\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 \nopagenumbers
\centerline{\bf JAV\'IT\'O DOLGOZAT FELADATAI}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Abban az esetben, ha egy megk\'erdezett fogalom
defin\'{\i}ci\'oj\'at t\"obb (egy\-m\'as\-sal ekvivalens) m\'odon
lehet megadni, akkor ezek mindegyike j\'o v\'alasznak min\H{o}s\"ul.
\bigskip
\item{1.} K\'et szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk egym\'as ut\'an
100-szor egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul. Minden egyes dob\'as ut\'an
fel\'{\i}rjuk egy pap\'{\i}rra a nagyobb dob\'as eredm\'eny\'et. (Ha a
k\'et kockadob\'as eredm\'enye megegyezik, akkor ezt a k\"oz\"os
dob\'aseredm\'enyt \'{\i}rjuk fel.) Mi a pap\'{\i}rra fel\'{\i}rt
sz\'amok \"osszeg\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
sz\'or\'asn\'egyzete?
\item{2.} Egy teszt-vizsg\'an, ahol k\'et lehet\H{o}s\'eg k\"oz\"ul
kell kiv\'alasztani a helyes v\'alaszt ketten vesznek r\'eszt. Az
els\H{o} r\'esztvev\H{o} $p_1$, a m\'asodik r\'esztvev\H{o} pedig
$p_2$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel tudja a helyes v\'alaszt,
tov\'abb\'a a vizsga k\'et r\'esztvev\H{o}je egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul tudja vagy nem tudja, hogy mi a helyes v\'alasz.
Mindk\'et r\'esztvev\H{o} a j\'o v\'alaszt jel\H{o}li meg, ha tudja
azt, ellenkez\H{o} esetben pedig mindent\H{o}l f\"uggetlen\"ul
egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'eletlen\"ul bejel\"oli a
k\'et lehets\'eges v\'alasz valamelyik\'et. Mi a fel\-t\'e\-te\-les
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy mind a k\'et r\'esztvev\H{o}
a helyes v\'alaszt jel\"olte be, felt\'eve, hogy ugyanazt a v\'alaszt
adt\'ak?
\item{3.} Egy urn\'aban 10 piros \'es 20 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk 10 goly\'ot visszatev\'es n\'elk\"ul. Minden h\'uz\'asban
2 forintot nyer\"unk, ha feh\'er goly\'ot h\'uzunk \'es 1 forintot
vesz\'{\i}t\"unk, ha feh\'er goly\'ot h\'uzunk. Sz\'amoljuk ki a
nyerem\'eny\"unk v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.

\item{4.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 1200 alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es \"osszeadjuk a p\'aros
\'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'eny\'et. Adjunk j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra,
hogy ez az \"osszeg 2280 \'es 2500 k\"oz\'e esik.
\item{5.} Mikor mondjuk, hogy egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n definini\'alt $\xi_1,\dots,\xi_k$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek?

\vfill\eject

\noindent
Sajnos a jav\'{\i}t\'o dolgozat is rosszul siker\"ult. Az els\H{o}
feladatot ketten oldott\'ak meg l\'enyeg\'eben j\'ol, Moln\'ar Anita
\'es Templom M\'aria. \H{o}k voltak azok, akik kisz\'amolt\'ak a
vizsg\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek eloszl\'as\'at, nevezetesen,
hogy $\frac1{36}$, $\frac3{36}$, $\frac5{36}$,
$\frac7{36}$, $\frac9{36}$, $\frac{11}{36}$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}s\'eg\-gel vesznek fel
a 100 tag\'u f\"uggetlen  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol
\'all\'o \"osszegek 1, 2, 3, 4, 5 \'es 6 \'ert\'eket. A m\'asodik
p\'eld\'at senki sem oldotta meg j\'ol. Senki nem kapott olyan
eredm\'enyt, amelyben a keresett felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
f\"ugg att\'ol, hogy milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel tudj\'ak a
vizsg\'az\'ok a helyes v\'alaszt. A j\'o megold\'as a k\"ovetkez\H{o}.
Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mind a k\'et vizsg\'az\'o j\'o
v\'alaszt ad
$p_1p_2+\frac12p_1(1-p_2)+\frac12(1-p_1)p_2+\frac14(1-p_1)(1-p_2)$,
(annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mind a ketten tudj\'ak a
j\'o v\'alaszt plusz annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az
els\H{o} vizsg\'az\'o tudja a j\'o v\'alaszt, a m\'asodik nem, de j\'o
v\'alaszt ad, plusz annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
m\'asodik vizsg\'az\'o tudja a j\'o v\'alaszt, az els\H{o} nem, de
j\'o v\'alaszt ad, plusz annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
egyik\"uk sem tudja a j\'o v\'alaszt, de j\'o v\'alaszt ad. Annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mindketten rossz v\'alaszt adnak
$\frac14(1-p_1)(1-p_2)$. A keresett felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mind a ketten j\'o v\'alaszt adnak
osztva annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy egyforma v\'alaszt adnak. Ez
$$
\frac{p_1p_2+\frac12p_1(1-p_2)+\frac12(1-p_1)p_2+\frac14(1-p_1)(1-p_2)}
{p_1p_2+\frac12p_1(1-p_2)+\frac12(1-p_1)p_2+\frac12(1-p_1)(1-p_2)}.
$$

A harmadik p\'eld\'at sem tudt\'ak j\'ol megoldani. Alig tal\'altam
jelz\'est arra, hogy f\"ugg\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okkal kell sz\'amolni, \'es a kovarianci\'akat is sz\'amolni
kell. De aki ezt megtette, az sem tudta az eredm\'enyt
v\'egigsz\'amolni. A negyedik feladatot, amely szerepelt a gyakorlaton
j\'ol oldott\'ak meg. Viszont a f\"uggetlens\'egre adott definic\'o
egy\"ontet\H{u}en nem volt elfogadhat\'o, mert csak diszkr\'et
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra
\'erv\'enyes definici\'ot mondtak ki.

\'Ugy \'erzem, ahhoz is nagyon nagy j\'oindulat kellett, hogy k\'et
di\'aknak, Moln\'ar Anit\'anak \'es Templom M\'ari\'anak megadjam a
kettes \'erdemjegyet, mert \H{o}k legal\'abb egy p\'eld\'at (az
els\H{o}t) meg tudt\'ak oldani a negyedik p\'eld\'an k\'{\i}v\"ul.
Ezenk\'{\i}v\"ul a Fazekas tan\'ar \'ur felaj\'anlotta, hogy k\'et
vagy h\'arom di\'aknak megadja  a lehet\H{o}s\'eget, hogy n\'ala
levizsg\'azhat \'es sikeres vizsga eset\'en megkapja a gyakorlati
jegyet. Megk\'erem \H{O}t, hogy Balog Erzs\'ebet, Erd\H{o}s Veronika
\'es Vattam\'any Magdolna eset\'eben \'eljen ezzel a lehet\H{o}s\'eggel,
mert \H{o}k legal\'abb valami \'ert\'ekelhet\H{o}t ny\'ujtottak az
els\H{o} feladatban.

\bye
