort\'ent
\'{\i}r\'as dob\'as is az vesz\'{\i}t. V\'egtelen sok ember egym\'ast
felv\'altva bet\'er a kaszin\'oba, \'es ott megfigyel $A_n$
p\'enzdob\'ast. L\'assuk be, hogy amennyiben $A_n=[\log n]$, ahol
$\log$ kettes alap\'u logaritmust jel\"ol, $[x]$ pedig a legnagyobb
$x$-n\'el kisebb eg\'esz sz\'am, akkor egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
v\'egtelen sok ember t\'avozik nyertesen. Ha
$A_n=\[\frac{101}{100}\log n\]$, akkor egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
csak v\'eges sok ember t\'avozik nyertesen. Mi a helyzet, ha $A_n=[\log
n+\log\log n]$, \'es ha $A_n=\[\log n+\frac{101}{100}\log\log n\]$?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az egyes emberek egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul t\'avoznak nyertesen vagy vesz\-te\-sen a
kaszin\'ob\'ol, \'es annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $n$-ik
ember nyertesen t\'avozik $2^{-A_n}$. A Borel--Cantelli lemma miatt
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel t\'avozik v\'egtelen sok
ember nyertesen, ha $\summ_{n=1}^\infty 2^{-A_n}=\infty$, \'es egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel csak v\'eges sok ember t\'avozik
nyertesen, ha $\summ_{n=1}^\infty 2^{-A_n}<\infty$. Ha
$A_n=[\log n]$, akkor $\dfrac1{n}\le 2^{-A_n}\le \dfrac2n$,
$\summ_{n=1}^\infty\dfrac1n=\infty$, ez\'ert
$\summ_{n=1}^\infty 2^{-A_n}=\infty$. Hasonl\'oan
$A_n=\[\frac{101}{100}\log n\]$ eset\'eben $\summ_{n=1}^\infty
2^{-A_n}<\infty$ a $\summ_{n=1}^\infty\dfrac1{n^{101/100}}<\infty$
rel\'aci\'o miatt. V\'eg\"ul $\summ_{n=1}^\infty 2^{-A_n}=\infty$, ha
$A_n=[\log n+\log\log n]$, \'es $\summ_{n=1}^\infty 2^{-A_n}<\infty$,
ha $A_n=\[\log n+\frac{101}{100}\log\log n\]$, a $\summ_n
\dfrac1{n\log n}=\infty$, \'es
$\summ_n\dfrac1{n(\log n)^{101/100}}<\infty$ rel\'aci\'ok miatt.
\medskip
\item{5.} L\'assunk p\'eld\'at arra, hogy a Borel--Cantelli lemma azon
fel\'eben, amikor teljes\"ul  a $\summ_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$
rel\'aci\'o, a f\"uggetlens\'eg felt\'etele nem hagyhat\'o el.
Mutassunk p\'eld\'at $(\Omega, \Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}re, azon $A_1,A_2,\dots$, esem\'enyekre, amelyekre
$\summ_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$, \'es
\itemitem{a)} Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy v\'egtelen sok
$A_n$ esem\'eny k\"ovetkezik be $\frac12$.
\itemitem{b)} Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy v\'egtelen sok
$A_n$ esem\'eny k\"ovetkezik be 0.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $(\Omega, \Cal A,P)$ az
$\Omega=[0,1]$ intervallum, azon $\Cal A$ a Borel m\'erhet\H{o}
halmazok $\sigma$-algebr\'aja, \'es $P$ a Lebesgue m\'ert\'ek. Az a)
esetre p\'elda az, ha $A_n=[0,\frac12]$ minden $n$-re. Ekkor
v\'egtelen sok $A_n$ k\"ovetkezik be egy $x\in\Omega$ pontban akkor
\'es csak akkor, ha $0\le x\le\frac12$, \'es ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac12$. A b) esetre p\'elda, ha
$A_n=(0,\frac1n]$, $n=1,2,\dots$. Ekkor ugyanis $\summ_{n=1}^\infty
P(A_n)=\summ_{n=1}^\infty\dfrac1n=\infty$, \'es minden
$x\in\Omega$ pontra csak v\'eges sok olyan $n$ index van, amelyre
$x\in A_n$. Ugyanis minden $x>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan $n_0$,
index, amelyre $x>\frac1n$, ha $n\ge n_0$, \'es $x\notin A_n$, ha
$n\ge n_0$.
\medskip
\item{6.} Adjunk p\'eld\'at egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}re azon h\'arom $A_1$, $A_2$ \'es
$A_3$ ese\-m\'eny\-re, amelyekre $P(A_1\cap A_2\cap A_3)=
P(A_1)P(A_2)P(A_3)$, de az $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ esem\'enyek
nem f\"uggetlenek.
\item{} {\it Egy lehets\'eges konstrukci\'o:}\/ Legyen
$\Omega=\{1,2,3,4,5\}$, $\Cal A$ az $\Omega$ halmaz \"osszes
r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\sigma$-algebra, $P(\{1\})=x$,
$P(\{2\})=P(\{3\})=P(\{4\})=y$, $P(\{5\})=1-x-3y$, alkalmas $x$ \'es
$y$ sz\'amokkal, $P(A)=\summ_{u\in A} P(\{u\})$ minden $A\in \Cal A$
halmazra. Defini\'aljuk az $A_1=\{1,2\}$, $A_2=\{1,3\}$ \'es
$A_3=\{1,4\}$ halmazokat. Ekkor $A_1\cap A_2\cap A_3=\{1\}$, ez\'ert
$P(A_1\cap A_2\cap A_3)=x$. M\'asr\'eszt $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=x+y$.
V\'alasszuk meg az $x$ \'es $y$ sz\'amokat \'ugy, hogy $x=(x+y)^3$.
Egy lehet\H{o}s\'eg erre, $x+y=\dfrac13$, \'es ekkor
$x=(x+y)^3=\dfrac1{27}$, $y=\dfrac8{27}$,  tov\'abb\'a
$P(\{5\})=\dfrac2{27}$. Ebben a p\'eld\'aban
$P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)$. Viszont $A_1\cap
A_2=\{1\}=A_1\cap A_2\cap A_3$, \'{\i}gy ny\'{\i}lv\'an
$P(A_1\cap A_2)\neq P(A_1)P(A_2)$. Teh\'at a f\"uggetlens\'eg nem
teljes\"ul.
\item{$6'$.} Adjunk p\'eld\'at minden $N>2$ sz\'am eset\'en egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}re azon $N$
$A_1,\dots, A_N$,  ese\-m\'eny\-re, amelyekre
$$
P(A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_N)= P(A_1)P(A_2)\cdots P(A_N),
$$
de az $A_1$, $A_2$,\dots, $A_N$ esem\'enyek nem f\"uggetlenek.
\item{} {\it Az el\H{o}z\H{o} konstrukci\'o m\'odos\'{\i}t\'asa:}\/
Legyen $\Omega=\{1,2,\dots,N+2\}$, $\Cal A$ az $\Omega$ halmaz \"osszes
r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\sigma$-algebra, $P(\{1\})=x$,
$P(\{j\})=y$, ha $2\le j\le N+1$, $P(\{N+2\})=1-x-Ny$, alkalmas $x$ \'es
$y$ sz\'amokkal, $P(A)=\summ_{u\in A} P(\{u\})$ minden $A\in \Cal A$
halmazra. Defini\'aljuk az $A_j=\{1,j+1\}$, $1\le j\le N$,
halmazokat. Ekkor $A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_N=\{1\}$, ez\'ert
$P(A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_N)=x$. M\'asr\'eszt  $P(A_j)=x+y$,
$1\le j\le N$. V\'alasszuk meg az $x$ \'es $y$ sz\'amokat
\'ugy, hogy $x=(x+y)^N$. Egy lehet\H{o}s\'eg erre, $x+y=\dfrac1N$,
\'es ekkor $x=(x+y)^N=\dfrac1{N}$, $y=\dfrac1N-\dfrac1{N^N}$,
tov\'abb\'a $P(\{N+2\})=1-x-Ny=\dfrac{N-1}{N^N}$. Ebben a p\'eld\'aban
$P(A_1\cap A_2\cap\cdots \cap A_N)=P(A_1)P(A_2)\dots P(A_N)$. Viszont
az $A_1$,\dots $A_N$, esem\'enyek nem f\"uggetlenek.
\item{7.} L\'assunk p\'eld\'at arra is, hogy esem\'enyek p\'aronk\'enti
f\"uggetlens\'eg\'eb\H{o}l nem k\"ovetkezik azok f\"uggetlens\'ege,
azaz defini\'alunk egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, azon h\'arom $A_1$, $A_2$,
$A_3$-mal jel\"olt esem\'enyt, amelyek p\'aronk\'ent f\"uggetlenek,
azaz $P(A_1\cap A_2)=P(A_1)P(A_2)$, $P(A_1\cap A_3)=P(A_1)P(A_3)$
\'es $P(A_2\cap A_3)=P(A_2)P(A_3)$, de nem teljes\"ul a $P(A_1\cap
A_2\cap A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)$ azonoss\'ag, teh\'at
ezek az esem\'enyek nem f\"uggetlenek.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ \'Alljon az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}ben $\Omega$ 4 pontb\'ol, a jobb
szem\-l\'el\-he\-t\H{o}\-s\'eg kedv\'e\'ert legyenek ezek az $(1,1)$,
$(1,2)$, $(2,1)$, $(2,2)$ pontok, \'alljon $\Cal A$ az $\Omega$ halmaz
\"osszes r\'eszhalmaz\'ab\'ol, \'es legyen
$P(\{(1,1)\})=P(\{(1,2)\})=P(\{(2,1)\})=P(\{(2,2)\})=\dfrac14$.
Tekints\"uk az $A_1=\{(1,1),(1,2)\}$ $A_2=\{(1,1),(2,1)\}$ \'es
$A_3=\{(1,1),(2,2)\}$ halmazokat. Ekkor teljes\"ulnek a $P(A_1\cap
A_2)=P(A_1)P(A_2)$, $P(A_1\cap A_3)=P(A_1)P(A_3)$ \'es $P(A_2\cap
A_3)=P(A_2)P(A_3)$ azonoss\'agok, mert $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=\dfrac12$,
\'es mivel $A_1\cap A_2=A_1\cap A_2=A_2\cap A_3=\{(1,1)\}$, $P(A_1\cap
A_2)=P(A_1\cap A_3)=P(A_2\cap A_3)=\dfrac14$. M\'asr\'eszt,
$P(A_1\cap A_2\cap A_3)\neq P(A_1)P(A_2)P(A_3)$, mert
 $P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(\{(1,1)\})=\dfrac14$, \'es
$P(A_1)P(A_2)P(A_3)=\dfrac18$.
\item{8.} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk $n\ge 5$ alkalommal.
Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy legal\'abb 5 fejdob\'as
t\"ort\'enik? Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy egy
szab\'alyos p\'enzdarab v\'egtelen sok dob\'asa sor\'an legfeljebb 5
fejdob\'as t\"ort\'enik? Tekints\"uk ennek az ut\'obbi feladatnak egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellj\'et \'es besz\'elj\"uk meg a
k\"ovetkez\H{o} k\'et tulajdons\'ag kapcsolat\'at:
\itemitem{a.} Egy $A$ esem\'eny nem k\"ovetkezhet be.
\itemitem{b.} Egy $A$ esem\'eny nulla val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
k\"ovetkezik be.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy
szab\'alyos p\'enzdarab $n$ egym\'ast\'ol f\"ug\-get\-len dob\'asa
sor\'an pontosan $j$ darab fejdob\'as t\"ort\'enik $\dbinom nj2^{-n}$,
mert \"osszesen $\dbinom nj$ ilyen dob\'assorozat van, \'es mindegyik
dob\'assorozat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $2^{-n}$. \'Igy annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legfeljebb 5 fejdob\'as t\"ort\'enik
$\summ_{j=0}^5 \dbinom nj2^{-n}$. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy v\'egtelen dob\'assorozat eset\'en legfeljebb 5 fejdob\'as
t\"ort\'enik $\limm_{n\to\infty}\summ_{j=0}^5 \dbinom nj2^{-n}=0$.
Mi\'ert szabad hat\'ar\'ert\'eket venni? Megbesz\'elend\H{o}, hogy
felhaszn\'altuk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek folytonoss\'agi
tulajdons\'ag\'at, amely a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\sigma$-additivit\'as\'ab\'ol k\"ovetkezik.
 
\item{9.} Egy 100 tag\'u t\'arsas\'ag minden egyes tagja egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul $\dfrac1{1000}$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
betegszik meg. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
t\'arsas\'agnak lesz beteg tagja? A kapott eredm\'enyr\H{o}l mit
mondhatunk? Az nagyon nagy, majdnem 1 vagy nagyon kicsi majdnem nulla?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_j$ azt az esem\'enyt, hogy a
t\'arsas\'ag $j$-ik megbetegszik meg. Ekkor a $P(A_j)=\dfrac1{1000}$,
\'es az $A_j$ esem\'enyek f\"uggetlenek. Sz\'amoljuk ki el\H{o}sz\"or a
minket \'erdekl\H{o} esem\'eny komplementer\'enek, azaz annak az
esem\'enynek a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et, hogy mindenki
eg\'eszs\'eges. Ez az $\bigcapp_{j=1}^{1000}(\Omega\setminus A_j)$
esem\'eny. Mivel $P(\Omega\setminus A_j)=1-\dfrac1{1000}$, \'es az
$A_j$ esem\'enyek f\"uggetlens\'eg\'eb\H{o}l k\"ovetkezik az
$\Omega\setminus A_j$ esem\'enyek f\"uggetlens\'ege is, ez\'ert
$P\(\bigcapp_{j=1}^{1000}(\Omega\setminus A_j)\)
=\(1-\dfrac1{1000}\)^{100}$. Innen a minket \'erdekl\H{o}
esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $1-\(1-\dfrac1{1000}\)^{100}$.
\item{} V\'eg\"ul jegyezz\"uk meg, hogy $\(1-\dfrac1{1000}\)^{100}=
\(\(1-\dfrac1{1000}\)^{1000}\)^{1/10}\sim e^{-1/10}$. Mi\'ert? Ez a
sz\'am nagyon k\"ozel van az egyhez, ez\'ert a minket \'erdekl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke kicsi.
\item{10.} Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}t. $\Omega=\{1,\dots, n\}$, ahol $n$ valamely pozit\'{\i}v
eg\'esz sz\'am, $\Cal A$ az $\Omega$ \"osszes r\'eszhalmazaib\'ol
\'all\'o $\sigma$-algebra,
$$
P(A)=\dfrac{\text{ az $A$ halmaz sz\'amoss\'aga}}n.
$$
Legyen $n=p_1^{r_1}\cdots p_k^{r_k}$ az $n$ sz\'am
pr\'{\i}mt\'enyez\H{o}s felbont\'asa, \'es defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H{o} $A_j$ esem\'enyeket: $A_j=\{m\: m\text{ oszthat\'o a
$p_j$ sz\'ammal}\}$, $1\le j\le k$. Legyen $B=\{m\: m\text{ relat\'{\i}v
prim az $n$ sz\'amhoz k\'epest}\}$. Mutassuk meg, hogy
\itemitem{a.} Az $A_1,\dots,A_k$ esem\'enyek f\"uggetlenek.
\itemitem{b.} $P(B)=\prodd_{j=1}^k\(1-\dfrac1{p_j}\)$, azaz \"osszesen
$n\cdot\prodd_{j=1}^k\(1-\dfrac1{p_j}\)$ $n$-n\'el kisebb \'es az
$n$-hez k\'epest relat\'{\i}v prim van.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ $A_j=\left\{p_j,2p_j,\dots,\dfrac
n{p_j}p_j\right\}$ egy $\dfrac n{p_j}$ sz\'amb\'ol \'all\'o halmaz,
ez\'ert $P(A_j)=\dfrac1{p_j}$, $1\le j\le k$. Az $A_{j_1}\cap
A_{j_2}\cap\cdots\cap A_{j_s}$ halmaz az $n$-n\'el kisebb $p_{j_1}\cdots
p_{j_s}$ sz\'ammal oszthat\'o sz\'amokb\'ol \'all minden $1\le
j_1<j_2<\cdots<j_s\le k$ sorozatra, ez\'ert sz\'amoss\'aga $\dfrac n
{p_{j_1}\cdots p_{j_s}}$, \'es $P(A_{j_1}\cap A_{j_2}\cap\cdots\cap
A_{j_s})=\dfrac 1 {p_{j_1}\cdots p_{j_s}}$. Ez azt jelenti, hogy
$P(A_{j_1}\cap A_{j_2}\cap\cdots\cap A_{j_s})=P(A_{j_1})
P(A_{j_2})\cdots P(A_{j_s})$ minden $1\le j_1<j_2<\cdots<j_s\le k$
sorozatra, ez\'ert az $A_1$, $A_2$, \dots $A_k$ halmazok f\"uggetlenek.
\item{} V\'eg\"ul $B=\Omega\setminus (A_1\cup\cdots\cup A_k)
=\bigcapp_{j=1}^k(\Omega\setminus A_j)$. Ez\'ert \'es az $A_j$
esem\'enyek f\"uggetlens\'ege miatt $P(B)=\prodd_{j=1}^k
P(\Omega\setminus A_j)=\prodd_{j=1}^k \(1-\dfrac1{p_j}\)$, ahonnan
k\"ovetkezik a $B$ halmaz sz\'amoss\'ag\'ara megadott k\'eplet.
 
\medskip
Az el\"oz\H{o} k\'et feladatban l\'attuk hogyan lehet egyszer\H{u}en
kisz\'am\'{\i}tani a $A_1\cup \cdots\cup A_n$ alak\'u esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, ha az $A_j$, $1\le j\le n$, esem\'enyek
f\"uggetlenek. Ezek a sz\'amol\'asok term\'eszetesen kihaszn\'alt\'ak
a tekintett esem\'enyek f\"uggetlens\'eg\'et. A k\"ovetkez\H{o}ben azt
t\'argyaljuk meg, hogy amennyiben nincs felt\'etlen\"ul
f\"uggetlens\'eg a tekintett esem\'enyek k\"oz\"ott, de ki tudjuk
sz\'amolni az $A_{j_1}\cap \cdots\cap A_{j_s}$ alak\'u esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, akkor egy \'ugynevezett szita formula
seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki tudjuk sz\'am\'{\i}tani az $A_1\cup \cdots\cup
A_n$ esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et is. Tov\'abb\'a
megmutatjuk, hogy ez lehet\H{o}v\'e teszi \'erdekes feladatok
megold\'as\'at. A k\"ovetkez\H{o} feladatot fogjuk t\'argyalni:
\medskip
\item{11.} Egy est\'elyen megjelenik $n$ h\'azasp\'ar. Egy
t\'ancmester, aki nem tudja, hogy kik h\'azast\'arsak \'es kik nem
v\'eletlen m\'odon p\'arba rendezi a f\'erfiakat \'es n\H{o}ket
a t\'anc el\H{o}tt. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
egyetlen h\'azasp\'ar sem t\'ancol egy\"utt? Mi ennek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek a hat\'ar\'ert\'eke, ha $n\to\infty$?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $A_j$
esem\'enyeket:
$$
A_j=\text{a $j$-ik h\'azasp\'ar eg\"utt t\'ancol,}\quad 1\le j\le n.
$$
Ekkor minket a $P(\overline{A_1\cup\dots\cup A_{n}})=
1-P(A_1\cup\dots\cup A_{n})$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel.
Vegy\"uk \'eszre, hogy a $P(A_{j_1}\cap \cdots
\cap A_{j_k})=\dfrac{(n-k)!}{n!}$ azonoss\'ag igaz. Ugyanis az
\"osszes lehets\'eges p\'arba\'all\'{\i}t\'asok sz\'ama $n!$, m\'{\i}g
az olyan p\'arba\'all\'{\i}t\'asok sz\'ama, amelyben a $j_1$-ik,
$j_2$-ik, \dots, $j_k$-ik h\'azasp\'ar egy p\'arba ker\"ul $(n-k)!$.
 Tov\'abb\'a \'erv\'enyes a k\"ovetkez\H{o} az irodalomban
szita-formul\'anak nevezett eredm\'eny, amely szerepelt az
el\H{o}ad\'ason is.
\medskip\noindent
{\bf Szita formula.} {\it Legyenek $A_1,\dots,A_n$ tetsz\H{o}leges
esem\'enyek egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Ekkor
$$
P(A_1\cup \cdots\cup A_n)=S_1-S_2+S_3-\cdots +(-1)^{n+1}S_n,
$$
ahol
$$
S_k=\sum_{1\le j_1<\cdots<j_k\le n} P(A_{j_1}\cap \cdots\cap  A_{j_k}).
$$
}\medskip
\item{} A szita-formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel kapjuk, hogy $n$
h\'azasp\'ar eset\'eben
$$
S_k=\dbinom nk\dfrac{(n-k)!}{n!}=\dfrac1{k!}.
$$
Innen ad\'odik, hogy a minket \'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$n$ h\'azasp\'ar eset\'en
$$
\align
P(\overline{A_1\cup \dots\cup A_{n}})&=1-P(A_1\cup\dots\cup A_{n}) \\
&=1-S_1+S_2+\cdots+(-1)^n S_n=\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k!},
\endalign
$$
\'es ez\'ert
$$
P(\overline{A_1\cup \dots\cup A_{n}})
=\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k!}\to \frac1e\quad \text{ ha } n\to\infty.
$$
\medskip\noindent
{\it Kieg\'esz\'{\i}t\'es a 11. feladathoz}
\medskip\noindent
Az el\H{o}z\H{o} feladatban rejt\'elyesnek t\H{u}nhet az, hogy mi\'ert
\'eppen az $e^{-1}$ sz\'am jelenik meg a vizsg\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg limeszek\'ent. A
k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'as, amelyet bizonyos \'altal\'anosabb,
de j\'ol ismert eredm\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel bizony\'{\i}tunk
term\'eszetesebb\'e teheti ezt az eredm\'enyt.
\medskip\noindent
{\bf Proposition.} {\it Egy est\'elyen megjelenik $n$ h\'azasp\'ar.
Egy t\'ancmester, aki nem tudja, hogy kik h\'azast\'arsak \'es kik nem
v\'eletlen m\'odon p\'arba rendezi a f\'erfiakat \'es n\H{o}ket
a t\'anc el\H{o}tt. Jel\"olje $\xi_n$ azon h\'azasp\'arok sz\'am\'at,
amelynek tagjai egy\"utt t\'ancolnak. A $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban
konverg\'alnak az egy param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'ashoz, azaz
$\limm_{n\to\infty}P(\xi_n=k)=\dfrac1{k!}e^{-1}$ minden
$k=0,1,2,\dots$, sz\'amra.}
\medskip
A fenti \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'anak \'erdek\'eben
el\H{o}sz\"or bel\'atjuk a k\"ovetkez\H{o} lemm\'at.
\medskip\noindent
{\bf Lemma} {\it Legyen $\xi$ $\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Ekkor minden
$k=0,1,2,\dots$, sz\'amra $E\dbinom \xi k=\dfrac{\lambda^k}{k!}$.
Ez\'ert, ha $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata teljes\'{\i}ti a
$\limm_{n\to\infty}E\dbinom {\xi_n} k=\dfrac{\lambda^k}{k!}$
felt\'etelt minden $k=0,1,2,\dots$ sz\'amra, akkor a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
a $\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'ashoz.}
\medskip\noindent
{\it A Lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Ha $\xi$ Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda$ param\'eterrel,
akkor
$$
E\binom \xi k=\summ_{l=k}^\infty \binom lk
\frac{\lambda^l}{l!}e^{-\lambda}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
\summ_{l=k}^\infty \dfrac{\lambda^{l-k}}{(l-k)!}
=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}e^\lambda=\frac{\lambda^k}{k!}.
$$
Ha $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata
teljes\'{\i}ti a $\limm_{n\to\infty}E\dbinom{\xi_n}k
=E\dbinom{\xi}k$ azonoss\'agot minden $k=0,1,2,\dots$, sz\'amra
valamely $\xi$ $\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oval, akkor
$\limm_{n\to\infty}E\xi_n^k=E\xi^k$, $k=0,1,2,\dots$. Innen
viszont a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as \'altal\'anos
eredm\'enyei alapj\'an k\"ovetkezik a Lemma m\'asodik \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip\noindent
{\it A Proposition bizony\'{\i}t\'asa.}\/ A Lemma alapj\'an el\'eg
megmutatni, hogy $\limm_{n\to\infty} E\dbinom{\xi_n}k=\dfrac1{k!}$.
Viszont, ha $A(j_1,\dots,j_k)$-val jel\"olj\"uk annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a $j_1$-ik,
$j_2$-ik, \dots $j_k$-ik h\'azasp\'ar egy\"utt t\'ancol, akkor
$P(A(j_1,\dots,j_k))=\dfrac1{n(n-1)\cdots(n-k+1)}$, ahonnan minden
$n\ge k$ sz\'amra
$$
E\binom {\xi_n}k=\sum_{1\le j_1<j_2<\cdots<j_k\le n}
P(A(j_1,\dots,j_k))=\binom nk \dfrac1{n(n-1)\cdots(n-k+1)}=\frac1{k!}.
$$
Innen k\"ovetkezik a Proposition \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A Proposition \'all\'{\i}t\'asa a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon is megfogalmazhat\'o: Legyen adva $n$ urna
\'es $n$ goly\'o, \'es sz\'amozzuk meg mind a goly\'okat mind az
urn\'akat az $1,\dots, n$ sz\'amokkal. Dobjuk be a  goly\'okat az
urn\'akba egym\'as ut\'an \'ugy, hogy az egym\'as ut\'ani
dob\'asokban csak az \"ures urn\'akba dobhatunk goly\'ot, \'es
minden \"ures urn\'aba egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.
Teknts\"uk azon goly\'ok sz\'am\'at, amelyeknek sz\'amoz\'asa
meg\-egye\-zik az \H{o}t tartalmaz\'o urna sz\'amoz\'as\'aval.
Akkor ezek (az $n$ param\'etert\H{o}l f\"ugg\H{o})
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban
konverg\'alnak az 1 param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'ashoz, ha
$n\to\infty$. Hasonl\'{\i}tsuk \"ossze e fel\-adat eredm\'eny\'et a
probl\'ema azon v\'altozat\'aval, ahol az egyes goly\'okat
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul dobjuk le, \'es mindegyik urn\'aba
egyforma, $\frac1n$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esnek az egyes
goly\'ok. Ekkor is vizsg\'aljuk azon goly\'ok sz\'am\'at,
amelyeknek sz\'amoz\'asa megegyezik az \H{o}t tartalmaz\'o urna
sz\'amoz\'as\'aval. Ebben a feladatban is igaz, hogy
az ilyen goly\'ok sz\'am\'anak eloszl\'asa $n\to\infty$ eset\'en
tart az 1 param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'ashoz. S\H{o}t ez az
\'all\'{\i}t\'as speci\'alis esete azon \'altal\'anos eredm\'enynek,
amelyik le\'{\i}rja, hogy f\"uggetlen eg\'esz \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszege mikor konverg\'al
a Poisson eloszl\'ashoz. A kimondott Proposition teh\'at olyan
jelleg\H{u} t\'etel, amely sze\-rint gyeng\'en f\"ugg\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszege alkalmas
felt\'etelek mellett hasonl\'oan viselkedik f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'ehez. E hasonl\'o
viselked\'est meg lehet magyar\'azni annak a t\'enynek
az alapj\'an, hogy a bizony\'{\i}t\'asban szerepl\H{o}
$A(j_1,\dots,j_k)$ esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege nagyon
k\"ozel van egym\'ashoz a k\'et tekintett feladatban.
 
 
 
 \bye
 
