A JÚNIUS 30.-i VIZSGA FELADATAI

1. Egy szabályos dobókockát feldobunk egymás után többször. Mi annak a valószínűsége, hogy a 20. dobásban jelenik meg az ötödik hárommal osztható szám?

2. Legyen adva két urna, mind a kettőben 9 piros és 6 fehér golyó. Egymás után 15-ször kihúzunk egy-egy golyót mind a két urnából visszatevés nélkül. Tekintsük azokat a húzáspárokat, amelyek során kl̈önböző színű golyókat húztunk. Számítsuk ki az ilyen húzáspárok számának a várható értékét és szórásnégyzetét.

3. Egy teszt-vizsgán, ahol két lehetőség közül kell kiválasztani a helyes választ ketten vesznek részt. Az első résztvevő p_{1}, a második résztvevő pedig p_{2} valószínűséggel tudja a helyes választ, továbbá a vizsga két résztvevője egymástól függetlenül tudja vagy nem tudja, hogy mi a helyes válasz. Mindkét résztvevő a jó választ jelőli meg, ha tudja azt, ellenkező esetben pedig mindentől függetlenül egyforma valószínűséggel véletlenül bejelöli a két lehetséges válasz valamelyikét. Mi a feltételes valószínűsége annak, hogy mind a két résztvevő a helyes választ jelölte be, feltéve, hogy ugyanazt a választ adták?

4. Legyen ξ normális eloszlású valószínűségi változó 1 várható értékkel és 1 szórás-

négyzettel, azaz legyen ξ sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−(x−1)^{2}/2}. Tekintsünk egy

tetszőleges t valós számot, és számoljuk ki az e^{tξ} valószínűségi változó Ee^{tξ} várható értékét.

5. A következő játékot játsszuk. Két szabályos pénzdarabot feldobnak egymás után 10 000 alkalommal. Ha egy dobás eredménye két fejdobás akkor 2 forintot nyerünk, ha az eredmény két írásdobás akkor 2 forintot vesztünk, ha az eredmény egy fej és egy írásdobás akkor 1 forintot nyerünk. Adjunk jó becslést a mellékelt normális eloszástáblázat alapján annak a valószínűségére, hogy nyereményünk összege 4850 és 5300 forint között lesz.

6. Mikor mondjuk, hogy egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn adott ξ_{1}, ξ_{2}, …, ξ_{n} valószínűségi változók egymástól függetlenek?

7. Az alábbi négy állítás közül melyik helyes és melyik nem:

a.) Ha ξ és η két valószínűségi változó egy valószínűségi mezőn, akkor a ξ + η összeg várható értéke egyenlő a ξ és η valószínűségi változók várható értékének az összegével, azaz E(ξ + η) = Eξ + Eη.

b.) Ha ξ és η két független valószínűségi változó egy valószínűségi mezőn, akkor a ξ + η összeg várható értéke egyenlő a ξ és η valószínűségi változók várható értékének az összegével, azaz E(ξ + η) = Eξ + Eη.

c.) Ha ξ és η két valószínűségi változó egy valószínűségi mezőn, akkor a ξ+η összeg szórásnégyzete egyenlő a ξ és η valószínűségi változók szórásnégyzetének az összegével, azaz Var (ξ + η) = Var ξ + Var η.

d.) Ha ξ és η két független valószínűségi változó egy valószínűségi mezőn, akkor a ξ + η összeg szórásnégyzete egyenlő a ξ és η valószínűségi változók szórásnégyzetének az összegével, azaz Var (ξ + η) = Var ξ + Var η.