\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 \nopagenumbers
\centerline{\bf A M\'AJUS 30.--I VIZSGA FELADATAI}
\bigskip
\item{1.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk egym\'as ut\'an
v\'egtelen sokszor. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
az \"ot\"odik hatosdob\'as a negyedik hatosdob\'as ut\'an
h\'arom dob\'assal k\'es\H{o}bb k\"ovetkezik be?
\item{2.} Egy urn\'aban 20 feh\'er \'es 30 piros goly\'o van.
Kih\'uzunk egym\'as ut\'an 10 goly\'ot  \'ugy, hogy minden
dob\'as ut\'an a megfelel\H{o} goly\'ot visszadobjuk egy ugyanolyan
sz\'{\i}n\H{u} goly\'oval egy\"utt. Minden egyes piros
goly\'o h\'uz\'asn\'al \"ot forintot nyer\"unk, minden egyes feh\'er
goly\'o h\'uz\'asn\'al k\'et forintot vesz\'{\i}t\"unk. Mi a
nyerem\'eny\"unk v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete?
\item{3.} H\'arom g\'ep gy\'art csavarokat, az egyik 0.01 a m\'asodik
0.02 a harmadik 0.03 va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel gy\'art
hib\'as csavarokat. A csavarokat egy rakt\'arba viszik, \'es
\"osszekeverik azokat. Egy gy\'artott csavar 0.5
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult az
els\H{o} 0.3 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a m\'asodik \'es 0.2
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult a harmadik g\'epen.
Kivesz\"unk egy csavart, megn\'ezz\"uk, \'es azt tal\'aljuk, hogy az
hib\'as. Milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult a csavar eme
felt\'etel mellett az els\H{o} g\'epen?
\item{4.} Legyen $\xi$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 1 v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel \'es 1 sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet\-tel, azaz legyen
$\xi$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye
$f(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-(x-1)^2/2}$. Sz\'amoljuk ki az
$e^{t\xi}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $Ee^{t\xi}$
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et tetsz\H{o}leges $t$ val\'os sz\'amra.
\item{5.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at \'es egy szab\'alyos
\'erm\'et feldobunk 3300 alkalommal egy\-m\'as\-t\'ol f\"uggetlen\"ul.
(Az \'erme \'es kockadob\'asok eredm\'enyei is f\"uggetlenek
egy\-m\'as\-t\'ol.) Ha a kockadob\'as eredm\'enye p\'aros \'es az
\'erme a fej oldalra esett, akkor annyi forintot nyer\"unk, amennyi a
kockadob\'as eredm\'enye. Ha az \'erme az \'{\i}r\'as oldalra esett
vagy a kockadob\'as eredm\'enye p\'aratlan sz\'am, akkor nem nyer\"unk,
\'es nem is veszt\"unk semmit. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak,
hogy az \"ossznyerem\'eny\"unk 3190 \'es 3520 forint k\"oz\'e esik?
Adjunk erre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel \'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{6.} Legyen $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ h\'arom esem\'eny egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Mikor
mondjuk, hogy az $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ esem\'enyek  f\"uggetlenek?
 
\bye
