DOLGOZAT FELADATOK

1. Legyen ξ és η két független valószínűségi változó, melyek közül ξ λ paraméterű és η μ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó, azaz a ξ valószínűségi változó f(·) sűrűségfüggvénye f(x) = λe^{−λx}, ha x ≥ 0, f(x) = 0, ha x < 0, az η valószínűségi változó g(·) sűrűségfüggvénye g(x) = μe^{−μx}, ha x > 0, g(x) = 0, ha x < 0, továbbá λ > 0, μ > 0 és λ ≠ μ. Számítsuk ki a ξ + η összeg sűrűségfüggvényét.

2. Feldobunk egy szabályos pénzdarabot 100 alkalommal egymástól függetlenül. Jelölje ξ azt a valószínűségi változót, hogy hány egymást követő különböző eredményű dobás jelenik meg ebben a dobássorozatban, azaz hány olyan egymást követő dobásból álló dobáspárt tartalmaz ez a sorozat, amelyikben fej-írás vagy írás-fej jelenik meg. Számítsuk ki a ξ valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét.

3. Ledobunk a [0, 3] intervallumra egy pontot egyenletes eloszlással, azaz a ledobott pont egy valószínűséggel a [0, 3] intervalumba esik, és annak valószínűsége, hogy egy [a, b] ⊂ [0, 3] alakú intervallumba esik \frac{b−a}{3}. Ha egy pont a [0, 1] intervallumba esik, akkor felírjuk a ledobott pont helyének pontos értékét egy jegyzőkönyvbe, ha a pont az (1, 2] intervalumba esik, akkor az 1 számot, ha pedig a (2, 3] intervallumba esik, akkor a 2 számot írjuk a jegyzőkönyvbe. Számítsuk ki a jegyzőkönyvbe írt (véletlen) szám várható értékét és szórásnégyzetét.

4. A következő játékot játsszuk. Két szabályos pénzdarabot feldobnak egymás után 10 000 alkalommal. Ha egy dobás eredménye két fejdobás akkor 2 forintot nyerünk, ha az eredmény két írásdobás akkor 2 forintot vesztünk, ha az eredmény egy fej és egy írásdobás akkor 1 forintot nyerünk. Adjunk jó becslést a mellékelt normális eloszlástáblázat alapján annak a valószínűségére, hogy nyereményünk összege 4850 és 5300 forint között lesz.

5. Az alábbi négy állítás közül melyik helyes és melyik nem:

a.) Ha ξ és η két valószínűségi változó egy valószínűségi mezőn, akkor a ξ + η összeg várható értéke egyenlő a ξ és η valószínűségi változók várható értékének az összegével, azaz E(ξ + η) = Eξ + Eη.

b.) Ha ξ és η két független valószínűségi változó egy valószínűségi mezőn, akkor a ξ + η összeg várható értéke egyenlő a ξ és η valószínűségi változók várható értékének az összegével, azaz E(ξ + η) = Eξ + Eη.

c.) Ha ξ és η két valószínűségi változó egy valószínűségi mezőn, akkor a ξ+η összeg szórásnégyzete egyenlő a ξ és η valószínűségi változók szórásnégyzetének az összegével, azaz Var (ξ + η) = Var ξ + Var η.

d.) Ha ξ és η két független valószínűségi változó egy valószínűségi mezőn, akkor a ξ + η összeg szórásnégyzete egyenlő a ξ és η valószínűségi változók szórásnégyzetének az összegével, azaz Var (ξ + η) = Var ξ + Var η.

MEGOLDÁSOK

1. Tudjuk, hogy a tekintett két független valószínűségi változó összegének a sűrűségfüggvényét az f ∗ g(x) = ∫_{−∞}^{∞} f(u)g(x − y) du konvolució segítségével számíthatjuk ki. Mivel f(x) = 0, g(x) = 0, ha x < 0, ezért ebben az esetben a konvolucióban szereplő integrandus f(u)g(x − u) = 0, ha u < 0 vagy x − u < 0, azaz u ≥ x. Innen

f ∗ g(x) = ∫_{0}^{x} λe^{−λu}μe^{−μ(x−u)} du = λμe^{−μx} ∫_{0}^{x} e^{−(λ−μ)u} du, ha x ≥ 0,

és f ∗ g(x) = 0, ha x < 0. Ezért

f ∗ g(x) = \frac{λμe^{−μx}}{μ − λ} [e^{−(λ−μ)u}]_{0}^{x} = λμ\frac{e^{−λx} − e^{−μx}}{μ − λ} ha x ≥ 0 és λ ≠ μ.

2. Jelölje ξ_{j} azt a valószínűségi változót, amelyikre ξ_{j} = 1, ha a j-ik dobás fej, a j + 1-ik dobás írás vagy a j-ik dobás írás és a j + 1-ik dobás fej, ξ_{j} = 0, ha a mind a j-ik mind a j + 1-ik dobás fej, vagy mind a j-ik mind a j + 1-ik dobás írás,

1 ≤ j ≤ 99. Ekkor minket a S = ∑_{j=1}^{99} ξ_{j} valószínűségi változó várható értéke és

szórásnégyzete érdekel. Eξ_{j} = \frac{1}{2}, 1 ≤ j ≤ 99, ezért S = \frac{99}{2}. Továbbá Var ξ_{j} = Eξ_{j}^{2} − (Eξ_{j})^{2} = \frac{1}{4}, 1 ≤ j ≤ 99, és ξ_{j}, ξ_{j′} függetlenek, ha |j − j′| ≥ 2, ezért ebben az esetben Cov (ξ_{j}, ξ′_{j}) = 0, továbbá Cov (ξ_{j}, ξ_{j+1}) = Eξ_{j}ξ_{j+1}−Eξ_{j}Eξ_{j+1} = \frac{1}{4} − \frac{1}{4} = 0, mert ξ_{j}ξ_{j+1} = 1 ha FIF vagy IFI dobássorozat jelenik meg a j-ik, j + 1-ik j + 2-ik dobásban, és mind a két sorozat valószínűsége \frac{1}{8}. Innen a Var S = \frac{99}{4}.

3. Jelölje a ξ valószínűségi változó a ledobott pont helyét. Ennek sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{3}, ha 0 ≤ x ≤ 3, és f(x) = 0, ha x < 0 vagy x > 3. Továbbá, ha bevezetjük az u(x) függvényt, amelyre u(x) = x, ha 0 ≤ x ≤ 1, u(x) = 1, ha 1 ≤ x ≤ 2 és u(x) = 2, ha 2 ≤ x ≤ 3, akkor az η = u(ξ) valószínűségi változó várható értéke és szórásnégyzete érdekel. Ekkor Eη = Eu(ξ) = ∫ u(x)f(x) dx = ∫_{0}^{3} u(x)\frac{1}{3} dx = \frac{1}{3} ∫_{0}^{1} x dx + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{7}{6}, Eη^{2} = Eu(ξ)^{2} = ∫ u^{2}(x)f(x) dx = ∫_{0}^{3} u^{2}(x)\frac{1}{3} dx = \frac{1}{3} ∫_{0}^{1} x^{2} dx + \frac{1}{3} + \frac{4}{3} = \frac{16}{9}. Innen Var η = Eη^{2} − (Eη)^{2} = \frac{16}{9} − \frac{49}{36} = \frac{5}{12}.

4. Jelölje ξ_{j} a j-ik játékban szerzett nyereményünk értékét, és legyen S = ∑_{j=1}^{10 000} ξ_{j}.

Ekkor minket a P (4850 < leS < 5300) valószínűség értéke érdekel. Számítsuk ki a független és egyforma eloszlású ξ_{j} valószínűségi változók várható értékét és szórásnégyzetét. P (ξ_{j} = 2) = P (ξ_{j} = −2) = \frac{1}{4}, és P (ξ_{j} = 1) = \frac{1}{4}. Innen Eξ_{j} = \frac{1}{2}, Eξ_{j}^{2} = \frac{5}{2}, Var ξ_{j} = Eξ_{j}^{2} − (Eξ_{j})^{2} = \frac{9}{4}, ES = 5000, Var S = (150)^{2}. Innen

P (4850 < leS < 5300) = P (−1 ≤ \frac{S−ES}{\sqrt{Var S}} < 2), és ez a centrális határeloszlástétel szerint közelítőleg Φ(2) − Φ(−1) = Φ(2) + Φ(1) − 1 = 0.9772 + 0.8413 − 1 = 0.8185.

5. Az a) b) és d) állítás igaz, a c) állítás hamis.