\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf Az okt\'ober 14.-i gyakorlat t\'em\'aja}
\medskip
\medskip\noindent
Az el\H{o}z\H{o} gyakorlaton t\'argyaltuk azt, hogy sok megfigyelt
\'ert\'ek \"osszeg\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et hogyan
sz\'amolhatjuk ki. Fontos annak vizsg\'alata is, hogy a kisz\'amolt
v\'arhat\'o \'ert\'ek milyen j\'o k\"ozel\'{\i}t\'ese a val\'odi
(v\'eletlen) \'ert\'eknek. Ennek m\'er\'es\'ere vezett\'ek be a
sz\'or\'asn\'egyzet fogalm\'at. A sz\'or\'asn\'egyzetet el\H{o}sz\"or
csak f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'ere
sz\'amoljuk ki. Az \'altal\'anos, nem felt\'etlen\"ul f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek az esete is
\'erdekes \'es fontos, de ennek vizsg\'alat\'at k\'es\H{o}bbre
halasztjuk. Ahhoz, hogy programunkat v\'egrehajtsuk, el\H{o}sz\"or meg
kell \'erten\"unk a f\"uggetlen va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok fogalm\'at. Egyel\H{o}re csak diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok\-kal fog\-lal\-ko\-zunk,
\'es ezek f\"uggetlens\'eg\'et defini\'aljuk.
 
\medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'ege.} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_k$ disz\-kr\'et
eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
ugyanazon az $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
amelyek valamilyen $x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekeket vesznek fel. Azt
mondjuk, hogy ezek az $\xi_1$, $\xi_2$,\dots, $\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, ha
$$
P\(\xi_1=x_{j_1},\xi_2=x_{j_2},\dots,\xi_k=x_{j_k}\)=
P\(\xi_1=x_{j_1}\)P\(\xi_2=x_{j_2}\)\cdots P\(\xi_k=x_{j_k}\)
$$
minden $j_s=1,2,\dots$, $1\le s\le k$, indexre.}
\medskip
 
\item{1.)}  Legyenek  $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen, diszkr\'et
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n,
amelyek valamilyen $x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekeket vesznek fel. Legyenek
$A_1\subset \{x_1,x_2,\dots\},A_2\subset \{x_1,x_2,\dots\},\dots,
A_k\subset \{x_1,x_2,\dots\}$ tetsz\H{o}leges halmazok. Ekkor
$$
P\(\xi_1\in A_1,\xi_2\in A_2,\dots,\xi_k\in A_k\)=
P\(\xi_1\in A_1\)P\(\xi_2\in A_2\)\cdots P\(\xi_k\in A_k\).
$$
Tov\'abb\'a mutassuk meg, hogy tetsz\H{o}leges $\{j_1,\dots,
j_s\}\subset\{1,\dots,k\}$ indexhalmazra a $\xi_{j_1},\dots,\xi_{j_s}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A f\"uggetlens\'eg miatt
$$
\align
&P\(\xi_1\in A_1,\xi_2\in A_2,\dots,\xi_k\in A_k\)\\
&\qquad=\summ_{x_1\in A_1}\summ_{x_2\in A_2}\cdots\summ_{x_k\in A_k}
P\(\xi_1=x_1,\xi_2= x_2,\dots,\xi_k=x_k\)\\
&\qquad=\summ_{x_1\in A_1}\summ_{x_2\in A_2}\cdots\summ_{x_k\in A_k}
P\(\xi_1=x_1)P(\xi_2=x_2)\cdots P(\xi_k=x_k\).
\endalign
$$
M\'asr\'eszt
$$
\align
&P\(\xi_1\in A_1\)P\(\xi_2\in A_2\)\cdots P\(\xi_k\in A_k\)\\
&\qquad=\summ_{x_1\in A_1} P\(\xi_1=x_1\) \summ_{x_2\in A_2}
P\(\xi_2=x_2\) \cdots\summ_{x_k\in A_k} P\(\xi_k=x_k\).
\endalign
$$
Elv\'egezve a beszorz\'asokat kapjuk a feladat els\H{o}
\'all\'{\i}t\'as\'at.
\item{} A m\'asodik \'all\'{\i}t\'ast megkapjuk az els\H{o} speci\'alis
esetek\'ent $A_{j_u}=\{x_{j_u}\}$, $1\le u\le s$ \'es
$A_j=\{x_1,x_2,\dots\}$, $u\in \{1,\dots,k\}\setminus \{j_1,\dots,
j_s\}$ v\'alaszt\'assal.
\medskip
A teljess\'eg kedv\'e\'ert vezess\"uk b esem\'enyek
f\"uggetlens\'eg\'enek a definici\'oj\'at is.
\medskip \noindent
{\bf K\'et esem\'eny f\"uggetlens\'eg\'enek a definici\'oja.} {\it Azt
mondjuk, hogy egy $A$ \'es $B$ esem\'eny f\"uggetlen, ha $P(A\cap
B)=P(A)P(B)$.} \medskip\noindent
Ez a definici\'o azonban \"onmag\'aban nem kiel\'eg\'{\i}t\H{o}
sz\'amunkra. Besz\'elni akarunk t\"obb esem\'eny
f\"uggetlens\'eg\'er\H{o}l is. Ez\'ert a k\"ovetkez\H{o} definici\'ot
is bevezetj\H{u}k.
\medskip\noindent
{\bf T\"obb esem\'eny f\"uggetlens\'eg\'enek definici\'oja:} {\it Az
$A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek akkor (teljesen)
f\"uggetlenek, ha az $\{1,\dots,n\}$ indexhalmaz minden
$\{j_1,\dots,j_k\}\subset \{1,\dots,n\}$ r\'esz\-hal\-ma\-z\'a\-ra
$$
P(A_{j_1}\cap\cdots\cap A_{j_k})=P(A_{j_1})\cdots P(A_{j_k}).
$$
Esem\'enyek v\'egtelen $A_1,A_2,\dots$ sorozata akkor \'es csak akkor
f\"uggetlen, ha tetsz\H{o}leges pozit\'{\i}v $n$ eg\'esz sz\'amra az
$A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek f\"uggetlenek.}
\medskip
Speci\'alisan $n=3$ esetben ez a definici\'o a k\"ovetkez\H{o}t
jelenti: Az $A$, $B$ \'es $C$ esem\'enyek akkor f\"uggetlenek,
ha a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agok {\it mindegyike}\/ teljes\"ul:
$$
\align
P(A\cap B)&=P(A)P(B) \\
P(A\cap C)&=P(A)P(C) \\
P(B\cap C)&=P(B)P(C) \\
P(A\cap B\cap C)&=P(A)P(B)P(C).
\endalign
$$
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} Al\'abb bevezetj\"uk esem\'enyek p\'aronk\'enti
f\"uggetlens\'eg\'enek  az irodalomban szint\'en haszn\'alt fogalm\'at.
Fontos, hogy esem\'enyek p\'aronk\'enti f\"uggetlens\'eg\'enek \'es
(teljes) f\"uggetlens\'eg\'enek a fogalm\'at meg
tudjuk k\"ul\"onb\"oztetni egym\'ast\'ol.
\medskip\noindent
{\bf Esem\'enyek p\'aronk\'enti f\"uggetlens\'eg\'enek a
definici\'oja.} {\it Legyen $A_1,A_2,\dots$, ese\-m\'e\-nyek (v\'eges
vagy v\'egtelen) sorozata egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n.
Azt mondjuk, hogy ezek az esem\'enyek p\'aronk\'ent f\"uggetlenek, ha
tetsz\H{o}leges k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'amokb\'ol \'all\'o $(j,k)$,
$j\neq k$, indexekre $P(A_j\cap A_k)=P(A_j)P(A_k)$.}
\medskip\noindent
 
 
\medskip
Azt, hogy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok k\"or\"ulbel\"ul
mekkora \'ert\'eket vesznek fel az (egyel\H{o}re csak diszkr\'et
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'en
t\'argyalt) v\'arhat\'o \'ert\'ek m\'eri meg\-fe\-le\-l\H{o} m\'odon.
Annak m\'er\'es\'ere, hogy mekkora a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o ingadoz\'asa a v\'arhat\'o \'ert\'eke k\"or\"ul
vezett\'ek be a sz\'or\'asn\'egyzet (angolul variance) fogalm\'at.
Ennek definici\'oja a k\"ovetkez\H{o}:
\medskip\noindent
{\bf A sz\'or\'asn\'egyzet definici\'oja:} {\it Legyen $\xi$ olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyre $E\xi^2<\infty$. Ekkor
a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzet\'et
a
$$
\Var \xi=E\(\xi-E\xi\)^2
$$
k\'eplet defini\'alja. Ha $E\xi^2=\infty$ akkor a $\Var\xi$
sz\'or\'asn\'egyzetet nem defini\'aljuk vagy azt mondjuk, hogy $\Var
\xi=\infty$.} \medskip\noindent
{\bf Lemma.}
$$
\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2.
$$
\medskip
\item{2.)} Minden $m$ val\'os sz\'amra
$$
E(\xi-m)^2=E(\xi-E\xi)^2+\((E\xi)-m\)^2.
$$
K\"ovetkez\'esk\'eppen
$$
\Var \xi=\inf_{-\infty<m<\infty} E\[(\xi-m)^2\].
$$
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
\align
E(\xi-m)^2&=E\[(\xi-E\xi)+(E\xi-m)\]^2\\
&=E(\xi-E\xi)^2-2E(\xi-m)E(\xi-E\xi)+E(\xi-m)^2\\
&=E(\xi-E\xi)^2+\((E\xi)-m\)^2,
\endalign
$$
mert $2E(\xi-m)E(\xi-E\xi)=2E(\xi-m)(E\xi-E\xi)=0$. Ebb\H{o}l az
azonoss\'agb\'ol ad\'odik, hogy $E(\xi-m)^2\ge E(\xi-E\xi)^2$ minden
$m$ val\'os sz\'amra. Viszont $m=E\xi$ eset\'en az egyenl\H{o}tlens\'eg
k\'et oldala megegyezik.
 
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {Minden $a$ \'es $b$ val\'os sz\'amra
$$
\Var(a\xi+b)=a^2\Var\xi.
$$
}\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
$$
\align
\Var(a\xi+b)&=E\[(a\xi+b)-E(a\xi+b)\]^2
=E\[(a\xi+b)-aE(\xi-b\]^2\\
&=E\[a^2(\xi-E\xi)^2\]
=a^2E(\xi-E\xi)^2=a^2\Var\xi.
\endalign
$$
\medskip
A k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny rendk\'{\i}v\"ul hasznos
\"osszef\"ugg\'est ad, ha f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek sz\'or\'asn\'egyzet\'et akarjuk
kisz\'am\'{\i}tani. Hangs\'ulyozzuk, hogy ebben az eredm\'enyben
fontos a tekintett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'ege. K\'es\H{o}bb megfogalmazzuk ezen eredm\'eny egy
olyan \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at, amely akkor is \'erv\'enyes, ha
az \"osszeadand\'ok nem felt\'etlen\"ul f\"uggetlenek. L\'atni
fogunk olyan p\'eld\'akat is, amelyek megold\'as\'aban ezt az
\'al\-ta\-l\'a\-no\-sabb eredm\'enyt \'erdemes alkalmazni.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} Ha {\it $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, akkor
$$
\Var(\xi_1+\xi_2+\cdots+\xi_n)=
\Var\xi_1+\Var\xi_2+\cdots+\Var\xi_n.
$$
}\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} Ha {\it $\xi_1,\xi_2,\dots, \xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $c_1,c_2,\dots,c_n$ val\'os
sz\'amok, akkor
$$
\Var(c_1\xi_1+c_2\xi_2+\cdots+c_n\xi_n)=
c_1^2\Var\xi_1+c^2_2\Var\xi_2+\cdots+c_n^2\Var\xi_n.
$$
}\medskip\noindent
 
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{3.)} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk 100-szor egym\'as
ut\'an. Sz\'amoljuk ki a fej-dob\'asok sz\'a\-m\'a\-nak a v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et. Sz\'am\'{\i}tsuk ki ezt
egyr\'eszt direkt m\'odon fel\'{\i}rva \'es kisz\'amolva a
v\'arhat\'o \'ert\'eket \'es sz\'or\'asn\'egyzetet kifejez\H{o}
\"osszegeket, m\'asr\'eszt egyszer\H{u}bben az el\H{o}z\H{o} t\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A fejdob\'asok sz\'ama 0 \'es
100 k\"oz\"ott van. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $k$
fejdob\'as k\"ovetkezik be, $0\le k\le 100$, $p_k=\dbinom {100}k
2^{-100}$. Ez\'ert a dob\'asok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\dbinom {100}k 2^{-100}$, ahol $\xi$
jel\H{o}li a fejdob\'asok sz\'am\'at megad\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Tov\'abb\'a $E\xi^2
=\summ_{k=0}^{100} k^2\dbinom {100}k 2^{-100}$, a sz\'or\'asn\'egyzet
pedig $\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2$. Ezeket az \"osszegeket
k\"ozvetlen\"ul kisz\'am\'{\i}thatjuk. Val\'oban,
$k\dbinom{100}k=100\dbinom{99}{k-1}$,
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\dbinom {100}k 2^{-100}=
50\summ_{k=0}^{99}k\dbinom {99}k
2^{-99}=50\(\dfrac12+\dfrac12\)^{99}=50$. Tov\'abb\'a,
$k^2\dbinom{100}k=[k(k-1)+k]\dbinom{100}k=100\cdot99\cdot
\dbinom{98}{k-2}+100\cdot\dbinom{100}{99}$, $E\xi^2=2^{-100}\cdot
100\cdot99\cdot\summ_{k=0}^{98}\dbinom{98}k+
2^{-100}\cdot100\cdot\summ_{k=0}^{99}\dbinom{99}k=2^{-100}\(100\cdot99
\cdot(1+1)^{98}+100\cdot(1+1)^{99}\)=25\cdot99+50$,
$\Var\xi=E\xi^2-(E\xi^2)=25$.
\item{} Val\'oj\'aban a vizsg\'alt v\'arhat\'o \'ert\'eket \'es
sz\'or\'asn\'egyzetet egyszer\H{u}bben is ki\-sz\'a\-m\'{\i}t\-hat\-juk.
Vezess\"uk be a $\xi_j$ val\'osz1n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat, $\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as, $1\le j\le100$.
Ekkor a fejdob\'asok sz\'ama $\xi=\summ_{j=1}^{100}\xi_j$,
$E\xi=\summ_{j=1}^{100}E\xi_j$, $\Var\xi=\summ_{j=1}^{100}\Var\xi_j$.
Mivel $E\xi_j=\frac12$, $E\xi_j^2=\frac12$, $\Var\xi_j=\frac14$, $1\le
j\le100$, ez\'ert $E\xi=\frac12\cdot100=50$,
$\Var\xi=\frac14\cdot100=25$.
\medskip
\item{4.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 100-szor egym\'as
ut\'an. Sz\'amoljuk ki a do\-b\'as\-ered\-m\'e\-nyek \"osszeg\'enek
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
Legyenek $\eta_1$,$\dots,\eta_{100}$ {\it f\"uggetlen}\/
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre
$P(\eta_j=k)=\dfrac16$, $1\le j\le 100$, $1\le k\le6$. Ekkor a
kisz\'am\'{\i}tand\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es sz\'or\'asn\'egyzet
$E\summ_{j=1}^{100}\eta_j=\summ_{j=1}^{100}E\eta_j$,
$\Var\summ_{j=1}^{100}\eta_j=\summ_{j=1}^{100}\Var\eta_j$.
(A m\'asodik rel\'aci\'o felhaszn\'alja a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok f\"uggetlens\'eg\'et.)
$E\eta_j=\dfrac16(1+2+3+4+5+6)=3.5$,
$E\eta_j^2=\dfrac16(1+4+9+16+25+36)=\frac{91}6$,
$\Var\eta_j=\dfrac{35}{12}$, $E\xi=350$, $\Var\xi=\dfrac{3500}{12}$.
\item{5.)} Egy szab\'alyos dobokock\'at feldobunk egym\'as ut\'an
addig, amig meg nem jelenik a 100. hatos dob\'as. Sz\'amoljuk ki a
dob\'asok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et.
\item{} {\it Megold\'as:} Jel\H{o}lje $T_1$ azt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, hogy h\'anyszor kellett a
kock\'at feldobni addig, amig az els\H{o} hatos dob\'as megjelent
(az els\H{o} hatos dob\'ast is belesz\'am\'{\i}tva ebbe a
dob\'assorozatba), $T_2$ azt, h\'anyszor kellett a kock\'at az
els\H{o} hatos dob\'as ut\'an feldobni, am\'{\i}g a m\'asodik hatos
dob\'as megjelent, \'es \'altal\'aban legyen $T_j$ az a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyik azt sz\'amolja meg,
hogy h\'any dob\'as k\"ovetkezett be a $j-1$-k \'es $j$-ik hatos
dob\'as k\"oz\"ott. (A $j$-ik hatos dob\'ast besz\'am\'{\i}tjuk a
$j-1$-ik hatos dob\'ast viszont nem sz\'am\'{\i}tjuk be ebbe
a sorozatba.) Ekkor a minket \'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, a dob\'asok sz\'ama a 100. hatos dob\'asig
$T=\summ_{j=1}^{100}T_j$, tov\'abb\'a, a $T_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, \'es
$P(T_j=k)=\(\dfrac 56\)^{k-1}\dfrac16$, $k=1,2,\dots$. Ez\'ert
$ET=\summ_{j=1}^{100}ET_j$, $\Var T=\summ_{j=1}^{100}\Var T_j$,
$ET_j=\summ_{k=1}^\infty k\dfrac16\(\dfrac56\)^{k-1}$,
$ET_j^2=\summ_{k=1}^\infty k^2\dfrac16\(\dfrac56\)^{k-1}$, $\Var
T_j=ET_j^2-(ET_j)^2$. \medskip
\item{} Az $ET_j$ v\'arhat\'o \'ert\'ek egy lehets\'eges
kisz\'amol\'asi m\'odja: Deriv\'aljuk a
$$
\summ_{k=0}^\infty x^k=\frac1{1-x},\quad |x|<1
$$
azonoss\'agot. Azt kapjuk, hogy
$$
\summ_{k=0}^\infty kx^{k-1}=\frac1{(1-x)^2},\quad |x|<1, \tag$*$
$$
ahonnan $x=\dfrac56$ helyettes\'{\i}t\'essel
$$
\summ_{k=0}^\infty k\(\frac56\)^{k-1}=6^2,
$$
\'es $ET_j=6$, $ET=100ET_1=600$. Hasonl\'oan, a ($*$) azonoss\'agot
$x$-szel beszorozva, deviv\'alva, majd az $x=\dfrac56$
behelyettes\'{\i}t\'est alkalmazva azt kapjuk, hogy
$$
\summ_{k=1}^\infty k^2x^{k-1}=\frac1{(1-x)^2}+\frac {2x}{(1-x)^3},
\quad |x|<1,
$$
$ET_j^2=\dfrac16(36+360)=66$, $\Var T_j=ET_j^2-(ET_j)^2=30$, $\Var
T=100\Var T_1=3000$.
 
 
 
 \bye
 
 
 
 
\item{2.)} K\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} f\'ar\'ol leszednek 100
alm\'at, \'es beteszik k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o}
(meg\-k\"u\-l\"on\-b\"oz\-tet\-he\-tet\-len) l\'ad\'aba. Ez egyik
f\'ar\'ol szedett alm\'ak (egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul) $\dfrac14$
a m\'asik f\'ar\'ol szedett alm\'ak pedig (szint\'en egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul) $\dfrac1{10}$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
f\'ergesek. Kivesz\"unk az egyik (v\'eletlen\"ul kiv\'alasztott)
l\'ad\'ab\"ol k\'et alm\'at \'es mind a kett\H{o} f\'erges. Ezek
ut\'an kivesz\"unk a m\'asik l\'ad\'a\'ol egy alm\'at. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ez az alma m\'ar nem f\'erges?
\item{} {\it Megold\'as:} \'Erts\"uk meg el\H{o}sz\"or pontosabban a
feladatot. Jel\"olje $B$ azt az esem\'enyt, hogy els\H{o} alkalommal a
rosszabb f\'ar\'ol leszedett alm\'akat tartalmaz\'o l\'ad\'ahoz
ny\'u\-lunk. Ekkor egyr\'eszt $P(B)=\frac12$. M\'asr\'eszt, ha egym\'as
ut\'an, esetleg v\'altogatva a l\'ad\'akat kivesz\"unk egym\'as ut\'an
a l\'ad\'akb\'ol alm\'akat, defini\'aljuk a $j_1,\dots, j_k$
h\'u\-z\'as\-so\-ro\-za\-tot, ahol mindegyik $j_s=\pm1$, $j_1=1$,
$j_s=1$ azt jelenti, hogy a $s$-ik h\'uz\'as sor\'an az els\H{o}nek
kiv\'alasztott l\'ad\'ab\'ol, $j_s=-1$ pedig azt, hogy a m\'asik
l\'ad\'ab\'ol v\'alasztottunk alm\'at, akkor $A(j_1,\dots,j_n)$-nel
jel\"olve azt az esem\'enyt, hogy minden kiv\'alasztott alma f\'erges,
fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
\align
P(A(j_1,\dots,j_n)|B)&=\(\frac14\)^{u(j_1,\dots,j_n)}
\(\frac1{10}\)^{n-u(j_1,\dots,j_n)},\\
P(A(j_1,\dots,j_n)|\bar B)&=\(\frac1{10}\)^{u(j_1,\dots,j_n)}
\(\frac1{4}\)^{n-u(j_1,\dots,j_n)},
\endalign
$$
ahol $u(j_1,\dots,j_n)$ jel\"oli a $j_1,\dots,j_n$ sorozatban
szerepl\H{o} $+1$ jelek sz\'am\'at. Hasonl\'oan fel tudjuk \'{\i}rni
annak felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy egy
el\H{o}\'{\i}rt h\'uz\'assorozat eset\'en, amelyikben megmondjuk,
hogy mikor melyik l\'ad\'ab\'ol h\'uztunk alm\'at a f\'erges \'es j\'o
almah\'uz\'asoknak el\H{o}\'{\i}rt sorozata jelenik meg, felt\'eve
a $B$ esem\'enyt vagy annak komplementer\'et, a $\bar B$ esem\'enyt.
Jel\"olje $C$
azt az esem\'enyt, hogy az els\H{o} k\'et h\'uz\'asban f\'erges alm\'at
h\'{\i}zunk, $D$ pedig azt, hogy a harmadik h\'uz\'asban (a l\'ada
megv\'altoztat\'asa ut\'an) j\'o alm\'at h\'{\i}zunk. Ekkor a
$P(D|C)=\dfrac{P(C\cap D)}{P(D)}$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget akarjuk kisz\'amolni. Viszont,
$$
P(C)=P(C|B)P(B)+P(C|\bar B)P(\bar B)
=\dfrac12\(\(\dfrac14\)^2+\(\dfrac1{10}\)^2\)=\dfrac{29}{800},
$$
$$
\align
P(C\cap D)&=P(C\cap D|B)P(B)+P(C\cap D|\bar B)P(\bar B)\\
&=\dfrac12\(\(\dfrac14\)^2\dfrac9{10}+\(\dfrac1{10}\)^2\dfrac34\)
=\frac{51}{1600}.
\endalign
$$
Innen $P(D|C)=\dfrac{P(C\cap D)}{P(D)}=\dfrac{51}{58}$.
 
