A MÁJUS 30.–I VIZSGA FELADATAI

1. Egy szabályos dobókockát feldobunk egymás után végtelen sokszor. Mi annak a valószínűsége, hogy az ötödik hatosdobás a negyedik hatosdobás után három dobással később következik be?

2. Egy urnában 20 fehér és 30 piros golyó van. Kihúzunk egymás után 10 golyót úgy, hogy minden dobás után a megfelelő golyót visszadobjuk egy ugyanolyan színű golyóval együtt. Minden egyes piros golyó húzásnál öt forintot nyerünk, minden egyes fehér golyó húzásnál két forintot veszítünk. Mi a nyereményünk várható értéke és szórásnégyzete?

3. Három gép gyárt csavarokat, az egyik 0.01 a második 0.02 a harmadik 0.03 valószínűséggel gyárt hibás csavarokat. A csavarokat egy raktárba viszik, és összekeverik azokat. Egy gyártott csavar 0.5 valószínűséggel készült az első 0.3 valószínűséggel a második és 0.2 valószínűséggel készült a harmadik gépen. Kiveszünk egy csavart, megnézzük, és azt találjuk, hogy az hibás. Milyen valószínűséggel készült a csavar eme feltétel mellett az első gépen?

4. Legyen ξ normális eloszlású valószínűségi változó 1 várható értékkel és 1 szórás-

négyzettel, azaz legyen ξ sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−(x−1)^{2}/2}. Számoljuk ki

az e^{tξ} valószínűségi változó Ee^{tξ} várható értékét tetszőleges t valós számra.

5. Egy szabályos dobókockát és egy szabályos érmét feldobunk 3300 alkalommal egymástól függetlenül. (Az érme és kockadobások eredményei is függetlenek egymástól.) Ha a kockadobás eredménye páros és az érme a fej oldalra esett, akkor annyi forintot nyerünk, amennyi a kockadobás eredménye. Ha az érme az írás oldalra esett vagy a kockadobás eredménye páratlan szám, akkor nem nyerünk, és nem is vesztünk semmit. Mi a valószínűsége annak, hogy az össznyereményünk 3190 és 3520 forint közé esik? Adjunk erre jó közelítő becslést a centrális határeloszlástétel és egy normális eloszlástáblázat segítségével.

6. Legyen A_{1}, A_{2} és A_{3} három esemény egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Mikor mondjuk, hogy az A_{1}, A_{2} és A_{3} események függetlenek?