\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 \nopagenumbers
\centerline{\bf A J\'UNIUS 6.--I VIZSGA FELADATAI}
\bigskip
\item{1.} Valaki minden h\'eten lott\'ozik, \'es egy hetet akkor
tekint sikeresnek, ha legal\'abb k\'et tal\'alatot \'er el. (Egy
szelv\'ennyel j\'atszik, 90 sz\'amb\'ol kell eltal\'alni 5-\"ot,
minden lehets\'eges h\'uz\'assorozat egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}.)
Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a h\'uszadik h\'et a
harmadik sikeres h\'et? (Egy viszonylag  r\"ovid formul\'at k\'erek,
nem k\'{\i}v\'anom, hogy a pontos sz\'amszer\H{u} \'ert\'eket
kisz\'amolj\'ak.)
\item{2.} Adott k\'et urna, amelyek mindegyike 20 feh\'er \'es
30 piros goly\'ot tartalmaz. Ki\-h\'u\-zunk egym\'as ut\'an 10
alkalommal mind a k\'et urn\'ab\'ol egy-egy goly\'ot visszatev\'es
n\'elk\"ul. Arra vagyunk kiv\'ancsiak, hogy h\'any alkalommal h\'uztunk
k\'et egyforma sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot. Sz\'amoljuk ki e
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et.
\item{3.} Egy di\'aknak egy tesztlapot kell kit\"oltenie a vizsg\'an,
amelyben h\'arom lehets\'eges v\'alasz k\"oz\"ul kell v\'alasztania.
Egy adott k\'erd\'esre $p$, $0\le p\le 1$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
tudja a helyes v\'alaszt. Ha tudja a helyes v\'alaszt, akkor a j\'o
helyet jel\"oli be, ha nem akkor egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
t\"olti ki a lehets\'eges h\'arom v\'alasz valamelyik\'et. Mi annak a
felt\'eteles va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy tudja egy
k\'erd\'esre a helyes v\'alaszt felt\'eve, hogy erre a k\'erd\'esre a
j\'o v\'alaszt jel\"olte be?
\item{4.} Legyen a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye $f(x)=\dfrac12e^{-|x|}$,
$-\infty<x<\infty$. Sz\'amoljuk ki az $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{5.} Ledobunk egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul 24~000 pontot a
$[0,2]$ intervalumra egyenletes eloszl\'assal, (azaz annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy ledobott pont \'ert\'eke
$x$-n\'el kisebb $\dfrac x2$-vel egyenl\H{o}, ha $0\le x\le 2$, eggyel
egyenl\H{o}, ha $x\ge2$, \'es nulla, ha $x\le0$.) \H{O}rizz\"uk meg
azokat a ledobott pontokat, melyek \'ert\'eke 1-n\'el kisebb, \'es
hagyjuk el azokat, melyek \'ert\'eke, nagyobb mint egy. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a meg\"orz\"ott pontok \'ert\'ekeinek
az \"osszege 5900  \'es 6075 k\"oz\'e esik? Adjunk erre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est
a mell\'ekelt norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{6.} Fogalmazza meg a Borel--Cantelli lemm\'at. (A Borel--Cantelli
lemma arr\'ol sz\'ol, hogy valamely $A_1$, $A_2$,\dots, esem\'enyek
k\"oz\"ul mikor k\"ovetkezik be egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
v\'eges illetve v\'egtelen sok esem\'eny.)
 
\bye
