\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\centerline{\bf DOLGOZAT FELADATOK}
\bigskip
\item{1.} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melyek k\"oz\"ul
$\xi$ $\lambda$ param\'eter\H{u} \'es $\eta$ $\mu$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
azaz a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, ha
$x\ge0$, $f(x)=0$, ha $x<0$, az  $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $g(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$g(x)=\mu e^{-\mu x}$, ha $x>0$, $g(x)=0$, ha $x<0$, tov\'abb\'a
$\lambda>0$, $\mu>0$ \'es $\lambda\neq\mu$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a
$\xi+\eta$ \"osszeg s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{2.} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enzdarabot 100 alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul. Je\-l\"ol\-je $\xi$ azt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, hogy h\'any egym\'ast
k\"ovet\H{o} k\"ul\"onb\"oz\H{o} eredm\'eny\H{u}  dob\'as jelenik meg
ebben a dob\'assorozatban, azaz h\'any olyan egym\'ast k\"ovet\H{o}
dob\'asb\'ol \'all\'o dob\'asp\'art tartalmaz ez a sorozat,
amelyikben fej-\'{\i}r\'as vagy \'{\i}r\'as-fej jelenik meg.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et.
\item{3.} Ledobunk a $[0,3]$ intervallumra  egy pontot egyenletes
eloszl\'assal, azaz a ledobott pont egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
a $[0,3]$ intervalumba esik, \'es annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy egy $[a,b]\subset[0,3]$ alak\'u intervallumba esik
$\frac{b-a}3$. Ha egy pont a $[0,1]$ intervallumba esik, akkor
fel\'{\i}rjuk a ledobott pont hely\'enek pontos \'ert\'ek\'et egy
jegyz\H{o}k\"onyvbe, ha a pont az $(1,2]$ intervalumba esik, akkor az
1 sz\'amot, ha pedig a $(2,3]$ intervallumba esik, akkor a 2 sz\'amot
\'{\i}rjuk a jegyz\H{o}k\"onyvbe. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a
jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt (v\'eletlen) sz\'am v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{4.} A k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot j\'atsszuk. K\'et szab\'alyos
p\'enzdarabot feldobnak egym\'as ut\'an 10~000 alkalommal. Ha egy
dob\'as eredm\'enye k\'et fejdob\'as akkor 2 forintot nyer\"unk, ha
az eredm\'eny k\'et \'{\i}r\'asdob\'as akkor 2 forintot veszt\"unk,
ha az eredm\'eny egy fej \'es egy \'{\i}r\'asdob\'as akkor 1 forintot
nyer\"unk. Adjunk j\'o becsl\'est a mell\'ekelt norm\'alis
eloszl\'ast\'abl\'azat alapj\'an annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere,
hogy nyerem\'eny\"unk \"osszege 4850 \'es 5300 forint k\"oz\"ott lesz.
\item{5.} Az al\'abbi n\'egy \'all\'{\i}t\'as k\"oz\"ul melyik helyes
\'es melyik nem:
\itemitem{a.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor a
$\xi+\eta$ \"osszeg v\'arhat\'o \'ert\'eke egyenl\H{o} a $\xi$ \'es
$\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek az \"osszeg\'evel, azaz $E(\xi+\eta)=E\xi+E\eta$.
\itemitem{b.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor a $\xi+\eta$ \"osszeg
v\'arhat\'o \'ert\'eke egyenl\H{o} a $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek
az \"osszeg\'evel, azaz $E(\xi+\eta)=E\xi+E\eta$.
\itemitem{c.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor a
$\xi+\eta$ \"osszeg sz\'or\'asn\'egyzete egyenl\H{o} a $\xi$ \'es
$\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sz\'or\'asn\'egyzet\'enek az \"osszeg\'evel,
azaz $\Var(\xi+\eta)=\Var\xi+\Var\eta$.
\itemitem{d.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n, akkor a $\xi+\eta$ \"osszeg sz\'or\'asn\'egyzete egyenl\H{o}
a $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'e\-nek az \"osszeg\'evel, azaz
$\Var(\xi+\eta)=\Var\xi+\Var\eta$.
 
\vfill\eject
 
\centerline{\bf MEGOLD\'ASOK}
\medskip
\item{1.} Tudjuk, hogy a tekintett k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek a
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et az
$f*g(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-y)\,du$ konvoluci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\'am\'{\i}thatjuk ki. Mivel $f(x)=0$,
$g(x)=0$, ha $x<0$, ez\'ert ebben az esetben a konvoluci\'oban
szerepl\H{o} integrandus $f(u)g(x-u)=0$, ha $u<0$ vagy
$x-u<0$, azaz $u\ge x$. Innen
$$
f*g(x)=\int_0^x \lambda e^{-\lambda u}\mu e^{-\mu(x-u)}\,du=
\lambda\mu e^{-\mu x}\int_0^x e^{-(\lambda-\mu)u}\,du, \quad\text{ha
}x\ge0,
$$
\'es $f*g(x)=0$, ha $x<0$. Ez\'ert
$$
f*g(x)=\frac{\lambda\mu e^{-\mu x}}{\mu-\lambda}\[e^{-(\lambda
-\mu)u}\]_0^x= \lambda\mu \frac{e^{-\lambda x}-e^{-\mu x}}{\mu-\lambda}
\quad\text{ha $x\ge0$ \'es }\lambda\neq \mu.
$$
\item{2.} Jel\"olje $\xi_j$ azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot, amelyikre $\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as fej, a $j+1$-ik
dob\'as \'{\i}r\'as vagy a $j$-ik dob\'as \'{\i}r\'as \'es a $j+1$-ik
dob\'as fej, $\xi_j=0$, ha a mind a $j$-ik mind a $j+1$-ik dob\'as
fej, vagy mind a $j$-ik mind a $j+1$-ik dob\'as \'{\i}r\'as, $1\le
j\le 99$. Ekkor minket a $S=\summ_{j=1}^{99}\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
sz\'or\'asn\'egyzete \'erdekel. $E\xi_j=\frac12$, $1\le j\le
99$, ez\'ert $S=\frac{99}2$. Tov\'abb\'a
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\frac14$, $1\le j\le 99$, \'es $\xi_j$,
$\xi_{j'}$ f\"uggetlenek, ha $|j-j'|\ge2$, ez\'ert ebben az esetben
$\Cov(\xi_j,\xi'_j)=0$, tov\'abb\'a $\Cov
(\xi_j,\xi_{j+1})=E\xi_j\xi_{j+1}-E\xi_jE\xi_{j+1}=\frac14-\frac14=0$,
mert $\xi_j\xi_{j+1}=1$ ha FIF vagy IFI dob\'assorozat jelenik meg a
$j$-ik, $j+1$-ik $j+2$-ik dob\'asban, \'es mind a k\'et sorozat
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac18$. Innen a $\Var S=\frac {99}4$.
\item{3.} Jel\"olje a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a
ledobott pont hely\'et. Ennek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x)=\frac13$, ha $0\le x\le3$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$ vagy $x>3$.
Tov\'abb\'a, ha bevezetj\"uk az $u(x)$ f\"uggv\'enyt, amelyre
$u(x)=x$, ha $0\le x\le1$, $u(x)=1$, ha $1\le x\le2$ \'es $u(x)=2$, ha
$2\le x\le3$, akkor az $\eta=u(\xi)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete \'erdekel.
Ekkor $E\eta=Eu(\xi)=\int
u(x)f(x)\,dx=\int_0^3u(x)\frac13\,dx=\frac13\int_0^1x\,dx+\frac13
+\frac23=\frac76$, $E\eta^2=Eu(\xi)^2=\int
u^2(x)f(x)\,dx=\int_0^3u^2(x)\frac13\,dx=\frac13\int_0^1x^2\,dx+\frac13
+\frac43=\frac{16}9 $. Innen
$\Var\eta=E\eta^2-(E\eta)^2=\frac{16}9-\frac{49}{36}=\frac5{12}$.
\item{4.} Jel\"olje $\xi_j$ a $j$-ik j\'at\'ekban szerzett
nyerem\'eny\"unk \'ert\'ek\'et, \'es legyen
$S=\summ_{j=1}^{10~000}\xi_j$. Ekkor minket a $P(4850<le S<5300)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke \'erdekel. Sz\'am\'{\i}tsuk ki
a f\"uggetlen \'es egyforma eloszl\'as\'u $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et. $P(\xi_j=2)=P(\xi_j=-2)=\frac14$, \'es
$P(\xi_j=1)=\frac14$. Innen $E\xi_j=\frac12$, $E\xi_j^2=\frac52$,
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\frac94$, $ES=5000$, $\Var S=(150)^2$.
Innen $P(4850<le S<5300)=P\(-1\le \frac{S-ES}{\sqrt {\Var S}}<2\)$,
\'es ez a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel szerint
k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg
$\Phi(2)-\Phi(-1)=\Phi(2)+\Phi(1)-1=0.9772+0.8413-1=0.8185$.
\item{5.} Az a) b) \'es d) \'all\'{\i}t\'as igaz, a c)
\'all\'{\i}t\'as hamis.
 
\bye
