\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm

\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}

%\nopagenumbers

\noindent{\bf A november 14-i gyakorlat t\'em\'aja}
\medskip\noindent

\item{1.)} Sz\'az alkalommal a k\"ovetkez\H{o} (f\"uggetlen)
kis\'erletet v\'egezz\"uk. Ledobunk egy pontot egyenletes eloszl\'assal
a $[0,3]$ intervallumra, \'es feldobunk egy szab\'alyos szab\'alyos
dob\'okock\'at egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul. Ha hatost dobtunk
a kock\'aval megnyerj\"uk a ledobott pont \'ert\'ek\'enek a
k\'etszer\'es\'et, ha egyest dobunk, akkor annyi b\"untet\'est kell
fizetn\"unk, amennyi a ledobott pont \'ert\'eke. Sz\'am\'{\i}tsuk ki
nyerem\'eny\"unk v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje  $\zeta_j$, $1\le j\le 100$, a
$j$-ik fordul\'oban szerzett nyerem\'eny\"unket, \'es sz\'amoljuk ki
az $E\zeta_j$ v\'arhat\'o \'ert\'eket \'es $\Var\zeta_j$
sz\'or\'asn\'egyzetet. Ennek \'erdek\'eben vezess\"uk be a
k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$ \'es $\eta_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat: $\xi_j$ a $j$-ik ledobott pont helye a $[0,3]$
intervallumban, $\eta_j=2$, ha a $j$-ik kockadob\'as eredm\'enye
hatos, $\eta_j=-1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 1, \'es
$\eta_j=0$, ha a $j$-ik kockadob\'as \'ert\'eke 2, 3, 4 vagy 5.
Ekkor $\zeta_j=\xi_j\eta_j$, \'es $E\zeta_j=E\xi_jE\eta_j$,
$E\zeta_j^2=E\xi_j^2E\eta_j^2$ a $\xi_j$ \'es $\eta_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege miatt.
Innen $E\xi_j=\frac13\int_0^3u\,du=\[\frac{u^2}6\]_0^3=\frac32$,
$E\xi^2_j=\frac13\int_0^3u^2\,du=\[\frac{u^9}3\]_0^3=3$,
$E\eta_j=\frac16(2-1)=\frac16$,
$E\eta^2_j=\frac16(4+1)=\frac56$, ahonnan $E\zeta_j=\frac14$,
$E\zeta_j^2=\frac{5}2$. Ez\'ert $E\zeta_j=\frac14$,
$\Var\zeta_j=E\zeta_j^2-(E\zeta_j)^2=\frac{5}2-\frac1{16}=\frac{39}{16}$,
\'es a keresett v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es sz\'or\'asn\'egyzet
$E\(\summ_{j=1}^{100}\zeta_j\)=\summ_{j=1}^{100}E\zeta_j=25$,
$\Var\(\summ_{j=1}^{100}\zeta_j\)=
\summ_{j=1}^{100}\Var\zeta_j=\frac{3900}{16}$.
\medskip
\item{2.)} Legyen $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(u)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel, $a$ \'es $b$ val\'os sz\'amok.
Ha\-t\'a\-roz\-zuk meg az $\eta=a\xi+b$ \'es $\zeta=\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $F(x)=P(\xi<x)=\int_{-\infty}^x
f(u)\,du$ a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Ekkor az $\eta=a\xi+b$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye a
$G(x)=P(\eta<x)=P\(\xi<\frac{x-b}a\)=F\(\frac{x-b}a\)$ f\"uggv\'eny,
ha $a>0$, \'es
$G(x)=P(\eta<x)=P\(\xi>\frac{x-b}a\)=1-F\(\frac{x-b}a\)$, ha $a<0$.
Innen $\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$g(x)=\frac{dG(x)}{dx}=\frac1{|a|}f\(\frac{x-b}a\)$.
\item{} A $\zeta=\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye
$$
G(x)=P(\xi^2<x)=P\(-\sqrt x<\xi<\sqrt x\)=F\(\sqrt x\)-F\(-\sqrt x\),
$$
ha $x\ge 0$, \'es $G(x)=0$, ha $x<0$. Innen deriv\'al\'assal $\zeta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=\frac1{2\sqrt x}\(f\(\sqrt
x\)+f\(-\sqrt x\)\)$.
\medskip
\item{3.)} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $m$, $\sigma$ val\'os
sz\'amok, akkor az $\sigma\xi+m$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke $m$ sz\'or\'asn\'egyzete
$\sigma^2$, s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye pedig
$g(u)=\frac1{\sqrt{2\pi}|\sigma|}e^{-(u-m)^2/2\sigma^2}$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$E(\sigma\xi+m)=\sigma E\xi+m=m$, \'es
$\Var(\sigma\xi+m)=\sigma^2 \Var\xi=\sigma^2$. Tov\'abb\'a, az
el\H{o}z\H{o} feladat eredm\'enye alapj\'an a $\sigma\xi+m$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
az $f(x)=\frac1{|\sigma|}\varphi\(\frac{x-m}\sigma\)$, ahol
$\varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, a standard norm\'alis
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny. Innen k\"ovetkezik a feladat
\'all\'{\i}t\'asa.
\medskip
\item{4.)} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor$E\xi^{2k-1}=0$,
$E\xi^{2k}=1\cdot3\cdots (2k-1)$ minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra.
\item{} Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
momentumait.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
E\xi^{2k-1}=\int_{-\infty}^\infty x^{2k-1}
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=0,
$$
mert az integrandus p\'aratlan f\"uggv\'eny. M\'asr\'eszt
parci\'alis integr\'al\'assal $f(x)=x^{2k-1}$ \'es $g(x)=
x\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}= \frac d{dx}\(-
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\)$  kapjuk, hogy
$$
\align
E\xi^{2k}&=\int_{-\infty}^\infty x^{2k}
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=
\int_{-\infty}^\infty (2k-1) x^{2k-2}
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx\\
&=(2k-1)E\xi^{2k-2}.
\endalign
$$
Innen $k$ szerinti indukci\'oval kapjuk a feladat m\'asodik
\'all\'{\i}t\'as\'at.
\medskip
\item{5.)} Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy az $[a,b]$ intervallumban
egyenletes eloszl\'as\'u $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
E\xi=\int_a^b u\frac1{b-a}\,du=\frac1{b-a}\[\frac{u^2}2\]_a^b
=\frac{b^2-a^2}{2(b-a)} =\frac{a+b}2,
$$
$$
\Var\xi=E\(\xi-\frac{b-a}2\)^2
=\int_a^b  \(u-\frac{b-a}2\)^2\frac1{b-a}\,du
=\int_{-\frac{b-a}2}^{\frac{b-a}2}\frac{u^2}{b-a}\,du
$$
Innen $v=\frac{2u}{b-a}$ helyettes\'{\i}t\'essel
$$
\Var\xi=\frac{(b-a)^2}8\int_{-1}^1 v^2\,dv=
\frac{(b-a)^2}8\[\frac{v^3}3\]_{-1}^1=\frac{(b-a)^2}{12}.
$$
\medskip


\item{6.)} Dobjunk le egy pontot egyenletes eloszl\'assal a $[0,4]$
intervallumra. \'Irjuk fel e pont \'ert\'ek\'et, ha a ledobott pont
a $[0,2]$ intervallumba esik, \'{\i}rjuk le a 2 sz\'amot, ha a pont
a $[2,3]$, a 3 sz\'amot, ha a pont a $(3,4]$ intervallumba esik.
Mutassuk meg, hogy a le\'{\i}rt sz\'an \'ert\'ek\'evel egyenl\H{o}
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye a k\"ovetkez\H{o}:
$F(x)=0$, ha $x\le 0$, $F(x)=\frac x4$, ha $0\le x\le 2$,
$F(x)=\frac34$, ha $x<2\le 3$, \'es $F(x)=1$, ha $x\le 3$. Mutassuk
meg tov\'abb\'a, hogy $F(x)$ fel\'{\i}rhat\'o $F(x)=F_1(x)+F_2(x)$
alakban a k\"ovetkez\H{o} m\'odon: $F_1(x)=\int_{-\infty}^x f(u)\,du$,
$f(u=\frac12$, ha $0\le x\le 2$, $f(u)=0$, ha $u<0$ vagy $u>2$, \'es
$F_2(x)=0$, ha $x\le2$, $F(x)=\frac14$, ha $2<x\le3$, $F(x)=\frac12$,
ha $x\ge3$. Mutassuk meg, hogy tetsz\H{o}leges $g(x)$ f\"uggv\'enyre
$Eg(\xi)=\frac14\int_0^2 g(u)\,du+\frac14 g(2)+\frac14 g(3)$.
\item{} {\it Els\H{o} megold\'as:}\/ Hasonl\'oan a m\'ult \'or\'an
t\'argyalt 2. feladathoz ellen\H{o}rizhetj\"uk, hogy a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye a
feladatban megadott $F(x)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny. Az $F(x)$
f\"uggv\'enyt fel\'{\i}rhatjuk $F(x)=F_1(x)+F_2(x)$ alakban, ahol
$F_1(x)=0$, ha $x\le 0$, $F_1(x)=\frac14x$, ha $0\le x\le 2$,
$F_1(x)=\frac12$, ha $x\ge2$, \'es $F_2(x)=0$, ha $x\le 2$,
$F_2(x)=\frac14$, ha $2<x\le3$, $F_2(x)=\frac12$, ha $x>3$.
Tulajdonk\'eppen azt tett\"uk, hogy lev\'alasztottuk a tiszt\'an
ugr\'o f\"uggv\'eny r\'eszt az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyr\H{o}l,
\'{\i}gy kaptuk az $F_2(x)$ f\"uggv\'enyt, a marad\'ek
$F_1(x)=F(x)-F_2(x)$ f\"uggv\'eny pedig minden\"utt folytonos. Az
$F_1(x)$ f\"uggv\'eny minden pontban folytonos, \'es 0 \'es 2 pont
kiv\'etel\'evel minden\"utt deriv\'alhat\'o. Ez\'ert a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny l\'etez\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o
t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$F_1(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)\,du$, valamint
$\int g(u)\,dF_1(u)=\int_{-\infty}^\infty g(u)f(u)\,du$
minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra, ahol $f(x)=\frac14$, ha
$0\le x\le 2$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$ vagy $x>2$. M\'asr\'eszt
a diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek a
ki\-sz\'a\-mo\-l\'a\-s\'a\-r\'ol sz\'ol\'o t\'etel alapj\'an $F_2(x)$
fel\'{\i}rhat\'o az ott megadott m\'odon $a_1=2$, $a_2=3$,
$p_1=p_2=\frac14$ param\'eterekkel. Ez\'ert $\int_{-\infty}^\infty
g(u)\,dF_2(u)=\frac14 g(2)+\frac14g(3)$. Ezut\'an a Lemma
seg\'{\i}ts\'eg\'evel kapjuk a feladat v\'egs\H{o}
\'all\'{\i}t\'as\'at.
\item{} {\it M\'asodik megold\'as:}\/ Jel\"olje $\eta$ a ledobott pont
hely\'et, ami egy a $[0,4]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o. Ennek a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'onak a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a k\"ovetkez\H{o} $f(x)$ f\"uggv\'eny:
$f(x)=\frac14$, ha $0\le x\le 4$, $f(x)=0$, ha $x<0$ vagy $x>4$
f\"uggv\'eny Tov\'abb\'a
defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $y=h(x)$ f\"uggv\'enyt a $[0,4]$
intervallumon: $h(x)=x$, ha  $0\le x\le 2$, $h(x)=2$, ha $2<x\le 3$,
$h(x)=3$, ha $3<x\le4$. Ekkor $\xi=h(\eta)$, ez\'ert
$g(\xi)=g(h(\eta))$, \'es
$Eg(\xi)=Eg(h(\eta))=\int_0^4\int g(h(x))\frac14\,dx=\frac14\int_0^2
g(x)\,dx+\frac14g(2)+\frac14g(3)$.
\medskip
A fenti feladat els\H{o} megold\'asi m\'odszere azt jelzi, hogy az
eloszl\'asf\"uggv\'eny felbont\'as\'anak seg\'{\i}ts\'eg\'evel egy
tiszt\'an ugr\'o \'es folytonos r\'eszre a k\'{\i}v\'ant
v\'arhat\'o \'ert\'eket ki lehet sz\'amolni a fenti k\'et t\'etel
\'es lemma seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, hogy
van-e olyan el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny, amelynek eset\'eben a
fenti ismeretek nem elegend\H{o}ek a v\'arhat\'o \'ert\'ek
kisz\'amol\'as\'ahoz. A v\'alasz az, hogy lehet rosszindulat\'u
\'es mesterk\'elt m\'odon ilyen p\'el\-d\'a\-kat konstru\'alni, de a
gyakorlatban el\H{o}fordul\'o \"osszes feladat megold\'as\'ahoz
elegend\H{o} a fenti eredm\'enyek haszn\'alata (\'es a
megfelel\H{o} integr\'alok \'es \"osszegek kisz\'am\'{\i}t\'asa).

\bye



